青山学院大学 2021年度 過去問・解答

青山学院大学2021年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

Ⅰ カードを交互に引くゲームの勝率

1 から k までの番号が書かれた k 枚のカードから、A・B が交互に1枚ずつ引きます（A が先攻）。引いたカードは戻しません。特定の番号のカードを引いたプレーヤーが勝ちです。

(1) k = 3 の場合、A が勝つ確率

カードは3枚。引く順番は A → B → A なので、A は1回目と3回目、B は2回目に引きます。

A が1回目に当たりを引く

3枚から1枚を引くので確率は 1/3。

A が3回目（2度目の手番）に当たりを引く

A の1回目がハズレ（確率 2/3）→ B の1回目もハズレ（残り2枚中1枚がハズレなので確率 1/2）→ A の2回目は残り1枚で必ず当たり（確率 1）。

(2/3) × (1/2) × 1 = 1/3

合計

2つの場合は排反なので足します。

検算：3枚のカードの並び順6通りをすべて列挙し、当たりが1番目または3番目に来る場合を数えたところ 4/6 = 2/3 でした ✓
直感的な見方：当たりカードが3枚のうち何番目に来るかは等確率で 1/3 ずつ。A が引くのは1番目と3番目なので 2/3 — この見方なら計算せずに答えが出ます。

(2) k = 4 の場合

4枚なので引く順番は A → B → A → B。当たりカードが何番目に来るかは等確率で 1/4 ずつ。

A が引くのは1番目と3番目なので、A の勝率は 1/4 + 1/4 = 1/2。

解答PDFでは、A が1回目に引く確率 1/4、A が2回目（3番手）に引く確率を (3/4)(2/3)(1/2) = 1/4 と計算し、合計 1/2 としています。同じ結果です。
枚数が偶数なら、先攻・後攻の勝率は必ず 1/2 になります（当たりの位置が等確率で、奇数番目と偶数番目が同数だから）。

(3) 一般の k について

同じ論法で、当たりカードが k 枚のうち何番目に来るかは等確率で 1/k。

A が引くのは奇数番目（1, 3, 5, …）なので、A の勝率は

（k 以下の奇数の個数）/ k

k が偶数なら奇数は k/2 個で勝率 1/2、k が奇数なら (k+1)/2 個で勝率 (k+1)/(2k)。

k = 3 なら 4/6 = 2/3 ✓、k = 4 なら 2/4 = 1/2 ✓ と (1)(2) に一致します。

この年の学習ポイント

この問題の急所は「当たりカードの位置は等確率」という視点です。

k 枚のカードをランダムに並べたとき、特定の1枚が何番目に来るかは どの位置も 1/k。したがって「A が勝つ = 当たりが奇数番目」という単純な言い換えができます。

解答PDFのように「A が1回目に引く」「A が2回目に引く」と場合分けして条件つき確率を掛けていく方法も正しく、両方できるようにしておくのが理想です。

掛け算の方法では、たとえば「A が2回目に引く」確率が

(3/4)（Aの1回目ハズレ）× (2/3)（Bの1回目ハズレ）× (1/2)（Aの2回目で当たり）= 1/4

と、分母と分子が次々に約分されて 1/k に戻るのが見えます。この約分の構造が「位置は等確率」の別の表現になっています。

青山学院大学2021年度は学部・日程ごとに複数の問題が出題されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。