藤原進之介です。このページでは山形大学2011年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
今日の一問
10 個の数字 1, 2, …, 10 から異なる 2 個を選んで並べる。
両端がともに奇数となる並べ方は何通りあるか。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：順列の中で「特定の位置に条件がつく」型。条件のついた場所から先に埋めるのが鉄則です。空いた場所から埋めると、後で数え直しになります。
1. なぜその一手を選ぶのか
1 から 10 までのうち奇数は 5 個（1, 3, …）、偶数は 5 個です。条件は「両端がともに奇数」なので、制約が乗っているのは両端の 2 か所だけ。ここを先に決めてしまえば、残りは何の制約もない普通の順列になります。
逆に「まず 2 個選んでから並べる」と考えると、選んだ組み合わせごとに両端に置ける奇数の個数が変わってしまい、場合分けが増えます。「条件の重い場所から」——これがこの型の判断です。
2. 解答
- 両端を決める：左端に奇数 5 通り、右端は残りの奇数から 4 通り。順序を区別するので 5 × 4 = 20 通り。
- 真ん中の 0 か所を埋める：使える数字は残り 8 個で、そこから 0 個を並べるので 8P0 = 1 通り。
- 積の法則より 20 × 1 = 20 通り。
答え： 20 通り
3. 検算
全体の並べ方は 10P2 = 90 通りなので、答えはこれより小さくなければおかしい。20 < 90 で条件を満たします。また両端がともに奇数になる確率はおよそ (5/10)×(4/9) ≒ 0.222 で、20 ÷ 90 ≒ 0.222 と一致します。
この型の一般化：「両端」「隣り合う」「特定の位置」といった場所に関する条件が出たら、その場所を先に固定して残りを自由順列にします。逆に「少なくとも」「含まれない」といった個数に関する条件が出たら、余事象か組み合わせで先に選んでから並べる方が速い。どちらの型かの見分け方は第13章 場合の数で整理しています。
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山形大学 2011年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- 確率・場合の数
- 方程式・不等式
- 関数・グラフ
- 整数
- 空間図形
- 数列
この年度の出題範囲と傾向
2011年度の問題PDFでは、図形・三角関数、微分・積分、確率・場合の数、方程式・不等式、関数・グラフに関する語句や設問を確認できました。山形大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は18年度、微分・積分は18年度、関数・グラフは18年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、方程式・不等式、微分・積分、関数・グラフ
(1) 対角線 AC ORAL ACB の大きさを求めよ.
(2) BHR AC と BD が直交するとき, 三角形AOB と三角形DOC
は合同でもることを示せ.
(3) 対角線 AO と BD が直交するとき, c, ヵの値を求めよ.
(4) = 2g のとき, a の値と DCA, ZBAD の大きさを求めよ、
(5) 0 = 26 のとき, 三角形 ABD に内接する円の半径 の倍を求めよ.
at, 8 M11 11690)
[2] 袋の中に5 個の玉が入っている. それらは, 0LSone ENG, 1
と書かれた玉,。-1 と書かれた玉, 2 と書かれた玉がそれぞれ ATO
である. この袋の中から3個の玉を取り出す、 取り出した3個の玉に
BANEREOME mits. 次に, 袋の中に残った 2 個の玉に書か
れた灸字の積を ? とする. このように定義された men のもとで,
2 次関数
f(@)ae~matn
を考える. このとき, KOMKEAL.
(1) m のとり得る値をすべて求めよ.
(2) mEn のとり得る組合せ (mn) をすべて求めよ.
(3) とるのとり得る組合せせ (Mn) のすべてについて, それぞれが
起こる確率を求めよ.
(4) 不等式 7(z) > 0 がすべての実数 > について成り立つ確率を求
めよ.
(5) FBX fle) = 0 が異なる実数解 e, 2 をもち, 同時にo<2か
つ <2 となる確率を求めよ.
次 デ やMEG36一91)
[3] 正の定数 ぁ に対し, 曲線リー be? を 〇 とする. この曲線 で を用い
て, 数列 fg。} を次のように定める.
ga>0
(i) n= 1, 2, 3, ... に対し, A Pa(@n, (oe)2) における曲線 O の
BARS o 軸との変点の z BRE any とする.
LOLS, 次の問に答えよ、
(1) HRC 上の点 P, における接線の方程式を求めよ.
(2) a を a, CRE.
(3) Qn を a, で表せ.
(4) 曲線 の, oH, 直線ヶ=qg,そーgaTi で囲まれた図形の面積を
S。 とする. Sy を gi CHE.
(5) 完ニ第8キー Sony EPS. Ty をgi CH.
(6) Up = + St +S EFS. PF を表めよ。
ー3ー M11 116--92)
(2) BHR AC と BD が直交するとき, 三角形AOB と三角形DOC
は合同でもることを示せ.
(3) 対角線 AO と BD が直交するとき, c, ヵの値を求めよ.
(4) = 2g のとき, a の値と DCA, ZBAD の大きさを求めよ、
(5) 0 = 26 のとき, 三角形 ABD に内接する円の半径 の倍を求めよ.
at, 8 M11 11690)
[2] 袋の中に5 個の玉が入っている. それらは, 0LSone ENG, 1
と書かれた玉,。-1 と書かれた玉, 2 と書かれた玉がそれぞれ ATO
である. この袋の中から3個の玉を取り出す、 取り出した3個の玉に
BANEREOME mits. 次に, 袋の中に残った 2 個の玉に書か
れた灸字の積を ? とする. このように定義された men のもとで,
2 次関数
f(@)ae~matn
を考える. このとき, KOMKEAL.
(1) m のとり得る値をすべて求めよ.
(2) mEn のとり得る組合せ (mn) をすべて求めよ.
(3) とるのとり得る組合せせ (Mn) のすべてについて, それぞれが
起こる確率を求めよ.
(4) 不等式 7(z) > 0 がすべての実数 > について成り立つ確率を求
めよ.
(5) FBX fle) = 0 が異なる実数解 e, 2 をもち, 同時にo<2か
つ <2 となる確率を求めよ.
次 デ やMEG36一91)
[3] 正の定数 ぁ に対し, 曲線リー be? を 〇 とする. この曲線 で を用い
て, 数列 fg。} を次のように定める.
ga>0
(i) n= 1, 2, 3, ... に対し, A Pa(@n, (oe)2) における曲線 O の
BARS o 軸との変点の z BRE any とする.
LOLS, 次の問に答えよ、
(1) HRC 上の点 P, における接線の方程式を求めよ.
(2) a を a, CRE.
(3) Qn を a, で表せ.
(4) 曲線 の, oH, 直線ヶ=qg,そーgaTi で囲まれた図形の面積を
S。 とする. Sy を gi CHE.
(5) 完ニ第8キー Sony EPS. Ty をgi CH.
(6) Up = + St +S EFS. PF を表めよ。
ー3ー M11 116--92)
問2画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、微分・積分、図形・三角関数、関数・グラフ、方程式・不等式
(1) PA と PB を成分で表せ.
(2) z とヶが満たすべき関係式を求めよ.
(3) z とりが(2) の関係式を満たすとき, 22 —By の値の範囲を求めよ.
(4) 三角形PAB の面積の最大値を求めよ. また, そのときの ZPAB
の大きさを求めよ.
miko OM12(116—94)
[2] 袋の中に5個の玉が入っている. SHSM, 0 と書かれた玉が2 個,1
と書かれた玉, 1 と書かれた玉。 2 と書かれた玉がそれぞれ1 個ずつ
である. この袋の中から3個の玉を取り出す. 取り出した3 個の玉に
書かれた数字の和を mFS. 次に, 袋の中に残った2個の玉に書か
れた数字の積を x とする. このように定義された men のもとで,
2 次関数
fe) =22—mrtn
を考える. このとき, 次の間に答えよ.
(1) w のとり得る値をすべて求めよ.
(2) とヵ のとり得る組合せ (mn) をすべて求めよ.
(3) mE n のとり得る組合せ (7が, のすべてについて, それぞれが
起こる確率を求めよ.
(4) 不等式 fle) > 0 がすべての実数 s について成り立つ確率を求
めよ.
(5) HBA f(x) =0 が異なる実数解 BERD, 同時に<2か
つ <2 となる確率を求めよ.
ー2ー OM12(116—95)
[ 3 ] 座聞平面におねいて, 点 (2, 0) を中心とする半径 2 の円を の とする.
AR (1, 0) を通る直線 と円 ど との交点を ABEL, 点 (3, 0) を通
OBR CAC との交点を P, Q とする. さらに, ムと5は垂直に
交わるとする. ただし, ゎ は座標軸とは一致しない. h の傾きをょ
で表す. このとき, 次の問に答えよ.
(1) & 5 の交点 D は円 び の内部にあることを示せ.
(2) 弦 AB の長さをぁヵを用いて表せ.
(3) 弦 PQ の長さを+を用いて表せ.
(4) 四角形 APBQ の面積の最大値を求めよ.
ー3 一 ぐM12 16一96)
[4] Maree eB cH, ya と表される曲線を 〇 とする. た
TEL, # は実数全体を動くとする. また, 実数 e (eX 0) に対して, A
(@?, a) における C の接線を LTS. COLE, 次の問に符えよ.
(1) lo の方程式を求めよ、
(2) 曲線のの0く#く1に対応する部分の長さを求めよ、ただし, 曲
線ゥー7(717, 9=900 のeS#Sグに対応する部分の長さは
B
[ V@P+@ a であたえられる.
(3) 曲線 C と RL で囲まれた図形の面積を求めよ.
(4) 曲線の と 直線 』 で囲まれた図形を y 山の周りに 1回転してで
きる回転体の体積を求めよ.
ー4 一 OM12(116—-97)
(2) z とヶが満たすべき関係式を求めよ.
(3) z とりが(2) の関係式を満たすとき, 22 —By の値の範囲を求めよ.
(4) 三角形PAB の面積の最大値を求めよ. また, そのときの ZPAB
の大きさを求めよ.
miko OM12(116—94)
[2] 袋の中に5個の玉が入っている. SHSM, 0 と書かれた玉が2 個,1
と書かれた玉, 1 と書かれた玉。 2 と書かれた玉がそれぞれ1 個ずつ
である. この袋の中から3個の玉を取り出す. 取り出した3 個の玉に
書かれた数字の和を mFS. 次に, 袋の中に残った2個の玉に書か
れた数字の積を x とする. このように定義された men のもとで,
2 次関数
fe) =22—mrtn
を考える. このとき, 次の間に答えよ.
(1) w のとり得る値をすべて求めよ.
(2) とヵ のとり得る組合せ (mn) をすべて求めよ.
(3) mE n のとり得る組合せ (7が, のすべてについて, それぞれが
起こる確率を求めよ.
(4) 不等式 fle) > 0 がすべての実数 s について成り立つ確率を求
めよ.
(5) HBA f(x) =0 が異なる実数解 BERD, 同時に<2か
つ <2 となる確率を求めよ.
ー2ー OM12(116—95)
[ 3 ] 座聞平面におねいて, 点 (2, 0) を中心とする半径 2 の円を の とする.
AR (1, 0) を通る直線 と円 ど との交点を ABEL, 点 (3, 0) を通
OBR CAC との交点を P, Q とする. さらに, ムと5は垂直に
交わるとする. ただし, ゎ は座標軸とは一致しない. h の傾きをょ
で表す. このとき, 次の問に答えよ.
(1) & 5 の交点 D は円 び の内部にあることを示せ.
(2) 弦 AB の長さをぁヵを用いて表せ.
(3) 弦 PQ の長さを+を用いて表せ.
(4) 四角形 APBQ の面積の最大値を求めよ.
ー3 一 ぐM12 16一96)
[4] Maree eB cH, ya と表される曲線を 〇 とする. た
TEL, # は実数全体を動くとする. また, 実数 e (eX 0) に対して, A
(@?, a) における C の接線を LTS. COLE, 次の問に符えよ.
(1) lo の方程式を求めよ、
(2) 曲線のの0く#く1に対応する部分の長さを求めよ、ただし, 曲
線ゥー7(717, 9=900 のeS#Sグに対応する部分の長さは
B
[ V@P+@ a であたえられる.
(3) 曲線 C と RL で囲まれた図形の面積を求めよ.
(4) 曲線の と 直線 』 で囲まれた図形を y 山の周りに 1回転してで
きる回転体の体積を求めよ.
ー4 一 OM12(116—-97)
問3画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、図形・三角関数、微分・積分、方程式・不等式
(1) f(x) の導関数"(z) を求めよ。
2) FQ) OR 次導関数/”(*) を求めよ。
(8) 曲線ヵーア(3) (ただし, 0 ミミ* SOM RREAY. MWC, BROW, Meco
ても明示すること。
@ tity =$G) (REL, 052 ST OYS7 EH.
ーーュー OMI1(116—2)
TL 平曽上の曲線 Cは媒條変数f# を用いて.
x=cost, y=asinttbcost (0S¢S2zx)
CREND, a, ORR CHY, a> 0 を満たす。
以下の問に答えよ。
(1) 曲線Cの方程式を*、ゅ, a, 》ヵ を用いて表し, yについて解け。
(2) HBR CAS Hh, y 南と交わる点の座稼を求めよ。 -
3 “gate pat FT ra
wa, OMEN 7が・ b TF のとき。 以下の間に答えよ。
(3) x, yのそれぞれの最大値。 最小値を求めよ。
@ 曲線Cによって亡まれた都分の面積を求めよ。
ー 終 記 の&M1(116一3
2) FQ) OR 次導関数/”(*) を求めよ。
(8) 曲線ヵーア(3) (ただし, 0 ミミ* SOM RREAY. MWC, BROW, Meco
ても明示すること。
@ tity =$G) (REL, 052 ST OYS7 EH.
ーーュー OMI1(116—2)
TL 平曽上の曲線 Cは媒條変数f# を用いて.
x=cost, y=asinttbcost (0S¢S2zx)
CREND, a, ORR CHY, a> 0 を満たす。
以下の問に答えよ。
(1) 曲線Cの方程式を*、ゅ, a, 》ヵ を用いて表し, yについて解け。
(2) HBR CAS Hh, y 南と交わる点の座稼を求めよ。 -
3 “gate pat FT ra
wa, OMEN 7が・ b TF のとき。 以下の間に答えよ。
(3) x, yのそれぞれの最大値。 最小値を求めよ。
@ 曲線Cによって亡まれた都分の面積を求めよ。
ー 終 記 の&M1(116一3
問4画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、整数、確率・場合の数、微分・積分、関数・グラフ
(1) 。 の方程式を求めよ.
(2) 曲線どの0 ミ#ミ1に対応する部分の長さを求めよ、ただし, 曲
Ro = f(t), y= gt) のwaS#さ8に対応する部分の長さは
B
[ V@l+@ a であたえられる、
(3) 曲線 と HR) で囲まれた図形の面積を求めよ.
(2) 曲線 の と 直線 で囲まれた図形を y 軸の周りに 1 回転してで
きる回転体の体積を求めよ.
mm Zim ©M13(116—100)
[ 3 ] 座標平面上で原点を中心とする角 9 (ラジアン) の回転移動を表す行列
ERO) EFS. また, 0<9<r (9* +) となる9 に対し, 直線
y= (tanのy に関する対称移動を表す行列を All) とする. このとき,
次の問に答えよ.
(1) 行列メー(の4(の(の を求めよ. また, s に対して
XR(s)X = Rit) を満たす+ を求めよ. ただし, RO) RO)
の逆行列である.
Qo0<a<m0<6<r (a, bx =) DEX, 4(o)4(の) を求
めよ.
3) 0 <2< 4 <@<ィ のとき, A(a)A(S) = A(B)A(a) となるため
の必要十分条件を oe, 2 を用いて表せ.
(20 0<a<F,0<8< 2%, (tama, tang) が井線ター テー
上にあるとき, KOO, 2 に答えよ.
1 tan( 8) の値を求めよ。
® Ala)A(B) を求めよ.
ー3 一 OM13(116—101)
[4] 炎の商に符えよ-
(1) BRR pv, g を自然数 m で割ったときの余りをそれぞれ rs と
TS. このとき, pg一7s ik m の倍敷であることを示せ.
(2) n が自然散のとき, 3" を4 で割ったときの余りを求めよ.
(3) n を自然数とし, r を実数とするとき, 二項展開を利用して
Po iad
kel
を求めよ.
(4) サイコロを In 回振り, 出た征をすべて掛け合わせた数を X, と
する. 使用するサイコロの目は 1, 2,3, 4, 5, 6 であり, LOR
の出る確率も 一 である、このとき,X。 を4 で割ったときの余り
が 3 である確率 P, を求めよ.
ー 4一 ぐM13d16一102)
(2) 曲線どの0 ミ#ミ1に対応する部分の長さを求めよ、ただし, 曲
Ro = f(t), y= gt) のwaS#さ8に対応する部分の長さは
B
[ V@l+@ a であたえられる、
(3) 曲線 と HR) で囲まれた図形の面積を求めよ.
(2) 曲線 の と 直線 で囲まれた図形を y 軸の周りに 1 回転してで
きる回転体の体積を求めよ.
mm Zim ©M13(116—100)
[ 3 ] 座標平面上で原点を中心とする角 9 (ラジアン) の回転移動を表す行列
ERO) EFS. また, 0<9<r (9* +) となる9 に対し, 直線
y= (tanのy に関する対称移動を表す行列を All) とする. このとき,
次の問に答えよ.
(1) 行列メー(の4(の(の を求めよ. また, s に対して
XR(s)X = Rit) を満たす+ を求めよ. ただし, RO) RO)
の逆行列である.
Qo0<a<m0<6<r (a, bx =) DEX, 4(o)4(の) を求
めよ.
3) 0 <2< 4 <@<ィ のとき, A(a)A(S) = A(B)A(a) となるため
の必要十分条件を oe, 2 を用いて表せ.
(20 0<a<F,0<8< 2%, (tama, tang) が井線ター テー
上にあるとき, KOO, 2 に答えよ.
1 tan( 8) の値を求めよ。
® Ala)A(B) を求めよ.
ー3 一 OM13(116—101)
[4] 炎の商に符えよ-
(1) BRR pv, g を自然数 m で割ったときの余りをそれぞれ rs と
TS. このとき, pg一7s ik m の倍敷であることを示せ.
(2) n が自然散のとき, 3" を4 で割ったときの余りを求めよ.
(3) n を自然数とし, r を実数とするとき, 二項展開を利用して
Po iad
kel
を求めよ.
(4) サイコロを In 回振り, 出た征をすべて掛け合わせた数を X, と
する. 使用するサイコロの目は 1, 2,3, 4, 5, 6 であり, LOR
の出る確率も 一 である、このとき,X。 を4 で割ったときの余り
が 3 である確率 P, を求めよ.
ー 4一 ぐM13d16一102)
問5画像OCR
検出分野: 空間図形、図形・三角関数、整数、微分・積分、関数・グラフ
(1) zope x.
(1) 0さぁ<2r のとき, HBX 6sin?a + 5cosr-2=0 CHET 2 OME
求めよ。
(2) 周標空間に4点 A(2,0,0), B(0,3.0), C(--1,1,0), D(1,1,-9) がある。
四面体 ABCD の体積を求めよ。
(3) 7 で割ると 2 余り, 11 で割ると3余るような300 以下の自然数をすべて
求めよ。
oe 包 M15(116—109)
(2) 3火の正行列 4, 5 と実数ゎが
A+B=38, pA-B=( 0 3 ) apeo
=38, か ={_6 s か =
を満たすとき, 次の問いに答えよ。ただし, BIMATS, O BAITS SZ,
_({ 3-3 _ [3p 3 -
(1) orna=( 3 3): erg=( 6 sy ) PR
(2) 実数pの値と行列 4, BERYL,
(3) 自然数ぁに対して, AM = BAP を示し, AM を求めよ。
ー2 一 るM1516一110)
(3) acy 平面上に直線7 y = (1 - V3 oe +14 VS EMR CO: y = -2? +30 があ
る。次の問いに答えよ。
(1) 直線7 と曲線の交点の座標を求めよ。
(2) 連立不等式
y2(l-Vv8)et+14 v3
yS —2° 432,
の表す領域を とする。
11 HR De cy 平面上に図示し, のの面積を求めよ。
Gi) 県 (e,9) が領域を動くとぎ, LT の最大値と最小値を求めよ。
= ges OMI15(116—-111)
(4) <平面上に曲線の:ターー @> 0) がある。 Hin Lom (も +) にき
ける接線をとし, 原点Oから?に下ろした垂線を OH とするとき, 次の問い
に答えよ。
(0) MALONE y=-Laett であることを示せ。 ;
0) anon (2 20 _)\ ることを示せ
TM Oe TEE? 14 .
(3) 直線7とり軸のなす角を9 (9<9<3 LL, MP OHORS EAL TS,
{i) ?, 2 9 OKTRE,
(i) iin, © を求めよ。
ar A) mee OM15(116—112)
(1) 0さぁ<2r のとき, HBX 6sin?a + 5cosr-2=0 CHET 2 OME
求めよ。
(2) 周標空間に4点 A(2,0,0), B(0,3.0), C(--1,1,0), D(1,1,-9) がある。
四面体 ABCD の体積を求めよ。
(3) 7 で割ると 2 余り, 11 で割ると3余るような300 以下の自然数をすべて
求めよ。
oe 包 M15(116—109)
(2) 3火の正行列 4, 5 と実数ゎが
A+B=38, pA-B=( 0 3 ) apeo
=38, か ={_6 s か =
を満たすとき, 次の問いに答えよ。ただし, BIMATS, O BAITS SZ,
_({ 3-3 _ [3p 3 -
(1) orna=( 3 3): erg=( 6 sy ) PR
(2) 実数pの値と行列 4, BERYL,
(3) 自然数ぁに対して, AM = BAP を示し, AM を求めよ。
ー2 一 るM1516一110)
(3) acy 平面上に直線7 y = (1 - V3 oe +14 VS EMR CO: y = -2? +30 があ
る。次の問いに答えよ。
(1) 直線7 と曲線の交点の座標を求めよ。
(2) 連立不等式
y2(l-Vv8)et+14 v3
yS —2° 432,
の表す領域を とする。
11 HR De cy 平面上に図示し, のの面積を求めよ。
Gi) 県 (e,9) が領域を動くとぎ, LT の最大値と最小値を求めよ。
= ges OMI15(116—-111)
(4) <平面上に曲線の:ターー @> 0) がある。 Hin Lom (も +) にき
ける接線をとし, 原点Oから?に下ろした垂線を OH とするとき, 次の問い
に答えよ。
(0) MALONE y=-Laett であることを示せ。 ;
0) anon (2 20 _)\ ることを示せ
TM Oe TEE? 14 .
(3) 直線7とり軸のなす角を9 (9<9<3 LL, MP OHORS EAL TS,
{i) ?, 2 9 OKTRE,
(i) iin, © を求めよ。
ar A) mee OM15(116—112)
問6画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、微分・積分、方程式・不等式、関数・グラフ
(1) 対角線 AC の長さと AOB の大ききを求めよ.
(2) 対角線 AC と BD が直交するとき, 三角形AOB と三角形DOO
な合同であやることを示せ.
(3) 対角線 AC と BD が直交するとき, a, ちの値を求めよ.
(4) 5 = 2 DEX, a の値と ZDCA, ZBAD の大きさを求めよ.
(5) b= 2 OLX, 三角形 ABD に内接する円の半径 の値を求めよ。
a= Ta OM14(116—104)
[2] 徐の中に5個の玉が入っている. それらは, 0 と書かれた王がぅ個。 1
と書かれた玉, 1 と杏かれた玉, 2 と書かれた玉がそれぞれ1 個ずつ
CHS, この袋の中から 3 個の玉を取り出す, 取り出した3個の玉に
午かれた数字の和を m とする. 次に, 袋の中に残った2 個の玉に書か
れた数字の積を ヵ とする. このように定義された mE ヵ のもとで,
2商関数
f(e)=2*-mz+n
を考える. このとき, 次の問に答えよ.
(1) m のとり得る値をすべて求めよ.
(2) MEN のとり得る組合せ (zz) をすべて求めよ.
(3) mm とる のとり得る組合せ (m,n) のすべてについて, それぞれが
起こる確率を求めよ.
(4) 不等式 fle) > 0 がすべての実数 > について成り立つ確率を求
めよ.
(5) 方程式 7(z) = 0 が異なる実数解 o, 9 をもち, 同時にo < 2 か
つ <2 となる確率を求めよ,
= 2 ュ一 OM14(116—-105)
[3] 正の定数 : に対し, 全線ター ke CLES. この曲線 〇 を用い
て, 数列 {an} を次のように定める.
(i) a >0
(ii) m= 1, 2, 3, +--+ に対し, Palanan, B(an)?) における曲線 CO の
接線と z 軸との交点の z BH any とする.
このとき, 次の問に答えよ.
(1) 曲線の上の点 Pi における接線の方程式を求めよ.
(2) ap を ay, で表せ.
(3) Gn を a, で表せ.
(4) 曲線 の, >軸, 直線 > = og。, t= day, で囲まれた図形の面積を
5。 ETB. 8。 を a, CRE.
(8) Th= S485 +--+ Sy EFS. Tr をの CH.
(6) Un = Sab Sy tot Sy とする OF を求めよ.
ー3 一 M14 (116—106)
[4] 座標空間内に 28 A(0, 2, 1), BO, -1, 2) があり, P(e, y, 0) は
PA LPB を滴たしながら動くものとする、このとき, 次の問に符えよ。 -
=> lo
(1) PA とPB を成分で表せ.
(2) z とりが満たすべき関係式を求めよ.
(3) * とりが(2) の関係式を満たすとき, 2z一39 の値の範囲を求めよ
(4) 三角形PAB の面積の最大値を求めよ. また, そのときの ZPAB
の大きさを求めよ.
eh =一 OM14(116—107)
(2) 対角線 AC と BD が直交するとき, 三角形AOB と三角形DOO
な合同であやることを示せ.
(3) 対角線 AC と BD が直交するとき, a, ちの値を求めよ.
(4) 5 = 2 DEX, a の値と ZDCA, ZBAD の大きさを求めよ.
(5) b= 2 OLX, 三角形 ABD に内接する円の半径 の値を求めよ。
a= Ta OM14(116—104)
[2] 徐の中に5個の玉が入っている. それらは, 0 と書かれた王がぅ個。 1
と書かれた玉, 1 と杏かれた玉, 2 と書かれた玉がそれぞれ1 個ずつ
CHS, この袋の中から 3 個の玉を取り出す, 取り出した3個の玉に
午かれた数字の和を m とする. 次に, 袋の中に残った2 個の玉に書か
れた数字の積を ヵ とする. このように定義された mE ヵ のもとで,
2商関数
f(e)=2*-mz+n
を考える. このとき, 次の問に答えよ.
(1) m のとり得る値をすべて求めよ.
(2) MEN のとり得る組合せ (zz) をすべて求めよ.
(3) mm とる のとり得る組合せ (m,n) のすべてについて, それぞれが
起こる確率を求めよ.
(4) 不等式 fle) > 0 がすべての実数 > について成り立つ確率を求
めよ.
(5) 方程式 7(z) = 0 が異なる実数解 o, 9 をもち, 同時にo < 2 か
つ <2 となる確率を求めよ,
= 2 ュ一 OM14(116—-105)
[3] 正の定数 : に対し, 全線ター ke CLES. この曲線 〇 を用い
て, 数列 {an} を次のように定める.
(i) a >0
(ii) m= 1, 2, 3, +--+ に対し, Palanan, B(an)?) における曲線 CO の
接線と z 軸との交点の z BH any とする.
このとき, 次の問に答えよ.
(1) 曲線の上の点 Pi における接線の方程式を求めよ.
(2) ap を ay, で表せ.
(3) Gn を a, で表せ.
(4) 曲線 の, >軸, 直線 > = og。, t= day, で囲まれた図形の面積を
5。 ETB. 8。 を a, CRE.
(8) Th= S485 +--+ Sy EFS. Tr をの CH.
(6) Un = Sab Sy tot Sy とする OF を求めよ.
ー3 一 M14 (116—106)
[4] 座標空間内に 28 A(0, 2, 1), BO, -1, 2) があり, P(e, y, 0) は
PA LPB を滴たしながら動くものとする、このとき, 次の問に符えよ。 -
=> lo
(1) PA とPB を成分で表せ.
(2) z とりが満たすべき関係式を求めよ.
(3) * とりが(2) の関係式を満たすとき, 2z一39 の値の範囲を求めよ
(4) 三角形PAB の面積の最大値を求めよ. また, そのときの ZPAB
の大きさを求めよ.
eh =一 OM14(116—107)