青山学院大学 2023年度 過去問・解答

青山学院大学 2023年度 数学（Z・Z（R_B）方式）の全問解説です。マーク式の空欄補充で、全4題12小問（空欄38個）。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる検算（玉の入れ方 通りの全列挙・多倍長整数での桁数と 進法展開・空間の2直線の数値解・面積を について1万点で走査） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 4題とも教科書の標準テーマで、奇問はありません。Ⅰは場合の数の「区別する・しない」の4パターン、Ⅱは常用対数と桁数、Ⅲは空間ベクトル、Ⅳは3次関数の最大。手が止まる問題はなく、時間内にどれだけ正確に処理できるかの勝負です。
• Ⅰは「区別するかしないか」を4通り並べた、教科書的にはとても親切な構成です。(1) は列挙、(2) は重複組合せ、(3) は各玉の行き先、(4) は余事象。4つの数え方の違いが分かっているかを、そのまま4問に分けて聞いています。逆に言えば、この区別が曖昧だと4問まとめて落とします。
• マーク式なので、空欄のマス数が答えの形を教えてくれます。Ⅰ(1) が1マス、(2) が2マス、(3)(4) が3マスなので、桁数が合わない時点で計算ミスに気づけます。Ⅳ(2) は分子3マス・分母2マスなので「3桁 ÷ 2桁」の分数だと分かります。検算の材料として使わない手はありません。

Ⅰ　6個の玉を3つの箱に分ける

【この大問の見取り図】　「玉を区別するか」「箱を区別するか」の2×2で数え方がまったく変わります。先に整理しておきます。

(1) 玉も箱も区別しない

【型】どちらも区別しないときは、公式ではなく「個数の組を大きい順に並べて列挙」する。

【なぜこうするか】　箱を区別しないので、 と は同じ入れ方です。並び順の情報を消すために、いつも大きい順に書くと決めてしまえば、数え落としも重複もなくなります。6を3つ以下の自然数の和に分ける（0を許す）ので、いちばん大きい数を6から順に下げていけば全部出ます。

(2) 玉を区別せず、箱を区別する

【型】玉が同じ・箱が違うときは重複組合せ。。

【なぜこうするか】　玉が区別できないので、決まるのは「1番目の箱に何個、2番目に何個、3番目に何個」という個数の組そのものです。これは「玉6個と仕切り2本を1列に並べる」問題と同じで、全部で8個の位置のうち仕切りの位置（または玉の位置）を選ぶ組合せになります。

(3) 玉も箱も区別する（空の箱があってもよい）

【型】区別できる玉を配るときは、玉1個ずつについて「行き先が何通りか」を掛ける。

【なぜこうするか】　玉に1〜6の名前がついていると考えれば、1番の玉の行き先が3通り、2番の玉も3通り…と独立に決まります。空の箱があってもよいので制限は一切なく、そのまま掛け算になります。

(4) 玉も箱も区別する（どの箱にも1個以上）

【型】「どれも空でない」は、全体から「空の箱がある場合」を引く（余事象）。

【なぜこうするか】　「少なくとも1個」を直接数えようとすると場合分けが増えます。(3) の729通りから、空の箱ができてしまう入れ方を引く方が速いです。
空の箱ができるのは「玉が1つの箱に全部入る場合」と「玉が2つの箱だけに入る場合」。ここで2つの箱だけを使う場合を数えるときに、うっかり1つの箱に全部入る場合を二重に数えないよう気をつけます。

検証：6個の玉それぞれに箱番号を割り当てた 通りをPythonですべて生成し、3種類の箱番号がそろうものを数えて540通りであることを確認しました。(1) の分割、(2) の重複組合せも全列挙で一致しています。

Ⅱ　常用対数と桁数・ 進法

【この大問の見取り図】　桁数の問題はすべて「 が 桁 」から出発します。 進法なら10を に置きかえるだけ。この不等式の各辺で対数をとる、という一本道で3問とも解けます。

(1) と の桁数の和

【型】 が 桁 。つまり 。

【なぜこうするか】　常用対数をとると「桁数 」がそのまま整数部分として現れます。 なので 、 と、与えられた だけで両方とも計算できます。 は与えられていませんが、 と見れば作れます。

(2) の9進法での桁数と最高位の数字

【型】 進法で 桁 。最高位の数字 は から絞る。

【なぜこうするか】　桁数の考え方は10進法とまったく同じで、底が9になるだけです。
最高位の数字については、「9進法で32桁、最高位が 」とは が 以上 未満だということです。これも各辺の常用対数をとれば の範囲が出て、与えられた と にはさまれる形になります。

(3) 進法と 進法で桁数が等しくなる最小の

【型】桁数 は 、つまり の整数部分で決まる。整数部分が一致する隣り合う を探す。

【なぜこうするか】　 を 進法で表した桁数を とすると 。常用対数をとって で割れば となり、桁数は の整数部分だけで決まります。 が大きくなるとこの値は減っていくので、隣り合う2つで整数部分が同じになる最初のところを探せばよいことになります。
を小さい順に計算していくのが確実です。問題文で が与えられているのは、まさにその を計算させるためです。

検証：Pythonの多倍長整数で 、 の桁数（16、35）、 の9進表記（32桁、先頭の数字3）を実際に展開して確認しました。(3) も から59まで を実際に 進展開し、桁数が一致する最小の が7（桁数6）であることを確かめています。

Ⅲ　空間の2直線と共通垂線

【この大問の見取り図】　最初に2つの直線を媒介変数で表しておけば、3問ともその1本の式に条件を課すだけになります。

(1) P が 平面上にあるとき

【型】 平面上 座標が0。座標平面の条件は、対応する成分を0とおくだけ。

【なぜこうするか】　 平面とは を満たす点の集合です。P の 座標は なので、これを0とおけば が1つに決まります。

(2) のとき

【型】角の条件は内積。 に代入して の方程式にする。2乗する前に符号を確認する。

【なぜこうするか】　 は C を頂点とする角なので、使うベクトルは と です。 が負なので、内積 も負でなければなりません。これが2乗した後に出てくる2つの解のうち一方を捨てる根拠になります。この確認を先にやっておくのが安全です。

(3) PQ が と の両方に直交するとき

【型】「直線と直交」は方向ベクトルとの内積が0。未知数2つ（）に対して式が2本立つ。

【なぜこうするか】　直線 PQ が直線 に直交するとは、 と の方向ベクトル の内積が0だということです。直交条件が2本、未知数も の2つなので、連立方程式がちょうど解けます。
なお、この PQ は2直線の共通垂線であり、その長さは2直線間の最短距離にあたります。

検証： を から まで 刻みで動かして を数値計算したところ、 になるのは のみでした（ では ）。(3) の が両方の方向ベクトルと内積0であることも有理数演算で確認しています。

Ⅳ　放物線と三角形の面積の最大

(1) 直線 AB の方程式

【型】2点を通る直線は、傾きを出してから片方の点を通る形で書く。

【なぜこうするか】　放物線 上の2点 を結ぶ直線の傾きは になります。この形を知っていれば、今回の傾きは と暗算で出せます。

(2) の面積の最大値

【型】 座標が同じ2点を結ぶ縦の線分を底辺にとると、高さは 座標の差だけで書ける。

【なぜこうするか】　P と Q は 座標がどちらも なので、線分 PQ は 軸に平行な縦線です。これを底辺とみれば、頂点 A から底辺までの距離は「 座標の差」だけで済みます。A の 座標は なので高さは 。
底辺 PQ の長さは、 では直線が放物線より上にあるので です。これは と因数分解でき、面積は が2つ、 が1つの3次式になります。あとは微分して増減表です。