群馬大学 2013年度 過去問・解答

Bie A
に2 にノミ さ|
自然・情報系共通問題
(教育学部)
注 意 事項

1. 試験開始の合図があるまで, この冊子を開いてはいけません。
2. 本冊子には, 問題 2 題で 2 枚の答案用紙と 1 枚の下書き用紙があります。問題に落丁, AT, 印刷不鮮明の箇所があった

場合は申し出てください。
3. 受験番号はすべての答案用紙の所定の揃に必ず記入してください。 _
4. 2 枚の答案用紙のみを回収するので, この表紙と下書き用紙は持ち帰ってください。
5. 解答は各問題の下の解答柚に書き, 裏面は使用しないでください。裏面に解答してもその部分は採点しません。

やM6(707一31)

MS
数 学
4, 8 はともに 0 以上の実数とする
(lL) z を 2 以上の自然数とする. このとき, HM CaTM +0" <1ならば, oc十5く 1 TCHS) は, 偽であることを示せ.
(2) EF oFb <1ならば。 すべての自然数々に対して"上の <1 CHS) OMBEMX, 真である場合には症明し。
偽である場合には反例をあげよ.
[ 解答欄 ]
円
内
ー 2一 ©M6(707—33)

だを
数 学
<はga>1 を満たす定数とし, 2つの関数 /(z) と g(x) を f(z) = |z2 cl, g(z)=-le+1| 4a とする.
(1) y= f(z) のグラフの概形を書け.
(2) y=9(z) のグラフの概形を書け.
(3) 9ニア(z) E y=9(2) のグラフの交点が 2 個, 3個, 4 個になるときの a の範男または値をそれぞれ求めよ.
[ 解答棚 ]
得
点
ー3 一 OM6(707—~34)

(1) #のとり得る値の範囲を求めよ.
(2) AABO の面積が a となるとき,# の値を求めよ.
(3) AABC の周の長さ ABTBC+OA の最大値と.そのときの+ の値を求めよ.
| 解管欄 ]
@
A
ーー omen)

数 学
曲線 の:pニァー1+ 2テー car, 0) #5 wT 7 を引く
(1) RRL OFARERE,
(2) th O LAR LBA 2 幸で胃まれた図形を,g MOLD VIC 1 回転してできる立休の体積を求めよ。
[解答欄]
#
県
ーー oma

に
数 学
座標平面において, 原点 O を中心とする半條 1 OFM C EEA A(-1.0), B(1,0) EES. COLE yi
所が正の部分 ) LEMS EP FHM Cy ROOD) 上を動く高をQ とする, LPAB=a (0<o<3),
ZQABニ8 (O< p< 3 EL, 直線 PQ とg ME ORAS REO) ETS.
(1) t#@a,p を用いて表せ.
(2) e+ガー OES 1 DED RSMO MEER E
解答欄]
香

ーー euler)

と
数 学
[4] Fmoxst, rmomicmmonnewTeM<c I< SREEZABON Ay, Ay, Ay) がおる. 正和
An (0 =1,2,3,-++) OF FRITS SHEDBHS ay LL, 4 POTS TOREORBORE 5。 LTS.
(例 01 = 3, 02 =8, 05 = 16, 5, =445464748+9=39)
©)
® SO @ “> §
©O OOO COOH @9・......
AL Aa As Aa
(1) an の一般項を求めよ.
(2) 5。 の一股頂を求めよ
(3 jim Des 2s) を, SaMORMAEM TRL, COMMER.
Fas
[ 解答欄 ]
a
A
ー*ー oe?

数 学
BRM nICDVT, 0 以上 以下の整骨 , を度標にもつ点 (2,1) 全体の集合を X, とする. HA ( ; ) の表す
KIRITLS Xp OMOMAHOMBL Vy ETS.
(1) A (187,110) 1 Yigg SENG HES DME UTM.
(2) Xq と の共通導分 X,Y OOHRS.
[ 解答欄 ]
香
a
pees owadm-o

(1) 不等式 (logy)? + Slog < -6 を解け.
(2) 不等式 sinz十cos2z =1 を解け.
(3) 次の| |] に大も適約なものを1 ...4 からひとつ選び。 その理由を説明せよ
条件のの を, p: (ogr)7二51ogse くー6, gi sing寺cos2pさ1
とする ぁは9であるための | |.
1 必要条作である 23 十分条件である 8 必要十分条件である O 必要条件でや十分条件でもない
(REL, 番呈および理由は解答開に記入すること.)
[ RSH]
得
a
= ode-9

数 学
次の連立方牌式を解け-
ay =8
のー2zニ8
[me |
得
点
2s oM2(07—9)

EEL, 2 (a, 0) HOE a DUBE Ua) とおく. KM y = pe + ger Id, a がすべての実数動くとき。
つねに M(a) と接している
(1) par の借を求め, BAOMIE a を用いて表せ.
(2) g元0 のとさき, COMME a) および 隅で団まれた部分の面積を求めよ。
[解答杜 ]
香
a
= OM2(707—10)
eat

2S
数 学
[4] wmemicanr, mao tener eee OMMC LiKe A(-1,0), B(1.0) をとる. の OLB Cy BE
BOTEORS ) 上を動で点を中半円周(旋全が負の包分 ) 上を動く京を Q とする, LAB= a (0<a< 5),
ZQAB=6 (0<の< 5) EL, 直線PQ E cMCORME R(t,0) EGS.
(1) : をm@を用いて表せ
(2) at 9ニうのときの!のとり得る値の箇半を求めよ
[解答欄 ]
香
a
rm omen

回 @= (2), 0 =(1,3) としーー WT HEF とする. は -1く7く1 を動くとする。
(1 ) [P| の最大値を求めよ、
(2) |B) の最小値を求めよ。 Na
(3) [P| が最小となるときの を位置ベクトルとする京を M とする. で を位楠ペタトルとする点を A とするとき。
AOAN の面積を求めよ。 ただし.0 は原県である
|解答棚 ]
得
Hm
=f でM2707一12)

(1) をを用いて表せ.
(2) e+の9= OEE DE DH SMOBMERWE,
(3) 線分 PR の長さと線分 RQ の長さの比が 2 : 1 のとき, CEEMVTHL.
[解答欄 ]
th
i
es vaGe7-9

数 学
[4] 放ヵについて、0 以上 n FOR ey CRICK (ey) 全体の集合を Xp とする。 HF ( っ ) の表す
KEBLE S Xp の点の像全体の集合を Yq ETS. Xp と Vy ORB Ky Vy の点の個数を ay ETS,
(1) 点 (187, 110) は Yoo に含まれるかどうか理由をつけて述べよ.
(2) ds を求めよ.
(3) 自然数m について, dom を m を用いて表せ.
[ 解答欄 ]
得
a
hie MS7W7ー!の

4 TM
数 学
LA
[5] Mako ehoe tse 2OFe ATS. 半係1の円 (以下 (Ome,
EVES) は, 円 んに外接しながら, すべることなく転がる. KEL, 動円の (>
SANSA A REIL RMPAHELD IIHS. 動由上の点P Otho DAL A ke ソ
2,0) とする. 動幅の中心と原点を結ぶ閑分が る 則の正方向となす角を9 と ae} es
して、9 B05 0S 5 DRM CH LACED P OME CET. a
(CL) 0 ein @ を用いて表せ
(2) Po 座標が 2 のとき,P での C OOM ERD

Fi ロ
(3) CORSERSE. REL, thi x = 10.0 96) (るのるの の長きは / (9 + (¥) wo
CHASHS. “
[ RE ]
得
R
ge のM3(707一19)

(1) [P| の最大値を求めよ。
(2) |p| の最小値を求めよ。
(3) [P| が感小となるときの F を位置ベクトルとする店を MM とする. で を位画ベクトルとする点を 4 とするとき。
AOAN の面積を求めよ. ただし.0 は原京である
| RA ]
a
a
-i- ‘omacror-2

Hh Cry 0-14 2VE=7 に上 P(二0) mom を引く
(1 ) 接線! の方稲式を求めよ.
(2) 曲線 C と接線 および 軸で囲まれた図肥を、ヶ MOD DIC 1 回転してできる立体体積を求めよ
[解答柚 ]
香
a
al hrの

数 学
座標平面において, 原点 O を中心とする半年1 OMA C ECHA A(-1,0), BIO) 225. COL EAM Cy w
BOEOWS ) LES CHEE, PRAM Cy 訟標が魚の部分 ) 上を動く点をQとする ZPAB a O<a< 4,
ZOAB=6 (0<f< 5) EL, MM PQ Ex ME ORHE R(。0) EF.
(1) , を o,8 を用いて表せ
(2) <+の= のときの 4 のとり香る倍の午呆を求めよ。
[ 解答欄 ]
得
Es
idle oNomr-2の

だを
数 学
下図のように, 1 から順に番号の付いた基石を並べでつくられた正三角形の列 Ay, Ag, Ay, OBS. ESM
An (n= 1,2,3,-++) の右下隅にある碁石の番号を an LL, 4。 中のすべての碁石の番号の和を S, ETS.
(例 a1 =3, a7 = 8, cs=16, Sp =4+54+64+74+84+9=39)
@
© SO @ "の en
@© OOO ®8@©808H @919......
At Ap As Aa
(1) an の一季項を求めよ.
(2) Sp の一般項を求めよ.
3) din, 5 OAS - 釣 を, ある関数の定積分を用いて表し, TC OBUMERD k.
me
[解答欄 ]
得
—4- yetぴ7に2の0

MS
数 学
を実数とし, 点 (a,0) を通り領き w の直線を a) とおく. 放物線 = po? + qx tr lt, a がすべての実数を動くとき,
つれねに (a) と接している。
(1) か7 の値を求め, 接点の座標を e を用いて表せ.
(2) 元0 のとき, この放物線と Ka) および z 軸で囲まれた角分の面積を求めよ.
[解答村]
得
点
as omo

(1) [P| の最大値を求めよ
(2) [P| の最小値を求めよ。
(3) [PL が最小となるときの P を位置ベタトルとする点を.M とする. で を位置ベケトルとする点を A とするとき,
AOAM の面積を求めよ. ただし.0 は原京である
[解答欄 ]
on ま oe M5 (107—28)

2S
数 学
thi Osy=2-142ve=T em P(A, 0) POR ESIC.
(1) 接線 OFABRERG E.
(2) 曲線 の と接線 および z 幸で囲まれた図形を, z 埋のまわりに 1 回岐してできる立体の体積を求めよ。
[ 解答欄 ]
cS
a
aes Bo OMS (707~27)

ay
数 学
座標平面において, BAO を中心とする半径 1 OF C ど 上に定点 A(-1.0), B(1.0) BES. の の上半幅周(ヵ護
HOSEOBS ) LEH REP, PRAM ( y MROM ) LEMSMEQETS. LPAB= 0 (<a < 3),
2QAB = (O<A< SEL, MM PQ E c MEDBNE R(40) EFS,
CD) t& 0,8 を用いて表せ.
(2) at f=F のときの+のとり得る値の細画を求めよ.
[解答欄 ]
ft
ag Me7-29

に
数 学
下図のように, 1 から順に番号の付いた碁石を並べてつくられた正三角形の列 Aj, Ar, As, がある. 正三角形
An (n= 1,2,3,---) OF FRI HSBGOBRE a, EL, An 中のすべての碁石の番号の和を S, ETS.
(a, =3, ag =8, a3 三16, Sp=445+64+7+849=39) 19
2)
@ SO @ ca eS
@@® OOO O8©8H ©@---
At Ar As Ay
(1) a, OBR ERO L.
(2) S, の一般項を求めよ-
(3) jim 二 495 - Fh) を, あるの定季分を用いて表し。 COMMBE RD 5.
Fat
[MBA ]
得
点
ーー ws

用標平面上に原点 O, sk A(0, 1), 点 B(2V2, 0) がある. 0 <すく1 OLE, MH} AO, OB を 1ー7に内分する点をそれ
ENP Q EL, MY PQ を:1ー? に内分する点を R とする. Hh, t=0, t= 1 のとき,Rはそれぞれ4,B に一致する
DOEL, t HOSES 1 OH CHOLEL EO ROMME C とする

(1) の einai eR CHE,
(2) RR EMEA O の距離の最小値を求めよ
(3) の と線分 AB CHERAMAOHA S を求めよ
[解答欄 ]
得
m
ー『 一 Ner-O