藤原進之介です。このページでは上智大学2005年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
今日の一問
数列 は 、 をみたす。
一般項 を求めよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：2項間漸化式 an+1 = 6an + 10 。係数が 1 でないので等差でも等比でもありません。定数をずらして等比に落とすのがこの型の一手です。
1. なぜその一手を選ぶのか
an+1 = pan + q を見たら、最初に確かめるのは p が 1 かどうかだけです。p = 1 なら公差 q の等差数列で即終了。ここでは p = 6 なので、その道は使えません。
次に考えるのは「何を足せば、余分な定数項が消えるか」です。両辺に同じ数 β を足して an+1 + β = 6( an + β ) の形にしたい。右辺を展開すると 6an + 6β なので、6β − β = 10 、つまり β = 2 と決まります。この一手を選ぶ理由は「定数項を消すため」であって、公式だからではありません。
2. 解答
- 両辺に 2 を足すと an+1 + 2 = 6( an + 2 ) 。
- よって数列 { an + 2 } は公比 6 の等比数列。
- 初項は a1 + 2 = 12 + 2 = 14 。
- したがって an + 2 = 14 · 6n−1 。
答え： an = 14 · 6n−1 − 2
3. 検算（ここまでを1セットにする）
n = 1： 14 × 1 − 2 = 12 。初項に一致します。
n = 2： 漸化式からは 6 × 12 + 10 = 82 。一般項からは 14 × 6 − 2 = 82 。一致します。
漸化式の問題は、一般項を出したら必ず n = 1 と n = 2 を入れる。符号ミスと初項ずれはここでほぼ全部捕まります。
この型の一般化： an+1 = pan + q（p ≠ 1）は、つねに β = q / (p − 1) を両辺に足せば等比に落ちます。ただし q が定数でなく n の式になっている場合（an+1 = pan + f(n)）はこの手が効かず、両辺を pn+1 で割る、階差を取る、といった別の一手に切り替えます。どの分岐を選ぶかは第11章 数列で整理しています。
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上智大学 2005年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 整数
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- 確率・場合の数
- 関数・グラフ
- 空間図形
- 方程式・不等式
- 指数・対数
この年度の出題範囲と傾向
2005年度の問題PDFでは、整数、図形・三角関数、微分・積分、確率・場合の数、関数・グラフに関する語句や設問を確認できました。上智大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は24年度、整数は24年度、関数・グラフは24年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 整数、図形・三角関数、関数・グラフ、微分・積分
(1) Pla) = 5 となる 2 以上の自然数 。 のうち最小のものはg=
である。
(2) 自然数 ヵ が 2 Sn S100 の範囲にあるとき ア(ヵ) の最大値は
であり, P(b) = となる自然数 Id, 2 く 5 S 100 の範囲に全
部で | シ| 個ある。
(3) < を 2 以上の自然数とし 自然数ヵ が 2 くんくcの範囲にあるとき,
P(n) の最大値が 11 でやるとする。このようなcの最小値は | ス|,
最大値は である。
ーー 5一 AK-H-02
4を実数とし, 3B f (0) = 29 — 3(a — 1)x? — 1202 — 90 を考える。
Qe= Ekle = DEX, f(x) の値はgの値によらな
い。ただし < とする。
Q)a= のとき f(x) は極値をもたない。
(3) (<) の極小値はg < のとき [> ]o+ Cb), a>
のとき eer け である。
(4) f(x) の極小値が最大になるのはo = のときで, そのときの
f(x) の極小値は である。
— 6 — AK-H-02
| 4 | 3 AB, BC, CA がそれぞれ 5,6,7 の三角形 ABC がある。辺 AB,
BC, CA をそれぞれ t: ロー (ただし0 <7< 1) に内分する京を D,
BP とする。
(1) AE が BC に垂直であるならば, そのときの t OF =—— で
AE= [e]y である。三角形 ABC の面積 1
(2) 三角形 DEF の面積は一般に
EEIEIEID
i
Ch) t= = ola 三ーー= をとる。
=
(3) 三角形 ABC の外接円の半径は ーー |ヶ 内接円の半径は
—
—— である。
ーィー AK-H-02
である。
(2) 自然数 ヵ が 2 Sn S100 の範囲にあるとき ア(ヵ) の最大値は
であり, P(b) = となる自然数 Id, 2 く 5 S 100 の範囲に全
部で | シ| 個ある。
(3) < を 2 以上の自然数とし 自然数ヵ が 2 くんくcの範囲にあるとき,
P(n) の最大値が 11 でやるとする。このようなcの最小値は | ス|,
最大値は である。
ーー 5一 AK-H-02
4を実数とし, 3B f (0) = 29 — 3(a — 1)x? — 1202 — 90 を考える。
Qe= Ekle = DEX, f(x) の値はgの値によらな
い。ただし < とする。
Q)a= のとき f(x) は極値をもたない。
(3) (<) の極小値はg < のとき [> ]o+ Cb), a>
のとき eer け である。
(4) f(x) の極小値が最大になるのはo = のときで, そのときの
f(x) の極小値は である。
— 6 — AK-H-02
| 4 | 3 AB, BC, CA がそれぞれ 5,6,7 の三角形 ABC がある。辺 AB,
BC, CA をそれぞれ t: ロー (ただし0 <7< 1) に内分する京を D,
BP とする。
(1) AE が BC に垂直であるならば, そのときの t OF =—— で
AE= [e]y である。三角形 ABC の面積 1
(2) 三角形 DEF の面積は一般に
EEIEIEID
i
Ch) t= = ola 三ーー= をとる。
=
(3) 三角形 ABC の外接円の半径は ーー |ヶ 内接円の半径は
—
—— である。
ーィー AK-H-02
問2画像OCR
検出分野: 整数、図形・三角関数、空間図形、関数・グラフ、方程式・不等式
(1) zy 平面上の放物線 : 9ニダアータテー4 と点(0.4) を通る直線
4 がある。の」 ELD 2 つの交点のz座標の差が6 のとき,?《の
方程式は
y= [7 ]z+4 または y= レド**
である。ただし, < とする。
(2) cy 平面上の放物線 C。 : y=ar? +br+c が,次の 3 つの条件
をみたすとする。
© の は京 (1.3) を通る。
© y 軸に関してC。 と対称な放物線は, A (—2,1) を通る。
© A (1.1) に関して〇。 と対称な放物線は, 点 (2一5) を通る。
このとき,
である。
(3) 方程式 18x一7y = 9 をみたす 2つの正の整数xy OPC, cty
が最小になるのはァニ | y= DLE CHO, a+y
の 2 番目に小さい値は である。
—4— AK-H-04
|2 | sy 平面上に3っの直線
Go: r+y-3=0
lg: w-2’=0
fg: z十29=0
がある。ム4とらの交点をA、らとの交点を B, LL の交点をで
とする。
(1) 三角形 ABCにおいて, sin B = === であり,外接円の直径は
(2) 三角形ABCの辺BCを1:2 に内分する点をP とする。 P OME
標は(| 2 |, |でぁゅ。 P を通り辺 BCに垂直な直線は
である。
(3) 三角形 ABC において, ZA DIL BORE ma + ny = 3V5 EF
ると
n= (F)+/P). (+ 回 {A
である。ただし, < とする。
(4) 点 (x,y) が三角形ABC の周と内部を動くとき
x+y —w+by+8
の最大値は [=]. 最小値は である。
5 一 AK-H-04
与えられた正の整数の集合 X に対して, X の中の 2 つの数の差と
して表される正の整数の全体を の(XY) とする。
たとえば, = {1, 2, 3, 4} のとき,3-2=ニ1, 4-1=3 なので, 1
と 3 は集合 D(X) の要素である。
a) A=, 9のときpの=ネッ| 回
る。ただし, < < とする。
(2) = 人1。 2, 3, 8, 9, 10} のとき, の(お) の要素は 個あ
り, その中で3 の倍数は 個ある。
(3) C={1, 2, 4, 7, 9, 12, 13, 14, 21, 34, とする。
Cの中で4で割ると1 余る数は 個, 4 で割ると3余る数
は 個ある。の(O) の中で4 の倍数は 個ある。
(4) 正の整数の集合 は, 4 つの要素からなり, 1 はY に属し,
DY) = 1, 2, 3, 4 5, 6} であるとする。このとき,Yは1以
外に必ず を要素とする。このようなY は全部で
通りあり, その中でさらに 2 を要素とするものは
である。
6 AK-H-04
4 がある。の」 ELD 2 つの交点のz座標の差が6 のとき,?《の
方程式は
y= [7 ]z+4 または y= レド**
である。ただし, < とする。
(2) cy 平面上の放物線 C。 : y=ar? +br+c が,次の 3 つの条件
をみたすとする。
© の は京 (1.3) を通る。
© y 軸に関してC。 と対称な放物線は, A (—2,1) を通る。
© A (1.1) に関して〇。 と対称な放物線は, 点 (2一5) を通る。
このとき,
である。
(3) 方程式 18x一7y = 9 をみたす 2つの正の整数xy OPC, cty
が最小になるのはァニ | y= DLE CHO, a+y
の 2 番目に小さい値は である。
—4— AK-H-04
|2 | sy 平面上に3っの直線
Go: r+y-3=0
lg: w-2’=0
fg: z十29=0
がある。ム4とらの交点をA、らとの交点を B, LL の交点をで
とする。
(1) 三角形 ABCにおいて, sin B = === であり,外接円の直径は
(2) 三角形ABCの辺BCを1:2 に内分する点をP とする。 P OME
標は(| 2 |, |でぁゅ。 P を通り辺 BCに垂直な直線は
である。
(3) 三角形 ABC において, ZA DIL BORE ma + ny = 3V5 EF
ると
n= (F)+/P). (+ 回 {A
である。ただし, < とする。
(4) 点 (x,y) が三角形ABC の周と内部を動くとき
x+y —w+by+8
の最大値は [=]. 最小値は である。
5 一 AK-H-04
与えられた正の整数の集合 X に対して, X の中の 2 つの数の差と
して表される正の整数の全体を の(XY) とする。
たとえば, = {1, 2, 3, 4} のとき,3-2=ニ1, 4-1=3 なので, 1
と 3 は集合 D(X) の要素である。
a) A=, 9のときpの=ネッ| 回
る。ただし, < < とする。
(2) = 人1。 2, 3, 8, 9, 10} のとき, の(お) の要素は 個あ
り, その中で3 の倍数は 個ある。
(3) C={1, 2, 4, 7, 9, 12, 13, 14, 21, 34, とする。
Cの中で4で割ると1 余る数は 個, 4 で割ると3余る数
は 個ある。の(O) の中で4 の倍数は 個ある。
(4) 正の整数の集合 は, 4 つの要素からなり, 1 はY に属し,
DY) = 1, 2, 3, 4 5, 6} であるとする。このとき,Yは1以
外に必ず を要素とする。このようなY は全部で
通りあり, その中でさらに 2 を要素とするものは
である。
6 AK-H-04
問3画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、空間図形、整数、関数・グラフ
(1) とでの交点の個数がちょうど3つになるための必要十分条件は
である。このとき原点以外の2 つの交点のz座標は
ただし [> ]p+ < [> |p+ | ネ | でぁる。
(2) p が条件 (*) をみたすとき, 《とので囲まれる 2 つの領域のうち,
(より上にある領域の面積は
をより下にある領域の面積は
である。この2つの面積の和はヵニ + |=] De
き最小になる。
= 5 AK-H-01
すべての辺の長さが 1 である下図のような立体がある。この立体の辺
上を通ってNから8へ行く経略を考える。ただし同じ点を2度通って
はいけない。
最短の経路は長さ3であり, この長さになる経路は全部で4通りある。
(1) 長さが4 の経路は全部で 通りある。
(2) 長さが5 の経路は全部で 通りある。
(3) 長さが6 の経路は全部で 通りある。
(4) 最長の経路は長さ であり、NつABっ つS と進む最長の
経路は全部で 通り, NAGE... つ8 と進む最長の経路は
全部で 通りある。したがって, 最長の経路は全部で 通
りあることがわかる。
N
A
c
E
SE と2G
S
ー6 一 AK-H-0I
である。このとき原点以外の2 つの交点のz座標は
ただし [> ]p+ < [> |p+ | ネ | でぁる。
(2) p が条件 (*) をみたすとき, 《とので囲まれる 2 つの領域のうち,
(より上にある領域の面積は
をより下にある領域の面積は
である。この2つの面積の和はヵニ + |=] De
き最小になる。
= 5 AK-H-01
すべての辺の長さが 1 である下図のような立体がある。この立体の辺
上を通ってNから8へ行く経略を考える。ただし同じ点を2度通って
はいけない。
最短の経路は長さ3であり, この長さになる経路は全部で4通りある。
(1) 長さが4 の経路は全部で 通りある。
(2) 長さが5 の経路は全部で 通りある。
(3) 長さが6 の経路は全部で 通りある。
(4) 最長の経路は長さ であり、NつABっ つS と進む最長の
経路は全部で 通り, NAGE... つ8 と進む最長の経路は
全部で 通りある。したがって, 最長の経路は全部で 通
りあることがわかる。
N
A
c
E
SE と2G
S
ー6 一 AK-H-0I
問4画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、整数、関数・グラフ、空間図形、図形・三角関数
(1) p=at+ [y ].q=6+ であり,9= ぱ]p+
である。
(2) 点 P(o, ) を通り / に直交する直線を ム とする。ム は
y= 一 -@+g
と表される。 ム に関して直線 > = o と対称な直線を 6 LTS,
は
y= = (e-a) +8
と表される。ム LBM r=p の交点を R(ヵ,7) とすると
rae
.
が成り立つ。
= AK-H-05
目の出る確率が次の表のようになる直方体のサイコロがある。
時四HEEBEEII
vp || Fea | Ay pe | a fa
(1) サイコロを 2 回投げて出た 2 個の目の中に 1 suums Lol
である。
(2) サイコロを 3 回投げて出た3 個の目の中に 3 はあるが, 1も2もな
い確率は —— CHS,
(3) サイコロを n 回投げて出た ヵ 個の目の中に 3 はあるが, 1 も 2 もな
い確率は
n n
である。
(4) サイコロをヵ 回 (n> 2) 投げて出た n 個の目の中に 1 と2の両方
がある確率は
1 n yn = nm
1 (EF x 11 +[=] x 10 +[5] x0")
である。
(5) サイコロを n 回 (n> 2) 投げて出た ヵ 個の目の中に 2 はないが
1と6の両方がある確率は
1 ne in ん2
PEれ +|ぇ| x9 + [=] x#")
. である。
ー6 一 AK-H-05
である。
(2) 点 P(o, ) を通り / に直交する直線を ム とする。ム は
y= 一 -@+g
と表される。 ム に関して直線 > = o と対称な直線を 6 LTS,
は
y= = (e-a) +8
と表される。ム LBM r=p の交点を R(ヵ,7) とすると
rae
.
が成り立つ。
= AK-H-05
目の出る確率が次の表のようになる直方体のサイコロがある。
時四HEEBEEII
vp || Fea | Ay pe | a fa
(1) サイコロを 2 回投げて出た 2 個の目の中に 1 suums Lol
である。
(2) サイコロを 3 回投げて出た3 個の目の中に 3 はあるが, 1も2もな
い確率は —— CHS,
(3) サイコロを n 回投げて出た ヵ 個の目の中に 3 はあるが, 1 も 2 もな
い確率は
n n
である。
(4) サイコロをヵ 回 (n> 2) 投げて出た n 個の目の中に 1 と2の両方
がある確率は
1 n yn = nm
1 (EF x 11 +[=] x 10 +[5] x0")
である。
(5) サイコロを n 回 (n> 2) 投げて出た ヵ 個の目の中に 2 はないが
1と6の両方がある確率は
1 ne in ん2
PEれ +|ぇ| x9 + [=] x#")
. である。
ー6 一 AK-H-05
問5画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、図形・三角関数、微分・積分、方程式・不等式、関数・グラフ
(1) 6 と C の交点の数は のとき [7 ].#> のとき
である。
(Q)k> とする。の と で囲まれる図形のうち y 軸の左側にあ
る部分の面積 5』 は, 軸の右側にある部分の面積 。 の 倍
CHS. Kit, Si る = 40 となるのはたー のときである。
(3) 直線 9 mr +1) +1 E 〇がちょうど2京を共有するための必要
十分条件は, m = または = + |ッ|
ただし 回回回 [7] < |レ| でぁs。
—5— AK-H-03
A さんを含めた5人がジャンケンを行い. ただ 1 人の優勝者が決まる
まで勝ち残った人でジャンケンを繰り 返す。ただし5人とも無作為に
グー、 チョキ, パーの 1 つを出すものとする。
(1) 1思で勝者が決まる確率は ーーー, ここでq= |ァ| である。
(2) 1 回妥に2 人のみが勝ち残る確率は 一ーー、 ここで1 = [=]. で
ある。
(3) 1 回目があいこ (全員が同じものを出すか, またはグー, Fax, パー
mei cL) となる確率はーーー, ここで<= [+], である。
(4) A さんが1回目に勝つ確率は 上6 ここで』= [>]. である。
(5) A さんが2回目に作勝者となる確率は ーー、ここで< = レ
である。
(6) !回上から特回1人ずつ負けで4回目で優勝者が決まる確率は テー。
ここで= [| である。
ー6 一 AK-H-03
である。
(Q)k> とする。の と で囲まれる図形のうち y 軸の左側にあ
る部分の面積 5』 は, 軸の右側にある部分の面積 。 の 倍
CHS. Kit, Si る = 40 となるのはたー のときである。
(3) 直線 9 mr +1) +1 E 〇がちょうど2京を共有するための必要
十分条件は, m = または = + |ッ|
ただし 回回回 [7] < |レ| でぁs。
—5— AK-H-03
A さんを含めた5人がジャンケンを行い. ただ 1 人の優勝者が決まる
まで勝ち残った人でジャンケンを繰り 返す。ただし5人とも無作為に
グー、 チョキ, パーの 1 つを出すものとする。
(1) 1思で勝者が決まる確率は ーーー, ここでq= |ァ| である。
(2) 1 回妥に2 人のみが勝ち残る確率は 一ーー、 ここで1 = [=]. で
ある。
(3) 1 回目があいこ (全員が同じものを出すか, またはグー, Fax, パー
mei cL) となる確率はーーー, ここで<= [+], である。
(4) A さんが1回目に勝つ確率は 上6 ここで』= [>]. である。
(5) A さんが2回目に作勝者となる確率は ーー、ここで< = レ
である。
(6) !回上から特回1人ずつ負けで4回目で優勝者が決まる確率は テー。
ここで= [| である。
ー6 一 AK-H-03
問6画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、方程式・不等式、整数、図形・三角関数、関数・グラフ
(1) <=1 のとき,2 OMAR y = f(x), y = 9() で囲まれる図形の面
積は = であぁる。
(2) (<) - 9(?)| の最小値は、
0<eS のとき, であり,
<o のとき, == + 回 [> Je+ である。
(8) g=|タ| のとき
」
[ te) - ey) ae =
である。
ー5一 AK-H-06
袋の中に, 青, 赤, 黄の3つの球が入っている。また箱の中に青, ROK
が入っている。この袋から 1 つの球を取り出す。
* 取り出した球の色が青ならば, 2 点獲得して, その青い球を箱の中
に入れ, 箱の中の赤い球を袋に入れる。
* 取り出した球の色が黄ならば, 1 点獲得して, その黄色の球を袋に
戻す。
* 取り出した球の色が赤ならば, 獲得点0 で, その赤い球を箱の中に
入れ, 箱の中の青い球を袋に入れる。
n BIB (n 22) の試行では, (ヵー 1) 回目の試行で得られた袋より球を
取り出し, 1回目の試行と同様に点を獲得し, 袋の中の球を出し入れす
る。ここで, 袋の中の3 つの球のうちの 1 つを取り出す確率は, 球によ
らず等しくさ とする。
たとえば最初に黄色の球を取り出せば, 1 点獲得して, 黄色の球を袋
に戻すから袋の中は「青, 赤, 黄」となる。2 回目にこの袋から赤い球
を取り出せば, 獲得点 0 で青い球を袋に入れる。この 2 回の試行での獲
得点の合計は 1 点となり, BO, HH, 黄」となっている。
(1) 次に述べてあることが正しければ, 解答欄の 〇 に, 正しくなければ,
解答欄の X にマークせよ。
(あ) 3 回目の試行で, 獲得点の合計が 4 点となるのは, 毎回の試行で
「青があれば, 青、 なければ, 黄」が取り出された場合に限る。
(い) 3 回目の試行で, 獲得点の合計が4 点となったとする。このとき
3 回目の試行で得られた袋の中身は, 必ず「赤.赤, 黄」となって
いる。
(5) 3 回目の試行で得られた袋の中身が「赤,赤,黄」であれば, 獲得
点の合計は4 点である。
ー6 一 AK-H-06
(2) 3 回目の試行で獲得点の合計が 4 点となる確率は 一ご
2 点となる確率は 一 である。また3回目の試行の後, 袋の中が
「青, 赤。 黄】」となる確率は —— である。
(3) n 回目の試行の後、 袋の中に「赤、 赤, 黄」の球がある確率を p。。
「青, 赤、 黄」の球がある確率を on, 「青, 青, 黄」の球がある確率を
Tr ET Bo Prsdns tn に関する滞化式は
Pat = 3 (Pn + %)
Gu. = 5 ([® |po+ [= ]o+ [ = |r)
Tal = 3 (Qn + Tn)
ChE, LOWEKL, =a =n= ; ED, pp =m となること
BPRS. SSC pa tanttn =1 であるから,g。 に関する滞化式
on = SS + SS
が得られる。
— 詳 ー AK-H-06
積は = であぁる。
(2) (<) - 9(?)| の最小値は、
0<eS のとき, であり,
<o のとき, == + 回 [> Je+ である。
(8) g=|タ| のとき
」
[ te) - ey) ae =
である。
ー5一 AK-H-06
袋の中に, 青, 赤, 黄の3つの球が入っている。また箱の中に青, ROK
が入っている。この袋から 1 つの球を取り出す。
* 取り出した球の色が青ならば, 2 点獲得して, その青い球を箱の中
に入れ, 箱の中の赤い球を袋に入れる。
* 取り出した球の色が黄ならば, 1 点獲得して, その黄色の球を袋に
戻す。
* 取り出した球の色が赤ならば, 獲得点0 で, その赤い球を箱の中に
入れ, 箱の中の青い球を袋に入れる。
n BIB (n 22) の試行では, (ヵー 1) 回目の試行で得られた袋より球を
取り出し, 1回目の試行と同様に点を獲得し, 袋の中の球を出し入れす
る。ここで, 袋の中の3 つの球のうちの 1 つを取り出す確率は, 球によ
らず等しくさ とする。
たとえば最初に黄色の球を取り出せば, 1 点獲得して, 黄色の球を袋
に戻すから袋の中は「青, 赤, 黄」となる。2 回目にこの袋から赤い球
を取り出せば, 獲得点 0 で青い球を袋に入れる。この 2 回の試行での獲
得点の合計は 1 点となり, BO, HH, 黄」となっている。
(1) 次に述べてあることが正しければ, 解答欄の 〇 に, 正しくなければ,
解答欄の X にマークせよ。
(あ) 3 回目の試行で, 獲得点の合計が 4 点となるのは, 毎回の試行で
「青があれば, 青、 なければ, 黄」が取り出された場合に限る。
(い) 3 回目の試行で, 獲得点の合計が4 点となったとする。このとき
3 回目の試行で得られた袋の中身は, 必ず「赤.赤, 黄」となって
いる。
(5) 3 回目の試行で得られた袋の中身が「赤,赤,黄」であれば, 獲得
点の合計は4 点である。
ー6 一 AK-H-06
(2) 3 回目の試行で獲得点の合計が 4 点となる確率は 一ご
2 点となる確率は 一 である。また3回目の試行の後, 袋の中が
「青, 赤。 黄】」となる確率は —— である。
(3) n 回目の試行の後、 袋の中に「赤、 赤, 黄」の球がある確率を p。。
「青, 赤、 黄」の球がある確率を on, 「青, 青, 黄」の球がある確率を
Tr ET Bo Prsdns tn に関する滞化式は
Pat = 3 (Pn + %)
Gu. = 5 ([® |po+ [= ]o+ [ = |r)
Tal = 3 (Qn + Tn)
ChE, LOWEKL, =a =n= ; ED, pp =m となること
BPRS. SSC pa tanttn =1 であるから,g。 に関する滞化式
on = SS + SS
が得られる。
— 詳 ー AK-H-06
問7画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、関数・グラフ、整数、複素数
(1) OP の長さは x である。 BQ の長さは x
CHS. PQ の長さは x CHS.
(2) AABC の面積は x である。 へOPQ の面積は x
である。
(3) AOPQ の面積が へABC の面積の 2 倍となるときの最も大きい 9
は 一 CHS, REL 0 <9< 2 とする。
から の選択肢
(a) sind (b) 5 (©) sin20 (a) ーー
a snd (©) 826 (4) 55
1 1
(e) cos9 (f) PT (g) cos29 (h) San
」 ol 1
(i tand () 7 90em20 ()
i AK-H-08
[2] (1) yet sine HS 2 = 0 CHIMES ESLER,
tana = ——-,, sina = —=—
である。
(2) 複素数 > =ニァ+ 5。ゅ=1十2 を考える。ただし, zy は実数で
< > 0 EL, は虚数単位とする。> OHM y を定数とするとき,
| を最大にする s は
z+w
EE
である。
a? +ar+b 1
= Doe’ 1 パニで こ
(8) f@) = SST の最大値が 3, 最小値が = である。このとき
(a,b) = (2): [7]) または (=): [7}) である。ただ
< とする。
dE =< AK-H-08
3 次関数 9= 9 3gz2 + gz のグラフを CESS, ME の接線が
で に 2 本引けるとき, その 2 接点を結ぶ直線の傾きを k(m) とする。
(1) BEE m の接線が 〇 に 2 本引けるための必要十分条件は
m> a+ b
である。
に|
(2) k(m) = [> ]@ + ==) + ——-m である。
以下では, a,b が (0) = -2 を満たすときについて考える。
(3) この 3 次関数は 2 = []a+ のとき 極大値をとる。
(4) この 3 次関数の極大値と李小値の差は である。
(6) さらに= 0 のときについて考える。 C の接線のうちで傾きが最小
となるものを ty とすると, その方程式は 9 = [A]e+ で
ある。O が極大となる点での接線を 6 ETZEL, bo OC TH
Sphepopeerenimeaiy である。
ー 6 — AK-H-08
_(06
4 a-(3 : とする。
cy atest (71) 4( #) (k=1,2,3,---) を考える。
人k+1 Uk
(i) jp = 30, 23=-6 となるとき, gi = [A].m= である。
(ii) ( 1 ) - ( 2) とするとき, ( 2 ) =( a ) となるのは.
ca a Yo U
のときである。ただし, < とする。
Q)a= ( (1) で求めた値 EL, West
Thy a_i Lp 12 ー or 内
ne) = a(S) 4 ( - ) (k = 1.2,3,...・) を考える。
(5) とするとき。,
1 0
k-1
" :
9 Lepr _i Lk 1 = =
cy wet ("Jae (2) (k = 1,2,3,-+-)
を考える。
(3 ) -(4) とするとき, ‘ano Hl eas,
n 0 をoo
ー7ィー AK-H-08
CHS. PQ の長さは x CHS.
(2) AABC の面積は x である。 へOPQ の面積は x
である。
(3) AOPQ の面積が へABC の面積の 2 倍となるときの最も大きい 9
は 一 CHS, REL 0 <9< 2 とする。
から の選択肢
(a) sind (b) 5 (©) sin20 (a) ーー
a snd (©) 826 (4) 55
1 1
(e) cos9 (f) PT (g) cos29 (h) San
」 ol 1
(i tand () 7 90em20 ()
i AK-H-08
[2] (1) yet sine HS 2 = 0 CHIMES ESLER,
tana = ——-,, sina = —=—
である。
(2) 複素数 > =ニァ+ 5。ゅ=1十2 を考える。ただし, zy は実数で
< > 0 EL, は虚数単位とする。> OHM y を定数とするとき,
| を最大にする s は
z+w
EE
である。
a? +ar+b 1
= Doe’ 1 パニで こ
(8) f@) = SST の最大値が 3, 最小値が = である。このとき
(a,b) = (2): [7]) または (=): [7}) である。ただ
< とする。
dE =< AK-H-08
3 次関数 9= 9 3gz2 + gz のグラフを CESS, ME の接線が
で に 2 本引けるとき, その 2 接点を結ぶ直線の傾きを k(m) とする。
(1) BEE m の接線が 〇 に 2 本引けるための必要十分条件は
m> a+ b
である。
に|
(2) k(m) = [> ]@ + ==) + ——-m である。
以下では, a,b が (0) = -2 を満たすときについて考える。
(3) この 3 次関数は 2 = []a+ のとき 極大値をとる。
(4) この 3 次関数の極大値と李小値の差は である。
(6) さらに= 0 のときについて考える。 C の接線のうちで傾きが最小
となるものを ty とすると, その方程式は 9 = [A]e+ で
ある。O が極大となる点での接線を 6 ETZEL, bo OC TH
Sphepopeerenimeaiy である。
ー 6 — AK-H-08
_(06
4 a-(3 : とする。
cy atest (71) 4( #) (k=1,2,3,---) を考える。
人k+1 Uk
(i) jp = 30, 23=-6 となるとき, gi = [A].m= である。
(ii) ( 1 ) - ( 2) とするとき, ( 2 ) =( a ) となるのは.
ca a Yo U
のときである。ただし, < とする。
Q)a= ( (1) で求めた値 EL, West
Thy a_i Lp 12 ー or 内
ne) = a(S) 4 ( - ) (k = 1.2,3,...・) を考える。
(5) とするとき。,
1 0
k-1
" :
9 Lepr _i Lk 1 = =
cy wet ("Jae (2) (k = 1,2,3,-+-)
を考える。
(3 ) -(4) とするとき, ‘ano Hl eas,
n 0 をoo
ー7ィー AK-H-08
問8画像OCR
検出分野: 整数、微分・積分、空間図形、図形・三角関数
(1) 2 つの有理数の和は, また有理数であることを示せ。
(2) 次の命題 (P) とその証明を考える。
(P) | の6, の, %,...・ が有理数であるとき,
その無限和 ) g, は有理数である。
i=l
証明 : 1, が有理数だから, + の は有理数である。
そこで ヵ を 2 以上の自然数とし、
Q= la が有理数であると仮定する。
= n+l
このとき, うしw =Q+ ri CH,
も の も仮定によって有理数だから」
ntl
Soa もまた有理数である。
i=l
したがって数学的帰納法により, Sq: は有理数である。
i=l
実は命題 (P) は間違っている。反例を示した上で, 上の証明のどこ
が間違っているかを説明せよ。
= AK-H-10
[2] (1) xy 平面で, HAP ARE M = {(0,y) | +e <1} を Be
Qは集合 = {(x,y) | kl +lyl = 3} を動くとする。このとき,
OR = OP + 0Q で表される点 Rが動いてできる図形を図示し, そ
の面積を求めよ。ただし, Oは原点とする。
(2) zgz 空間で, 動点Pは集合 7 = {(c,y,z) | a? +y?+2? ミ1) を
動点Qは集合 = {(2,y,2) | le] S 1 yl Sle ミ 1) を動くとす
る。このとき, OR = OB + 09 で表される点Rが動いてできる図
形の体積を求めよ。ただし, Oは原点とする。
ー5 一 AK-H-10
自然数 ヵ に対し
a = ne
"(Qn + 1)(2n + 3)
とおきぎ,
EC
i=1
とする。このとき。,
gut 1
Sn = ony 8) 2
であることを示せ。
ー6 一 AK-H-10
(2) 次の命題 (P) とその証明を考える。
(P) | の6, の, %,...・ が有理数であるとき,
その無限和 ) g, は有理数である。
i=l
証明 : 1, が有理数だから, + の は有理数である。
そこで ヵ を 2 以上の自然数とし、
Q= la が有理数であると仮定する。
= n+l
このとき, うしw =Q+ ri CH,
も の も仮定によって有理数だから」
ntl
Soa もまた有理数である。
i=l
したがって数学的帰納法により, Sq: は有理数である。
i=l
実は命題 (P) は間違っている。反例を示した上で, 上の証明のどこ
が間違っているかを説明せよ。
= AK-H-10
[2] (1) xy 平面で, HAP ARE M = {(0,y) | +e <1} を Be
Qは集合 = {(x,y) | kl +lyl = 3} を動くとする。このとき,
OR = OP + 0Q で表される点 Rが動いてできる図形を図示し, そ
の面積を求めよ。ただし, Oは原点とする。
(2) zgz 空間で, 動点Pは集合 7 = {(c,y,z) | a? +y?+2? ミ1) を
動点Qは集合 = {(2,y,2) | le] S 1 yl Sle ミ 1) を動くとす
る。このとき, OR = OB + 09 で表される点Rが動いてできる図
形の体積を求めよ。ただし, Oは原点とする。
ー5 一 AK-H-10
自然数 ヵ に対し
a = ne
"(Qn + 1)(2n + 3)
とおきぎ,
EC
i=1
とする。このとき。,
gut 1
Sn = ony 8) 2
であることを示せ。
ー6 一 AK-H-10
問9画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、整数、指数・対数、微分・積分、関数・グラフ
(1)
(BAP + [= ](e4)+ [y JE=0
が成り立つ。ただし, PART, のは堆行列である。これから,
a= [7 ].u= がわかる。
(2) z 1 に対して
(AB)*#? — (BAM? =
(apy — (Bay) + (eg - (Bay")
が成り立つ。
(3)
(AB)? — (BA)® = 175 x
である。
(4) 4,ぢの成分は負でない整数とする。また, 4 の対角成分は等しいと
する。 行列の積に関する結合則 (4)4 = A(BA) を用いることで,
A=
がわかる。よって,
B=
となる。
— 6 こっ AK-H-07
図のように, 一辺の長さが の正方形 ABCD の内部に、 一辺の長さが
4 の正三角形PQR が接している。ただし, a> 4 とする。はじめ, 頂
点A4とPとが重なり、Qは辺 AB 上にある。この時点をぇ= 0とする。
PQR を頂点 Q を中心として時計回りに, Rが辺 AB あるいは右隣の辺
BC 上に来るまで回転させる。この操作が終わった時点を= 1とす
る。次に PQR を R を中心として時計回りに,PがRの乗っている辺
あるいはその右隣の辺の上に来るまで回転させる。この操作が終わっ
た時点を= 2 とする。
以下同様にして, PQR を ABCD の内側に接しながら転がしていく。
D C
AP Q B
(1) t= 5で正三角形 PQOR のいずれかの頂点が A に戻るのは,
a= ra [=] /[4] DEETHS. TOLR, t=05
£=5 までの間に頂点Rの描く軌跡の長さは | |でぁs。
(2) t= 6で正三角形 PQR のいずれかの頂点が A に戻るのは,
ただし < とする。
(3) t= 4 で正三角形 PQR のいずれかの頂点が A に戻るとすると,
IPIEL2TIEIE3EI EE
が成り立つ。
sa om AK-H-07
(BAP + [= ](e4)+ [y JE=0
が成り立つ。ただし, PART, のは堆行列である。これから,
a= [7 ].u= がわかる。
(2) z 1 に対して
(AB)*#? — (BAM? =
(apy — (Bay) + (eg - (Bay")
が成り立つ。
(3)
(AB)? — (BA)® = 175 x
である。
(4) 4,ぢの成分は負でない整数とする。また, 4 の対角成分は等しいと
する。 行列の積に関する結合則 (4)4 = A(BA) を用いることで,
A=
がわかる。よって,
B=
となる。
— 6 こっ AK-H-07
図のように, 一辺の長さが の正方形 ABCD の内部に、 一辺の長さが
4 の正三角形PQR が接している。ただし, a> 4 とする。はじめ, 頂
点A4とPとが重なり、Qは辺 AB 上にある。この時点をぇ= 0とする。
PQR を頂点 Q を中心として時計回りに, Rが辺 AB あるいは右隣の辺
BC 上に来るまで回転させる。この操作が終わった時点を= 1とす
る。次に PQR を R を中心として時計回りに,PがRの乗っている辺
あるいはその右隣の辺の上に来るまで回転させる。この操作が終わっ
た時点を= 2 とする。
以下同様にして, PQR を ABCD の内側に接しながら転がしていく。
D C
AP Q B
(1) t= 5で正三角形 PQOR のいずれかの頂点が A に戻るのは,
a= ra [=] /[4] DEETHS. TOLR, t=05
£=5 までの間に頂点Rの描く軌跡の長さは | |でぁs。
(2) t= 6で正三角形 PQR のいずれかの頂点が A に戻るのは,
ただし < とする。
(3) t= 4 で正三角形 PQR のいずれかの頂点が A に戻るとすると,
IPIEL2TIEIE3EI EE
が成り立つ。
sa om AK-H-07
問10画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、整数、微分・積分、空間図形、指数・対数
問題 2 | から| 4 | の解答は, から には当てはまる数値を。
から には選択肢から最もふさわしいものを, それぞれマー
クせよ。ただし、 は円周率とする。
3平面上の 4 点A(2.2). B(-2,2), C(-2,-2), D(2 2) を頂点とする
正方形 ABCD を考える。
(1) ABCD の内部で, ABCD のどの辺への距離よりも原点O への距離が
小さいような点P ORES MARE Ke
(2) 上で求めた点P の存在箇囲の面積を求めよ。
ーォ4一 AK-H-09
[2] () y = we2 — 20-11) fh = で極大値をとり, 2 =
で極小値をとる。
(2)
A= {a|sinx > 0}, B= {2|ze* S$ 3}, C = {a\x? <1}
とするとき,
-引ぁ|4ng 105/19 |v, g| 3c
が成り立つ。
から の選択股 :
@e (b)¢ (> ds 19= (fC (>
@) -
F(a)= 1 ーglgz
(@) = f [loge - alex
tvs. F(l)= [2 e+ である。また, FRBIMEELS
のは。= のときである。
の選択肢 :
(a) (b) gd+の () og (1+§) Qi (むり
(+ GOg二2 @19ぁes0+9
ー5 一 AK-H-09
cyz 空間の 4 点 O(0.0,0), A(6,0,0), B(0.3.0) C(0,3,3) を頂点とす
る三角難OABO を考える。0 <3 OLS, Mili yaa による三角
雛OABCの断面の面積は
CHS. Hit, 三角傘OABCをり軸の周りに回転してできる回転体
の体積は [¥]- である。
回転体 の zy 平面による断面は, 双曲線
と 2 直線サー 0, リー 3 とで囲まれる図形であり、 HOWE,
i=
r=t he.
で表される 2 直線である。
ー6 一 AK-H-09
2x2 Bl A, BR,
nid 9
（続きは問題PDFで確認できます）
から には選択肢から最もふさわしいものを, それぞれマー
クせよ。ただし、 は円周率とする。
3平面上の 4 点A(2.2). B(-2,2), C(-2,-2), D(2 2) を頂点とする
正方形 ABCD を考える。
(1) ABCD の内部で, ABCD のどの辺への距離よりも原点O への距離が
小さいような点P ORES MARE Ke
(2) 上で求めた点P の存在箇囲の面積を求めよ。
ーォ4一 AK-H-09
[2] () y = we2 — 20-11) fh = で極大値をとり, 2 =
で極小値をとる。
(2)
A= {a|sinx > 0}, B= {2|ze* S$ 3}, C = {a\x? <1}
とするとき,
-引ぁ|4ng 105/19 |v, g| 3c
が成り立つ。
から の選択股 :
@e (b)¢ (> ds 19= (fC (>
@) -
F(a)= 1 ーglgz
(@) = f [loge - alex
tvs. F(l)= [2 e+ である。また, FRBIMEELS
のは。= のときである。
の選択肢 :
(a) (b) gd+の () og (1+§) Qi (むり
(+ GOg二2 @19ぁes0+9
ー5 一 AK-H-09
cyz 空間の 4 点 O(0.0,0), A(6,0,0), B(0.3.0) C(0,3,3) を頂点とす
る三角難OABO を考える。0 <3 OLS, Mili yaa による三角
雛OABCの断面の面積は
CHS. Hit, 三角傘OABCをり軸の周りに回転してできる回転体
の体積は [¥]- である。
回転体 の zy 平面による断面は, 双曲線
と 2 直線サー 0, リー 3 とで囲まれる図形であり、 HOWE,
i=
r=t he.
で表される 2 直線である。
ー6 一 AK-H-09
2x2 Bl A, BR,
nid 9
（続きは問題PDFで確認できます）