信州大学 2011年度 過去問・解答

信州大学 教育学部 2011年度（平成23年度）前期日程 数学の全問解説です。この年度は「数学①」「数学②」「数学③」の3種類の冊子が出題されています（①が4題、②が2題、③が2題、各問75点）。冊子をまたいで重なる1題をまとめると全7題13小問で、13問中6問が「示しなさい」という証明問題です。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる検算（3次方程式を数値的に解いた解の2乗和・ベクトルを300通り・不等式を2000通り・数値積分・準円上の点での接線の傾きの積・指数関数の不等式を3000通り） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 13問中6問が証明問題です。答えの数値を出す問題より「示しなさい」が多く、部分点の取り方が得点を左右します。結論だけ書いても点にならない代わりに、方針が正しければ計算が途中でも部分点が来るタイプなので、手が止まったところまでを丁寧に書き切ることが大切です。
• 「見た目は複雑だが、正体は単純な変換」という問題が2つあります。【2】のベクトルは直線に関する折り返し、【3】の連立漸化式は60°ずつの回転です。正体が見えると計算せずに答えが予想でき、答案も短くなります。式をいじる前に、まず何が起きているかを見る習慣が効きます。
• 後半の【6】【7】は、教科書の枠を少し超えた有名事実が題材です。【6】はだ円の「準円」、【7】は が下に凸であることの言い換えです。知らなくても誘導どおりに解けますが、知っていれば検算になります。

数学①（4題）

【1】3次方程式と解と係数の関係（①-1）

の証明

【型】解を求めずに、解と係数の関係で対称式を係数の式に直す。

【なぜこうするか】　この3次方程式を実際に解くことはできません。しかし聞かれているのは という対称式なので、 と だけで書けます。それらは係数を見るだけで分かる、というのが解と係数の関係です。
なお は実数とは限りませんが、対称式である は係数の式になるので実数の値をとります。「実数の2乗の和なのに とはどういうことか」と戸惑うところですが、それはこの方程式が実数解ばかりではないことの裏返しです。

検証　 について3次方程式を数値的に解き、3解の2乗の和を計算しました。順に となり、 の値と一致します（虚数解を含む場合も、和は実数になります）。

【2】ベクトル（直線に関する折り返し）（①-2）

(1)

【型】定義式をそのまま内積に入れて展開する。 を使うところを明示する。

【なぜこうするか】　 は定義がそのまま与えられているので、代入して展開するだけで済みます。ここで唯一の勘どころは を使うところです。「単位ベクトル」という条件は、この1か所のために置かれています。

この式の意味　 を「 方向の成分」と「それに垂直な成分」に分けると、 は垂直な成分だけ符号を変えたものになります。つまり は を「 を含む直線」で折り返したベクトルです。(1) はその「 方向の成分は変わらない」という部分を式にしたものです。

(2)

【型】長さの等式は2乗して内積の式にする。必要な部品は「長さ」と「内積」の2つ。

【なぜこうするか】　 なので、示すには 、、 の3つがあれば足ります。折り返しは長さも角度も変えないので、この3つは全部成り立ちます。それぞれ (1) と同じ展開で確かめられます。

検証　 の向きと を300通りランダムにとり、、、 がすべて成り立つことを確認しました。

【3】連立漸化式（60°の回転）（①-3）

(1)

【型】2乗の和は、そのまま次の項の2乗の和を計算してみる。

【なぜこうするか】　 を個別に求めるのは (3) の仕事です。ここでは という組み合わせだけを見ます。実際に を計算すると、係数がちょうど打ち消し合って に戻ります。この不変性がこの問題の背骨で、(3) の見通しも与えます。

この式の意味　点 はつねに単位円の上にあるということです。実際この漸化式は、点を原点のまわりに 回転させる操作になっています（）。

(2) と の関係

【型】片方を消して1つの数列だけの漸化式にする。3項間漸化式に落とす。

【なぜこうするか】　 回転を3回すると 回転、つまり符号が反転するはずです。答えの見当はついているので、あとはそれを式で示します。1本目の式から を の式で表し、2本目に代入すると だけの漸化式になります。

(3) を求める

【型】周期が分かったら、1周期ぶんを書き出して規則を読む。

【なぜこうするか】　(2) から 、つまり周期6です。だから から まで書けば、あとはその繰り返しです。この6個は、 が単位円上を ずつ回った点になっているので、三角関数を使うと1つの式にまとめられます。

検証　漸化式から より まで数値で計算し、上の2通りの表し方（3で割った余りによる場合分けと、三角関数の式）が完全に一致することを確認しました。また がつねに1であること、 が成り立つことも確認しています。

【4】2曲線が囲む面積（①-4 と ②-2）

(1) 異なる2点で交わる条件

【型】「異なる2点で交わる」＝連立して得た2次方程式が異なる2実解をもつ。

【なぜこうするか】　交点の個数は、2つの式を等号で結んでできる方程式の解の個数と同じです。ここでは2次方程式になるので、判別式が使えます。グラフの形を細かく調べる必要はありません。

(2) 囲む面積

【型】2次と2次で囲む面積は 。差を出さずに から作る。

【なぜこうするか】　交点 を根号つきで書いてから積分すると、式が重くなります。ここでは（いわゆる6分の1公式）を使い、 は解と係数の関係から で出します。根号を最後まで持ち込まないのが要領です。

検証　 について、交点を数値的に求めて区間を20万分割した数値積分を行い、上の式の値と小数第8位まで一致することを確認しました。

(3) の証明

【型】根号の中身を平方完成して、その最大値を押さえる。

【なぜこうするか】　 の大きさを決めているのは中身の だけです（ 乗は0以上で単調増加）。だから中身の最大値さえ分かれば の最大値も決まります。2次式なので平方完成で一発です。

数学②（2題）

【5】不等式の数学的帰納法（②-1）

不等式の証明

【型】 は分母を大きくすると小さくなる。この一言で両辺がつながる。

【なぜこうするか】　左辺の各項は分母が 、右辺は分母が「1 ＋ 全部の和」です。分子が同じで分母が大きいほうが小さいので、左辺の各項は「右辺と同じ分母にそろえた項」より大きい。これが証明の芯です。
問題は帰納法を指定しているので、この考えを の場合と、 から への一歩の中で使います。

検証　 を2から8までランダムに変えながら、 を から の範囲で2000通り取って両辺を計算し、すべてで左辺が大きいことを確認しました。

数学③（2題）

【6】だ円の準円（③-1）

点 P の軌跡

【型】2本の接線の傾きを1つの2次方程式の2解と見て、「積が 」を解と係数の関係で書く。

【なぜこうするか】　直交条件は「傾きの積が 」です。傾きを個別に求める必要はなく、積だけ分かればよい。だから2本の接線の傾きを1つの2次方程式の2解として扱い、解と係数の関係で積を書きます。接線の条件は「連立した2次方程式の判別式が0」から作ります。

検証　 と について、円 上の12点で2接線の傾きの積を計算し、すべて になることを確認しました。
この円は準円と呼ばれます。半径は で、だ円に外接する長方形（ で囲まれる長方形）の頂点をちょうど通ります。

【7】指数関数の凸性（③-2）

(1) で

【型】 なら、 を示せばよい。 なら、さらに へ。

【なぜこうするか】　 を代入すると です。つまり「 で が増える」ことを言えば が出ます。ところが も0になるので、 の符号も1段深く調べる必要があります。2階まで降りると という素直な形になり、そこで符号が確定します。「0から始まって増える」を2段重ねる形です。

検証　 を から 、 を から の範囲で3000通り取って を計算し、すべて正であることを確認しました。

(2) 接線の傾きと直線 AB の傾き

【型】示したい不等式を変形して、(1) の に を代入した形にする。

【なぜこうするか】　(1) の は、一見すると何のための式か分かりません。しかし示したい不等式 の分母を払うと 、これはまさに です。(1) は (2) のために用意された道具で、こういう構成の問題では「(1) の式に何を代入すれば目標になるか」を探すのが最短です。

検証　 を から 、 を から の範囲で3000通り取り、接線の傾きが直線 AB の傾きより大きいことを確認しました（たとえば のとき、接線の傾き 、AB の傾き ）。

この年度で身につく「型」の一覧

検証について

この記事の数値は、次の3段階で確かめています。

1. 当塾で独立に解く（解答を見ずに、まず自分で最後まで解く）
2. Python による独立検算　【1】は5つの について3次方程式を数値的に解いて解の2乗和を計算。【2】はベクトルを300通り。【3】は まで数値計算し、2通りの一般項の式と照合。【4】は5つの について数値積分。【5】は と を2000通り。【6】は準円上の12点で接線の傾きの積を計算。【7】は3000通りで不等式を確認。
3. 別解での全問確認（13小問すべて一致）

なお【3】(3) は、解答PDFでは「 を3で割った余り」による場合分けで書かれています。本ページではそれに加えて、 が単位円上を ずつ回るという見方から、三角関数を使った1つの式も併記しました。数値計算で両者が完全に一致することを確認しています。