関西学院大学 2015年度 過去問・解答

関西学院大学2015年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

〔1〕(1) 三角形の面積・外接円・内接円

AB = 7、BC = 5、CA = 9 の三角形ABCを考えます。

ア　cos A

A は AB と CA が挟む角なので、向かい合う辺は BC です。

cos A = (AB² + CA² − BC²)/(2·AB·CA) = (49 + 81 − 25)/(2·7·9) = 105/126

イ　sin A

0° < A < 180° より sin A > 0 なので

sin A = √(1 − 25/36) = √(11/36)

ウ　三角形ABCの面積 S

S = (1/2)·AB·CA·sin A = (1/2)·7·9·(√11/6) = 63√11/12

エ　外接円の半径 R

正弦定理 BC/sin A = 2R より

R = 5 ÷ (2 × √11/6) = 5 × 6/(2√11) = 15/√11

オ　内接円の半径 r

S = (1/2)r(AB + BC + CA) より

(1/2)r(7 + 5 + 9) = 21√11/4 ⇔ (21/2)r = 21√11/4

外接円は正弦定理、内接円は面積 = (1/2)r × 周。この2つの使い分けを反射的にできるようにしておきましょう。

〔1〕(2) さいころの目で決まる2次関数の性質と確率

2個のさいころの目を a, b とし、f(x) = x² + 2ax + b を考えます。

カ　f(x) の総数

a, b がそれぞれ6通りなので

キ　f(1) が偶数となる確率

f(1) = 1 + 2a + b。2a はつねに偶数なので、f(1) の偶奇は b + 1 の偶奇で決まります。

b + 1 が偶数 ⇔ b が奇数 ⇔ b = 1, 3, 5（3通り）。a は何でもよいので 6 × 3 = 18 通り。

ク　f(x) の最小値が2以上となる確率

f(x) = (x + a)² + b − a² と平方完成すると、最小値は b − a²。条件は

b − a² ≧ 2

a ≧ 1 なので a² ≧ 1。b ≦ 6 と合わせて絞ります。

a	必要な b	該当する b	通り
1	b ≧ 3	3, 4, 5, 6	4
2	b ≧ 6	6	1
3以上	b ≧ 11	なし	0

ケ　y = f(x) のグラフが x 軸と共有点をもつ確率

下に凸なので、条件は最小値が0以下、すなわち b − a² ≦ 0（b ≦ a²）。

a	a²	b ≦ a² を満たす b	通り
1	1	1	1
2	4	1, 2, 3, 4	4
3, 4, 5, 6	9以上	すべて	6 × 4 = 24

コ　f(x) = 0 が −3 より小さい解と大きい解を1つずつもつ確率

下に凸の放物線が x = −3 をまたいで x 軸を切る条件は、ただ1つ f(−3) < 0 です（判別式や軸の条件は不要）。

f(−3) = 9 − 6a + b < 0 ⇔ b + 9 < 6a

a	6a	b < 6a − 9 を満たす b	通り
1	6	b < −3：なし	0
2	12	b < 3：1, 2	2
3, 4, 5, 6	18以上	b < 9：すべて	6 × 4 = 24

「2解が k をまたぐ ⇔ f(k) < 0（下に凸のとき）」は、解の配置問題で最も使う条件です。判別式・軸・端点の値の3点セットを毎回書く必要はなく、またぐ場合は端点の符号だけで必要十分になります。

この年の学習ポイント

(2) は、2次関数の性質を「a, b の不等式」に翻訳したあと、さいころの目の範囲（1〜6の整数）で数え上げる問題でした。翻訳がきれいにできれば、あとは表を作るだけです。

クとケは同じ b − a² の符号を見ており、コだけが端点の値を見ています。何を問われたら何を調べるのかを対応表として整理しておくと、この種の問題は一気に速くなります。

関西学院大学2015年度は複数日程が実施されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。