藤原進之介です。このページでは青山学院大学2022年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
問題
解答
青山学院大学2022年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。
Ⅰ 玉の個数を、取り出す確率から逆算する
袋に3色の玉が x 個、y 個、z 個（いずれも3以上、y < z）入っています。玉を戻さずに取り出すとき、次の3つの確率が与えられています。
(i) 1個目が1色目：1/5
(ii) 1個目・2個目とも1色目：1/30
(iii) 1色目・2色目・3色目の順に取り出す：4/115
(i) から1本目の関係式
x/(x + y + z) = 1/5。x + y + z > 0 なので分母を払って
5x = x + y + z ⇔ 4x − (y + z) = 0 …①
(ii) から2本目の関係式
2個目は「1個目を取り除いた後」なので、分母が1つ減ります。
{x/(x+y+z)} × {(x−1)/((x−1)+y+z)} = 1/30
第1因子は (i) より 1/5 なので
(1/5) × (x−1)/((x−1)+y+z) = 1/30 ⇔ (x−1)/((x−1)+y+z) = 1/6
分母を払って 6(x−1) = (x−1) + y + z、すなわち
5x − (y + z) = 5 …②
①②を連立する
② − ① より x = 5。①に代入して y + z = 20 …③
x = 5 は x ≧ 3 を満たします ✓
ここまででx が確定し、y と z の和も分かりました。あとは (iii) から積を出せば、y と z が2次方程式の解として求まります。和と積が分かれば2数が決まるという対称式の考え方です。
(iii) から y と z の積を出す
3個目まで取り出すので、分母は2つ減ります。
{x/(x+y+z)} × {y/((x−1)+y+z)} × {z/((x−1)+(y−1)+z)} = 4/115
③より x + y + z = 25、(x−1) + y + z = 24、(x−1) + (y−1) + z = 23 なので
(1/5) × (y/24) × (z/23) = 4/115
左辺 = yz/(5 × 24 × 23) = yz/2760。右辺 4/115 = 96/2760 なので
yz = 96
y, z を求める
和 20、積 96 なので、y と z は t² − 20t + 96 = 0 の2解。
(t − 8)(t − 12) = 0 ⇔ t = 8, 12
y < z より
検算：x = 5, y = 8, z = 12（合計25個）として3つの確率を厳密計算しました。
(i) 5/25 = 1/5 ✓
(ii) (5/25)(4/24) = 20/600 = 1/30 ✓
(iii) (5/25)(8/24)(12/23) = 480/13800 = 4/115 ✓
3条件すべてを満たしています。また y, z ≧ 3 も満たします ✓
この年の学習ポイント
「確率から個数を逆算する」という、方向が逆の問題です。手順は次のとおり。
(あ) 各確率を x, y, z の式で表す（非復元抽出なので分母が1ずつ減る点に注意）
(い) 前の設問の結果を代入して、式を単純化する
(う) 連立方程式を解く
(い) が効率化の鍵です。(ii) の左辺には (i) の式がそのまま含まれているので、1/5 に置き換えれば一気に簡単になります。誘導は「前の結果を使え」というサインだと考えてください。
最後に和と積から2次方程式を立てるのも定石。y と z を個別に追いかけるのではなく、y + z = 20 と yz = 96 という2つの対称式に情報を集約するのが賢い進め方です。
そして得られた解が x, y, z ≧ 3 と y < z を満たすかの確認を忘れずに。(8, 12) と (12, 8) のうち y < z を満たすのは前者だけです。
青山学院大学2022年度は学部・日程ごとに複数の問題が出題されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。
青山学院大学 数学 過去問｜他の年度を見る
青山学院大学の数学の過去問は31年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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青山学院大学 2022年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 確率・場合の数
- 関数・グラフ
- 図形・三角関数
- 整数
- 微分・積分
- 指数・対数
- 空間図形
- 方程式・不等式
この年度の出題範囲と傾向
2022年度の問題PDFでは、確率・場合の数、関数・グラフ、図形・三角関数、整数、微分・積分に関する語句や設問を確認できました。青山学院大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、関数・グラフは29年度、微分・積分は29年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 確率・場合の数
|
|
1. 問題は全部で 4 題あり, 冊子は計算用の余白も合わせて 10 ページである.
2. 解答用紙に氏名を忘れずに記入すること.
| 3. 解答は解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の欄以外に記入きれたも
| のは採点の対象としない.
4. 問題司子の余白等は適宜利用してよいが. どのページも切り離してはならない.
5. 解答用紙は必ず提出すること. 問題世子は持ち帰ってよい.
マーク・シート記入上の注意については, この問題冊子の裏表紙に記載されている
ので試験開始までに確認すること. ただし, 冊子を開いてはならない.
(計算用余自
aug に
Bo
(計算用余白]
|
:
:
'
[1] 1つの付の中にA G. Uと音かれた3種類のカードが.。 それぞれ*枚
了枚。 z 枚入っている. CORPS 1 枚ずつ続けて 3 枚のカードを取り出して.
取り出した順にだから並べる. ただし, x。 yzは3以上で<>ッ とする.
以下の人i)(。介が成立するとき. カードの枚数 xy, z を求めよう.
(i) 一邊大がAである確率は TCS.
(一番圧と二番日がともにAである確率は である-
Gd 左から AGU と並ぶ確率は = である.
(i), GEO,
OG
である. さらに. 11 を用いると.
fo) EE]
であることがわかる.
a
|
(at OH 4 ED)
|
| | 机上 」辺の長きが1の正三角展OAB がある。点でを OC =308 となる
ようにとり, 線分AC の中点を M とする. EL, 直線 AB上の点N を, 直線AC
と MN が直交するようにとる.
wl, Gl.
(1) Ta] Fro}
(2) aulhs
(3) 直線MN と OC の交点をPとすると
y[slml M回回
oat) ye bob, /Lelle)
回回
ae
Cat SH ae ED
| |
|
.
問2画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、指数・対数、図形・三角関数
|
| 数 学
|
1. 問題は全部で5 題あり, 世子は計算用の余白も合わせて 12 ページである
2. 解答用紙に氏名を忘れずに記入すること
3. 解答は解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の柚以外に記入されたも
のは採点の対象としない.
4. 問題冊子の余自等は適宜利用してよいが. どのページも切り離してはならない.
5. 解答用紙は必ず提出すること. 問題冊子は持ち帰ってよい.
| マーク・シート記入上の注意については, この問題冊子の裏表紙に記載されている
ので試験開始までに確認すること. ただし, 冊子を開いてはならない.
|
|
|
|
|
(計算用余白
|
で
: (計算用余白]
|
ー
1) 1 個のさいころを4 回投げるとき, 出る目がちょうど2種類である確率は
画回
回回回
である.
(2) 1 個のさいころを4回投げ, 出た目がちょうど2 種類であったとき, それら
|
(3) 1 個のきいころを80 回投げるとき, 同じ目が続けて出ることが一度もない
確率は
pe
である. また, この確率を 10 進法の小数で表すと, siveess [12 |位に初めて
0 でない数字が現れ. その0でない最初の赤字は| 13] | である.
ただし. log 2 = 0.3010, logy 3 = 0.4771, logy 7 = 0.8451 とする.
os Be
(計算用余白]
!
| ー4 一
回 AABC において. AB=6, BC=5, ZACB=2 ZBAC EFS.
(1) cos ZBAC = ーー cos ZACB =
| (2) ACB の二等分線と辺 AB の交点をD とするとき, CD= ==
である.
科Meeo
(計算用余白
ー
問3画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、微分・積分、図形・三角関数、方程式・不等式
ッニ| アト| | cos. KEL, APE BIS C ORME, Pを通り.
Pにおけるで の接線に直交する直線をいう.
(2) 放物線C上の点Qにおける法線ムるが) の法線と直交するとき. 点Qの
wma, (>. | ェ|) cos.
(9 とるの交点の座標は(| オ | | ヵ |) でぁゃ.
(計算用余白〕
[2] smememe(zo 1)の| 2 ]揚に記入せよ.
へOAB は0A=3, OB=5, ABニソ10 HEF. へOAB において, MI
OA の中点をC とし, Cを通る OA の垂線と直線 OB との交点を D とする.
Qa) 内策04・08の値は| * |でぁ.
2) 0D= AOB とおくとき. ぁ=| ク | cha.
3) AOCD の面積は| ヶ | である.
(計算用余白〕
[3] seemame(eo1o[s ]舞に記入せよ.
点Pは右図の頂点 A, B,C, D を, 次の規則(Gi)一(ツ)にしたがって動く.
(i) Pは最初. 頂点Aにいる.
(i) Pが頂点人にいるとき, その1秒後に頂点
B.C DOENMEENERT OMKCH
2.
(i) Pが頂点Bにいるとき, その1秒後に頂点 A
A. Cのとどれかにそれぞれ- OMECHS.
MPが頂点とににいるとき, その1秒後に頂点 B D
AB, Dのどれかにそれぞれ-の確率で移
Be て
©) Pが頂点Dにいるとき. その1秒後に頂点
A Cのどれかにそれぞれ の確率で移る.
ヶ 秒後に、点Pが頂点AA B.C Dにいる確率を. それぞれ ay. bye Ce dy
EBL. このとき. 上の規則より, 6 ーみ が成立している.
次の問に答えよ.
a) g+26よる=|ュ|
(2) ぁ」をを用いて表すと. ba = [7] である.
3) をヵを用いて表すと。 =| シ| である.
(0) 。をヵを用いて表すと, g=[4] である.
(計算用余白〕
問4画像OCR
検出分野: 空間図形、微分・積分、関数・グラフ、確率・場合の数
数 学
1. 問題は全部で5 題あり. 冊子は計算用の余白もあわせて 12 ページである.
2. 解答用紙に氏名・受験番号を忘れずに記入すること.
3. 解答は解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の欄以外に記入されたも
のは採点の対象としない.
4. 問題3. 4. 5の解答については. 論述なしで結果だけ記しても, 正解とは見な
SEW.
5. 問題民子の余白等は適宜利用してよいが, どのページも切り離してはならない.
6. 解答用紙は必ず提出すること. 問題冊子は提出する必要はない.
[1] 旬人を和紙(その1)の| 1 |袖に記入せよ.
数直線上の点Pを次の規則(:) 一側にしたがって動かす.
(i) Pは最初. 原点にある.
Wi) コインを投げて表がでたらP を正の方向に2動かし. 裏が出たら正の方向
に1 動かす.
(i) Gi) の操作を繰り返す。
P が数直線上の座標 の点に滞在する確率を .(ヵー1. 2. 3....)とすると
き, 次の問に替えよ、。
2) Pがヵ二1 の点に滝在しない場合は 米ずぁの点に滞在する。
このことから, 1ームルコ をんを用いて表すと。 ューム。=| ウ |で
ある.
(3) かをヵを用いて表すと ん=| エ | でぁゃ.
(9 tim py -[ 4 ] CHS.
(計算用余白]
[2] 多を全紙(その 1)の| 2 mca.
四面体 0ABC があり, 点Pは
OP + 2AP + 4BP+8CP=6
を満たす. このとき, 直線OPと平面ABCの交点をQとする. OA=a,
OB=6, OC=c, OP=ヵ. 0Q 一4 ELT. 次の問に答えよ.
(2) へQBC の面積はへABC の面積の| ヶ |僅である.
(3) 四面体 PQBC の体筑は四面体OABC の体積の| コ |俗である.
(計算用余白]
解答を解答用紙(その2)の| 3 |楓に記入せよ.
空間において。 平面上の原点を中心とする半径1の円を 。 平面上
の原点を中心とする半径3の円を GETS. MPA EE, KONG LE,
ともに加き3 で和束円之動をしている.
時刻 t=O (BWC. Pの位置が(1.0.0). Qの位置が(0.3.0)で. 速
度ペタトルがともに(0. 0, 3)であるとき。 次の問に符えよ。
(1) 時刻7における P,Q の座標を求めよ.
2) MP PQ の長きの最大値、 最小値を求めよ。
(計算用余白
問5画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、関数・グラフ、図形・三角関数、整数、微分・積分
2) X=3 のとき,了が称数となる確率は 回 ChE.
(3) X=4 のとき. Y AMBRE GARE a である.
(9) Y ARERR te eI である.
(計算用余白〕
[2] seman zo crave.
四面体 0ABC は
OA=OB=2, OC=3, AB=1, BC=4
を満たすとする. Eh, 三角形 ABC の重心を G とするとき, OG=V2 である.
| とる
1) ” 回 ーー ELI
2) OG OA+ ROB が委直であるのはょ=| 17 | 18] のとょきでぁる-
(3) 7を実数とする. | OA — 2408 + OC| の最小値は ME
(計算用余白〕
[3] mmemanie(zo2)0[3 Jmicmats.
mati
fa)= Vt Bese he (OSren)
について, 以下の間に答えよ.
(1) f(x) を求めょ。
(2) f(x) > 0 となるxrの値の範囲を求めよ.
(3) fx) の増江を調べ, 極値を求めよ.
(計算用余白
問6画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、関数・グラフ
| L 問題は全部で5題あり. 冊子は計算用の余白もあわせて 12 ページである。.
| 2. WIC - RHEE RNTICRATSIE. (ただし, マーク・シー
トにはあらかじめ受験番号がプリントされている. )
3. 解答は解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の欄以外に記入されたも
のは採点の対象としない.
4 問題3.4, 5の解答については, 論流なしで結果だけ記しても, 正解とは見な
| Saw,
| 5問題選子の余白等は適宜利用してよいが. どのページも切り離してはならない.
6、解管用区はすべて必ず提出すること. 問題子は持ち帰ってよい.
|
| マーク・シート記入上の注意については, COMMAF ORAM SATOS
| ので試験開始までに確認すること. ただし, 冊子を開いてはならない.
|
|
|
(計算用余白
a eee
[
(計算用余白
|
=
|
[1] meememe co cate.
図のような正二角形の 12 個の頂点から 3 点を選んで三角形をつくる.
0) このような角形は全部で| | 2 | 3 |個ある.
(2) 直凶角形は全部で| 4 | 5 |Wぁz.
3) 二等辺三角形は全部で| 6 | 7 ]was.
() 直角三角形でも二等辺三角形でもないものは全部で| 8 | 9 [10] m5.
A
B i 3
c K
D J
E I
F H
G
=
(計算用余白]
| :
as yg ae
解答を解答用紙(その1)に記入せよ.
a, 5 を実数として 2次関数
アニデ十2gr十5
を考える. 放物線 yニア(+) の頂点Pが直線 =e 上にあるとする
また, WR g(x) を次の式で定義する.
g(x) =F(flx))
[lle]
(1) <が実数全体を動くとき. の最小値は=にゴ でぁる.
2) の0=0 Eeexr ea oMowME[ 14] <a <| is であぁ.
(3) 直線 yニ* と放物線 =f(x) の2つの共有点のうち, P以外の点のx座
李をとすると。 ate=[16] cms.
また. (の=|[7|]<ぁs-.
ou
Cat Se ED
|
ー*ー
問7画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、確率・場合の数、整数、図形・三角関数、方程式・不等式
1. 4の倍数の和は である.
2. 4で割って 2 余る数の和は である.
3. 4 で割り切れない数の和は CHS.
(2) 1 から ヵ までの自然数が 1 つずつかかれた ヵ 枚のカードがある. この中から 1 KO
カードを抜いて, 合計すると 25 であった. nik であり, 抜いたカードにかかれ
た数字は である.
(3) 3374850 の正の約数の個数は であり, 100 未満の正の約数の総和は
である.
(4) cを正の定数とする. cm =11のとき。 ーー sais BOL であぁる.
(5) 不等式 (log。 2x) (ioe, 2) ミ4を解くと, gas である.
(6) 半径 1 の円に内接する三角形について, 次の問いに答えよ.
1. 1つの角の大きさが120? のとき, 3 辺の長さの和の最大値は [25] + ,/ [26] CHS.
2. 3 辺の長さの和の最大値は [27]/ [28] CHS.
(計算余白)
[エ 以下の問題については 解答用紙 (その 1 ) を使用すること.
(1) ーテ7ミミ ae とする。.
1 BB y = cos = のグラフと関数= cos se のグラフの共有点は [29130] 個である.
2. 関数ターcosそーcos 3 の最大値は CHD, 最小値は a で
ある.
(2) 次の問いに答えよ.
1.40 を3で割った余りは [37] である.
2. 8を7で割った余りは [38] CHS.
3. 数列 z。 を次のように定める.
maー1。 ty = 2" (n=1, 2, 3, +)
opz1t をで割った余りは [39] である. またzoo。 を7で割った余りは [40] CHS.
(3) ?, y が不等式 > = 1.9テ1,3z十29ミ12,gzTりミ4(0<oS0.9) を同時に満たす
とし, これらの連立不等式の表す領域を 9 とする.
1. 9 の面積の最大値は [4れ | であり, 最小値は である.
2. 9 の面積が最大値をとるとき, 6z + VBy の最大値は
であり, 最小値は V8+ CHS.
3. 69を正の定数とする. の面積が最小値をとるとき, cy-gのはz = eu y=
で最大値をとりァ= FT], y= で最小値をとる-
(計算余白)
[HT] 以下の問題については 解答用紙 (その 1 ) を使用すること.
(1) あるウイルスの PCR 検査の感度は70%, 特異度は99%である. ここで感度とは感染
している人を陽性と判断する確率, 特異度とは感染していない人を陰性と判断する確
率のことである. ある地域でこのウイルスに感染している人の割合は100人に1人だ
とする. 住民の 1人がPCR 検査を受けて陽性だったとき, この人がウイルスに感染
している確率は [62163]. [64]% CHO, 陰性だったときウイルスに感染していない確
率は [65166].[67]% CHS. ただし, 小数第 2 位を四捨五入して, 小数第 1位まで求
HE.
(2) 1枚の硬貨を投げ, 表が出たときは文字列 AB をかきぎ, 裏が出たときは文字B をかく.
さらに繰り返し硬貨を投げ, 同じ規則に従って, AB, B をすでにかかれてある文字
列の右側につなげてかいていく.
1. 6 回硬貨を投げ, 文字列を作るとき, 文字列の左から6番目の文字がA となる確率は
ge. B eeoinmis ER である.
2. 6回硬貨を投げ, 文字列を作るとき, 文字列に含まれるAの個数の期待値は[76], B
の個数の期待値は [77] である.
(3) ヵ 人の生徒がいる部屋を考える. 部屋にいる生徒たちが生まれた年はうるう年ではな
く, 部屋にいる生徒たちのそれぞれがどの日に生まれるかは同じ確率 ==- である とす
る. また, ヵ 人のそれぞれについて, どの日に生まれるかは他の人がいつ生まれたの
かといったことと独立であるとする. WE, A君をこの部屋にいない生徒とし, AB
が生まれた年はうるう年ではないとする. COLE, 以下の問いに答えよ.
1. この部屋から 1 人の生徒を選んだとき, Amzmcaer casita lel
であり, この部屋から 2 人の生徒を選んだとき, A 君と同じ誕生日である確率は
2. logy 364 = 8.50779, log, 365 = 8.51175 ETS. ヵ人の生徒がいる部屋に, A 君と同
じ誕生日の生徒がいる確率が0.5 以上となる最小の人数 ヵ は である.
(計算余白)