藤原進之介です。このページでは青山学院大学2024年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
問題
解答
青山学院大学2024年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。
Ⅰ(1) 指数の肩に対数がある式の値
(1/216)^(log₆(2/3)) の値を求めます。
底を6にそろえる
216 = 6³ なので 1/216 = 6⁻³。したがって
(1/216)^(log₆(2/3)) = (6⁻³)^(log₆(2/3)) = 6^(−3·log₆(2/3))
指数の係数を対数の中に入れる
−3·log₆(2/3) = log₆(2/3)⁻³ なので
= 6^(log₆(2/3)⁻³) = (2/3)⁻³
ここで使ったのが a^(log_a M) = M という基本公式です。「a を底とする対数を、a の肩に乗せると元に戻る」— 指数と対数が逆演算であることの直接的な表現です。
(2/3)⁻³ = (3/2)³ = 27/8
検算：数値計算で (1/216)^(log₆(2/3)) = 3.375 = 27/8 ✓
Ⅰ(2) 条件つきの最小値（相加相乗）
log₂x + log₂(4y) = 6 のとき、3/x + 1/y の最小値を求めます。
条件を整理する
真数条件より x > 0、y > 0。
log₂x + log₂(4y) = log₂(4xy) = 6 なので 4xy = 2⁶ = 64、すなわち
xy = 16
解答PDFでは log₂x + log₂(4y) = log₂(xy) + 2 と分けて log₂(xy) = 4 とし、xy = 16 を導いています。どちらでも同じ結果です。
相加平均・相乗平均の関係を使う
x > 0、y > 0 より 3/x > 0、1/y > 0。したがって
3/x + 1/y ≧ 2√{(3/x)(1/y)} = 2√(3/xy) = 2√(3/16) = 2 · (√3/4) = √3/2
等号成立条件：3/x = 1/y、すなわち x = 3y。xy = 16 と連立すると 3y² = 16、y = 4/√3、x = 12/√3 = 4√3。
検算：xy = 16 の制約下で 3/x + 1/y を数値的に最小化したところ、0.8660254（= √3/2 ✓）が x ≒ 6.928 = 4√3 で実現しました ✓
相加相乗が使える条件は「2数がともに正」かつ「積が定数」。ここでは (3/x)(1/y) = 3/(xy) = 3/16 と定数になるので使えます。積が定数にならない場合は使えないので、必ず確認してください。
この年の学習ポイント
(1) は指数と対数が入り混じった式の処理。手順は次のとおりです。
(あ) 底をそろえる（216 = 6³ に気づく）
(い) 指数の係数を対数の中に入れる（k·log_a M = log_a M^k）
(う) a^(log_a M) = M で一気に外す
(2) は条件つき最小値の典型。「条件を積の形（xy = 定数）に直す → 相加相乗」という流れを押さえてください。
両問に共通するのは「対数の性質で条件を扱いやすい形に翻訳する」こと。log₂x + log₂(4y) = 6 という条件は、そのままでは使えませんが、xy = 16 に直せば相加相乗の土俵に乗ります。
青山学院大学2024年度は学部・日程ごとに複数の問題が出題されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。
問題PDFをテキストでも確認
青山学院大学 2024年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 確率・場合の数
- 整数
- 指数・対数
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- 関数・グラフ
- 方程式・不等式
- 空間図形
この年度の出題範囲と傾向
2024年度の問題PDFでは、確率・場合の数、整数、指数・対数、図形・三角関数、微分・積分に関する語句や設問を確認できました。青山学院大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、関数・グラフは29年度、微分・積分は29年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 指数・対数、図形・三角関数、関数・グラフ、整数、微分・積分
|
1 2024年度 Z・Z (Rp)
1. 問題は全部で4 題あり, 冊子は計算用の余白も合わせて 10 ページである.
2. 解答用紙に氏名を忘れずに記入すること.
3. 解答は解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の欄以外に記入されたも
のは採点の対象としない
4. 問題同子の余白等は適宜利用してよいが. どのページも切り離してはならない.
5. 解答用紙は必ず提出すること. 問題冊子は持ち帰ってよい.
マーク・シート記入上の注意については, この問題冊子の裏表紙に記載されている
ので試験開始までに確認すること. ただし, 冊子を開いてはならない.
マーク・シート記入上の注意
1 解答は.解和用紙の問題番号に対応した解答欄にマークすること.
2 骨是の文中の| 1 | | 2 | 3 | なとには 特に指示がないかぎり。 #9
(ご), WE(O~ 9) RULE (a~ A) HAS. 1, 2. 3. ... のっーつは, こ
れらのいずれか一つに対応する. SHH ERMBMMD 1, 2, 3.... で示された
解答欄にマークして答えよ
a に 一83 と符えたいとき
| 1 PODDDDOODODODODODA
| 2 CODDOOOGDEDDOOGS
| 3 PODPEDOODGODOO®®)
zp, m—ommascan: | | などが2 度以上現れる場合 2度
anges, | 」| [2] 3 | のょうに統守で表品する。
3 分数形で解答する場合. 分数の符号は分子につけ, 分母につけてはいけない.
例えば, Tey 4 emanvesa, St として符えよ
Ek, それ以上約分できない形で符えること.
aw, と符えるところを, のように符えてはいけない.
4 根号あるいは対数を含む形で解符する場合は. 根晴の中や真数に現れる自然数
が最小となる形で答えよ.
例えば. [[s] に4 と符えるところを 2/8 のように答えては
いけない。 また。 | 9 | logs [10] に 6log。3 EAR SELS, og。9のよ
うに答えてはいけない.
b}+LelWWDs] see
5 PEE CREE EOE CORES BI. に Sage
7/8
と答えるところを。. Stale ~ S28 のょうに答えてはいけない」
(置算用余白]
cos ce
|
| Cat ED
ーター
以下の問に答えよ、
rs DIE]
w (s¢)"*= である.
(2) logyx + log,(4y)=6 OLA,
a1
244 om ca,
mo?
ROLE r= EE
回5
(3) 信二1 *ン0.ッ>0 OES,
ュ 男
log ー log, の最大値は tog,| fs |でぁり.
soときェー7ト[| . Bi CHS,
ie
|
Gh He AD
|
|
cy
回 人へABC において, AB : BC:CA=ニ7:3:8 であり, その面積は18/3 CH
るとする.
11 aa | である.
2 ap=[19],/[20] aa.
3) ABC の外六円半衝は| 21 | である.
(4 ACB の二等分線と外接円の交点のうちCでない方を D とおくと,.
CHS.
= ko
問2画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、関数・グラフ、指数・対数、整数
ーー
CWE] CWE]
SS" HY, そのときのr, y OK = SS.
回回|
回回5
回 の
(2) 相異なる2点A(一1 a), B(5.0)に対して, AP : BP=1:2 eB
点Pの埋味が中心(-2.一4)の円になるとき. a=[r2] 9 ゅ=[| で
bs, また、この円の半衝は| 15 |/ [16] cos.
ーョー
Gt & A &® AD
[I] Mette 2p, Qがある 青球5個。赤球3個。由球1個が入った袋から
同時に 2 個の球を取り出し, 取り出された青球の数の長きだけPを正の方向
に, 赤球の数の長きさだけ Q を負の方向に動かす. KEL, 取り出された球に青
球がなければPは動かきず. 赤球がなければ Q は動かさきない. 最後に,取り出
した球を袋に戻す.
UMP, Q は両方とも原点0O にあるとし, 上の操作を 3 回繰り返す.
11 aac cee | (llama
回加
回回
(2) 2回日の操作後にPが2にありQが一1にある確率は ーーー 才で
ある
(3) 2 回目の操作後にPとQ の距離がちょうど2 や Dele] 「
Bb.
(4) 3回目の操作後にP と Qの距離が4以上である確率は ーーニー で
ある.
ー5 一
問3画像OCR
検出分野: 整数、確率・場合の数
1. 問題は全部で5 題あり. 冊子は計算用の余白もあわせて 12 ページである.
2. 解答用紙に氏名・受験番号を忘れずに記入すること.
3. 解答は解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の欄以外に記入されたも
のは採点の対象としない.
4. 問題4. 問題5の解答については. 論述なしで結果だけ記しても, 正解とは見
なさない.
5. 問題冊子の余白等は適宜利用してよいが, どのページも切り離してはならない.
6. 解答用紙は必ず提出すること. 問題冊子は持ち帰ってよい.
Gt HOA & A)
ーー =
(計算用余白
ー Bo
解答を解答用紙(その 1)の| 1 |MERACE.
nEIVELOBMETS, ヵ 個のサイコロを同時に投げる. 次の問に符え
ky
0) He HoOReBaecs sme 7 | でぁゃ.
2) 肌る日の積が4の倍数である確率は| 4 | である.
(3) 出る日の積が8の倍数である傘率は| | である.
ーー
(計算用余 AD
as 4 es
[2] 欠を角和用紙(その 1)の| 2 |拉に記入せよ.
整式ア(x)と3次式 /(x)ニ十gx?十な一1 KORE), を満たすとす
る.
() P(のを7(ので割った余りは ぷーァ である
(i) (PC) P & f(x) CHlo LR) ORB 1 THA.
このとき, a=[z] でぁゃ.
Pc)と/(々)はきらに次の条促20を満たすとする.
Gi) (PCE) CHD 切れる.
cota, o=[4] ca), また(PCOを7(ので制った父りは| カ | である.
ーーュー
(計算用余白]
sm 1B x
問4画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、空間図形、図形・三角関数
2) Aの得点が2であるとき,Aが勝っ確率は| イ | である.
(3) Aの得点が3であるとき, Aが勝つ確率|| ウ | である.
(9 Aが遇したサイコロの日が3であるとき, Aが勝っ確率は| エ |でぁ
る.
=
(計算用余白]
ーー eee
[2] maememn(zo 1)の[3 ]抽に記入せよ.
座標空間において, 原点(0.0.0)を0とする. 立方体ABCD-EFGH があ
り,各頂点は
A(—1,-1,-1), B(1,一1,一1), C(1,1,-1), D(-1,1,-1),
E(-1,-1,1), F(1,-1,1), G(1.1.1). H(-1,1,1)
である. また, 辺 AB の中点をM, 辺 BCの中点をNとする
() OMとON のをす角を9とすると, cos9 =| ォ | でぁある.
2) AOMN の面覆は| カ |でぁゃ.
(3) 平画OMNと辺CG oxsonms | La, | である.
() 平面OMN による立方体ABCD-PFGHの切り口は| 2 |角形である.
(5) 平面OMN による立方体ABCD-EFGHの切り口の面生は| ヶ |でぁ
る.
一
(計算用余白
ー.6 ae
問5画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、指数・対数、図形・三角関数、微分・積分、整数
kl上ll
(2) ちょうど3人が自分の名和を受け取る確率は TH である.
(3) ちょうど2 人が自分の名札を受け取る確率は SS CHS.
回回
(17 自分の名札を受け取る人が1人もいない確率は ES である.
ーー
(計算用余白
i 湖
[2] 和和を角和用紙(その1)に記入せよ.
f(x)=tany とする. EK, 曲線
ーー ーーキンレンを
と=が9 (-E<r<$)
ua us ee >
tos (を. 7( を )) における法衣を4 とする.
回
(1) HALE の方程式は Te) Eel La] である.
Ls} 回
(2) 曲線C と軸および法線f で囲まれた図形の面積は
EW |
loga +b qo —,_ 1S
である.
(3) (2) で定めた図形を x 軸のまわりに1 回転してできる回転体の体積は
CHS.
a
問6画像OCR
検出分野: 整数、方程式・不等式、指数・対数、図形・三角関数
(2) 11 で割ると9余り, 71 で割ると 10 余るような4桁の自然数は全部で
lees
(3) 11 で割ると 3余り, 71 で割ると 12 余るような最小の自然数は
Lles
ーョーー
(計算用余白
an 9 xs
| 2 | #eememin zo ceres.
2 次方程式 一 273x十2一0 の2つの実数解のうち小さい方を大き
い方を0ち とおき, =(g二7)? LEDS. KEL, 『 は上数単位である
arg 2 (SWB 2 OWATHL, TOWME OS ange く2 LFS.
» «GENE
(2) \w|=[13]. aia ch
ゅ la +07) =[16],/ [17]. as
ay
ーー
同-/合
cos eee = TE ES
ーー
問7画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、微分・積分、関数・グラフ、図形・三角関数、整数
(O~9), 文字(a, b, c, d), または記号(*)が入る. 1, 2, 3,...の一つ
ーつは, これらのいずれかーーつに対応する. それらを解答用紙の1 2, 3....で
示された解符億にマークして符えよ.
例 [HLHH2I13]に 83 と答えたいとき
12 \OQODDOODOOQOODBQOOOG®)
B \ODDO@DOODDODGDOO®
(2) 解答欄が余るときは, 余った柚(後の方を余らせる)に*をマークする.
例 [14I15]に4 と答えたいとき
Lb (OCODQOOQOQOQOOODOOOO®e
(3) RAVRET SER, MONIC KEVF TS.
例 [16I17]に 345 と答えたいとき
(4) 解答欄に適合するものがないときは, その欄に*をマークする.
例 [HBH9]に対して問題が
ev +1<0 ならばァ*=8H19]
のとき
L9 JOODODOOOOCOOOOGOS
(5) 分数形で解答するときは, 婚約分数として符号は分子につける.
(@) 根号あるいは対数を含む形で解答するときは, 根号の中や真数に現れる自然数が
最小になる形で答える. [例]/8 は2/2, 3log。9は6]og,3 とする.
(7) 分数形で根号を含む形で解谷するときは. Schade ではなく, BE の
ように約分する.
以下の問題については 解答用紙 (その1 ) を使用すること.
(1) BRB 2° — 50? + Qe + 12 = 0 の解の最大値以上の整数の中で, 最小のものは [I] で
ある.
(2) 関数ゅ=7(?) =ー4z9十20z二 ef Fd について, 次の問いに答えよ,
1.5=6, c=2 のとき, fle) の極大値は [313], 極小値は CHS. ‘
20=1, e=-1UFS. 1る f(I) <4 のとき, / 7(ぐ9 の最大値は 最小値は
n
である.
(3) n を奇数とするとき, 2 — 2p 4 27? — 273 4 2p — 98 4... 4 229ml — 2 の和
es = Cor) vate, a=), 5 = 回, <= (i, a=,
e= (3), f= [4], 9 = G5), n= [ie] である.
なお, PRR HOI ARM] % 1 として解いてください。
ーュー
| ( 計算余白)
anges
[上 以下の問題についてな 解答用紙 (その1 ) を使用するとと. |
(1) BRA O & 3.4% A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,—-2) がある. 原点 O から平面 ABC に
HM OH を下ろし, その交点を H とするとき, O= Fa. a.) で
ある.
なお, 問題不備のため解答欄[20]を 1 として解いてください。
(2) AABC において, ZBAD = /OAD = 45° となるような点 D AW BC 上にある. WAB
ey
を c, 辺ACを 5とおくとき, ルー また, 5トTc=ニ3とすると
?
:
&, AABD の面積と へACD の面積の差の二乗が最大となるのは, b=
のときである.
(3) 0<s<d<のとし, ay 平面上の 4 点 0(0,0), 8(0,9, D(0,の, D'O,d), および,
AS を通る傾き c (> 0) の直線 8, KD を通る傾き —c の直線 D, 点 を通る傾
き -マ(<0) の直線 D' を考えよう.点D, 直線 D と直線8 の交点 ER, ABAD y
AIC HARE FEL, TORK P の 3 点からなる三角形を ADEP とする. また, 点
D', 直線 D' と直線 8 の交点 区, AB から y MICE FAL, その交点 P の 8
点からなる三角形を ADIEP ETS.
1. AD'EP! の面積が最大となるのなは, KB! の座標が (Fa Eh LEE),
Bie
どー Bile のときである.
2, 線分 OS, SD, DD' の長さが O8 : SD : DD’ = 1 : 4 : 1 であるとする. このとき,
ADIE'P! の面積が ADEP の面積以上になるのは, Fi. くど< [88]c のときである.
に ai
( 計算余白)
ーォー
[LD] 以下の問題については 解答用紙 (その1 ) を使用すること.
(1) と 87 のそれぞれの桁数を合計すると 13 桁になるような整数 と y (ただし,
ay > 1) の組合せは, [39[40] MY) CHS. これらの組合せのうち, >? が最小と
なる組合せ (sj9) は, (GA), G2T3]) CHS. ただし, logy? = 0.8010 TS.
(2) KAN 2 個のさいころを同時に投げるとき, 大きいさいころの目を a, 小さいさいころ
の目を おとする. このoと を用いて
Asin T eos 5 +609. sin 5
を求めるとき, 4 が整数となる at OMA [A] 通りである.
sce (BD oe