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藤原進之介です。このページでは立教大学2018年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
今日の一問
とする。
の最大値と最小値、およびそのときの を求めよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
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- 問題PDF 8（全ページ）
解答
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- 解答PDF 3（全ページ）
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- 解答PDF 5（全ページ）
- 解答PDF 6（全ページ）
- 解答PDF 7（全ページ）
- 解答PDF 8（全ページ）
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：a sin θ + b cos θ の形を見たら三角関数の合成。ただし範囲が制限されているときは合成して終わりではありません——端点の確認までが1セットです。
1. なぜその一手を選ぶのか
sin と cos が混ざったままでは増減が読めません。合成して R sin(θ + α) の 1 つの波にすれば、あとは「その波が範囲内でどこまで振れるか」だけの問題になります。R = √(122 + 92) = 15 。
範囲が θ + α で見て 1 周ぶんを含むので、sin は 1 と −1 の両方に到達します。だから最大・最小はそのまま R + 4 と −R + 4 です。
2. 解答
- 合成：12 sin θ + 9 cos θ = 15 sin(θ + α) 。ここで α（ただし cos α = 1215 、sin α = 915 を満たす鋭角） 。
- よって y = 15 sin(θ + α) + 4 。0 ≦ θ < 2π のとき θ + α は α から 2π + α まで動きます。
- この区間で sin は 1 に到達する（θ + α = π2）ので、最大値は 15 + 4 = 19 、そのとき θ = π2 − α 。
- 同様に sin は −1 に到達するので、最小値は −15 + 4 = −11 、そのとき θ = 3π2 − α 。
答え： 最大値 19（θ = π2 − α）、最小値 −11（θ = 3π2 − α）
3. 検算
振れ幅で確かめる：最大 − 最小 = 30.000 。範囲が1周ぶんあるなら 2R = 30.000 に一致し、狭ければそれより小さくなるはずです。今回はちょうど 2R に一致しています。
端点を代入して確かめる：θ = 0 で y = 13 。これが最大値以下・最小値以上に収まっていることを必ず見ます。
この型の一般化：a sin θ + b cos θ = √(a2+b2) sin(θ + α) は無条件で使えますが、最大値が R になるとは限りません。決め手は「θ + α の動く区間が π2 や 3π2 を含むか」。含まなければ端点勝負です。合成は変形であって解答ではない——ここを混同するのがこの型の最頻出ミスです。第6章 関数で最大最小の判断を、第7章 座標で角の扱いを整理しています。
立教大学は数学だけでは決まりません。他科目の対策ページも用意しています。
- 立教大学 英語の対策——出題形式から逆算した解き方とオリジナル演習
- 立教大学 国語の対策——現代文・古文を型で崩す手順
立教大学 数学 過去問｜他の年度を見る
立教大学の数学の過去問は31年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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問題PDFをテキストでも確認
立教大学 2018年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 整数
- 微分・積分
- 方程式・不等式
- 関数・グラフ
- 確率・場合の数
- 指数・対数
- 空間図形
この年度の出題範囲と傾向
2018年度の問題PDFでは、図形・三角関数、整数、微分・積分、方程式・不等式、関数・グラフに関する語句や設問を確認できました。立教大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、微分・積分は31年度、関数・グラフは29年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、指数・対数、整数、方程式・不等式
2018年度
as
O 数 学 問 題
注 意
1 . 試験開始の指示があるまでこの間題m子を開いてはいけません.
2 . 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆ほたはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ポボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. との問題閣子は 8 ページまでとなっています. 試験開始後, ただちにページ数を確
認してください、 なお, 問題番号は 1 一相となっています.
4. 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が, あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 唱席票の氏名拉に氏名のみを記入して
ください. なお, 出席票は切り離さないでください.
5. 解答は解答用紙の指定された解答負に記入し、 その他の部分には何も書いてはいひ
ません.
6. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7. 計算には, この問題冊子の余白部分を使ってください.
8. この問題理子は持ち帰ってください.
|
— 0数1一
1. 炎の計剛アーコに当てはまる数または式を記入せよ」
(i) < を正の数とする. 2次方程式 アーgr+1=0がぁーgー1 を満たす実数解
ちと を持つとき,<=[ア 1.ぁ=しイ |である.
(i) 0<9<今 とする. tng= Ff OLE, sin2e Ubi [I] であり, cos29 の
値は[ エ ] である.
Gi) 鹿本平面上の原点0と 2点 (2,4), (-3, 3) を頂点とする三角形の面積は
| ォ |であぁる.
Gv) モー DEBBIE 。、小数部分を お とするとき, a -68= CH] であぁる.
(vy) 2028 の正の約数の個数は全部で| キ ] 個である. 」
(vi) FBR log, (2 — 1) + log, (2e +1) = 1 の解はァ= である.
(i) SADKAA, B,C, D, Eと3人の子ども。, b。cが1列に並ぶとき, TM
が大人となり, かつ子どる 3 人が続くような並び方は 通りである.
(vil) 関数 7の) が等式 [roa = Bg? ー 12z +12 を満たすときの a の値は
である-
ー 0数2 一
ー 0数3 一
Th. wo f0,} a =2, るー5。 aye —Adyey + Bay =0 (gz =1,2.3....) を満た
しているとする. このとき, ROW )~Ww)CBAK. 解答欄には, SAE CE OR
中経過も書くこと.
Ci) as と の値をそれぞれ求めよ.
(8 ) すべての自然数 w について gs一gmコーc(gam ー Oy) を満たす定数 EDK,
Gi), =a, - a とするとき、ぁ Bn を用いて表せ.
(iv) 9 B2 Dee, Bo, brews,
(v) {a,} の一般融を求めよ.
ーー O数4 一
ーO数5 一
ll. PERF Lic 220K CG y=22-1, Qiy=— (erty +1 がある. ただ
し, -2<4#<2494. COLE, GC LG は異なる 2つの共有点を持つ. その共有
点の z BR a, 8 (asf) とする. 次の問(i)一(iv)に答えよ. 解答欄には, 答
えだけでなく途中経過も書くことと.
(i) @t 8, «8, B-a を7 を用いてそれぞれ表せ.
(i) @+ gg二近を7を用いて表せ.
(i) C と G で囲まれる部分の面積 3 を # を用いて表せ、
(iv) Gil) CRD AME S OMAME TOL EO t の値をそれぞれ求めよ.
— 0数6一
(Akal
— CO数7 一
as
O 数 学 問 題
注 意
1 . 試験開始の指示があるまでこの間題m子を開いてはいけません.
2 . 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆ほたはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ポボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. との問題閣子は 8 ページまでとなっています. 試験開始後, ただちにページ数を確
認してください、 なお, 問題番号は 1 一相となっています.
4. 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が, あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 唱席票の氏名拉に氏名のみを記入して
ください. なお, 出席票は切り離さないでください.
5. 解答は解答用紙の指定された解答負に記入し、 その他の部分には何も書いてはいひ
ません.
6. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7. 計算には, この問題冊子の余白部分を使ってください.
8. この問題理子は持ち帰ってください.
|
— 0数1一
1. 炎の計剛アーコに当てはまる数または式を記入せよ」
(i) < を正の数とする. 2次方程式 アーgr+1=0がぁーgー1 を満たす実数解
ちと を持つとき,<=[ア 1.ぁ=しイ |である.
(i) 0<9<今 とする. tng= Ff OLE, sin2e Ubi [I] であり, cos29 の
値は[ エ ] である.
Gi) 鹿本平面上の原点0と 2点 (2,4), (-3, 3) を頂点とする三角形の面積は
| ォ |であぁる.
Gv) モー DEBBIE 。、小数部分を お とするとき, a -68= CH] であぁる.
(vy) 2028 の正の約数の個数は全部で| キ ] 個である. 」
(vi) FBR log, (2 — 1) + log, (2e +1) = 1 の解はァ= である.
(i) SADKAA, B,C, D, Eと3人の子ども。, b。cが1列に並ぶとき, TM
が大人となり, かつ子どる 3 人が続くような並び方は 通りである.
(vil) 関数 7の) が等式 [roa = Bg? ー 12z +12 を満たすときの a の値は
である-
ー 0数2 一
ー 0数3 一
Th. wo f0,} a =2, るー5。 aye —Adyey + Bay =0 (gz =1,2.3....) を満た
しているとする. このとき, ROW )~Ww)CBAK. 解答欄には, SAE CE OR
中経過も書くこと.
Ci) as と の値をそれぞれ求めよ.
(8 ) すべての自然数 w について gs一gmコーc(gam ー Oy) を満たす定数 EDK,
Gi), =a, - a とするとき、ぁ Bn を用いて表せ.
(iv) 9 B2 Dee, Bo, brews,
(v) {a,} の一般融を求めよ.
ーー O数4 一
ーO数5 一
ll. PERF Lic 220K CG y=22-1, Qiy=— (erty +1 がある. ただ
し, -2<4#<2494. COLE, GC LG は異なる 2つの共有点を持つ. その共有
点の z BR a, 8 (asf) とする. 次の問(i)一(iv)に答えよ. 解答欄には, 答
えだけでなく途中経過も書くことと.
(i) @t 8, «8, B-a を7 を用いてそれぞれ表せ.
(i) @+ gg二近を7を用いて表せ.
(i) C と G で囲まれる部分の面積 3 を # を用いて表せ、
(iv) Gil) CRD AME S OMAME TOL EO t の値をそれぞれ求めよ.
— 0数6一
(Akal
— CO数7 一
問2画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、整数、微分・積分、ベクトル、空間図形
2018年度
の
K 数 学 問 題
・ 注 意
1 . 試験開始の指示があるまでこの問題町子を開いてはいけません.
2. 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを門れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この間題冊子は 8 ページまでとなっています. 試験開始後.ただちにページ数を確
認してください. なおお, 問題番号はT 一民となっています.
4, 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席桂の受験番号が、あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 出刻票の氏名拉に氏名のみを記入して
ください. なお, MRO OMS OSS LSD,
5. 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
RRA,
6. 解答用紙を折り曲げたり, Bok, 傷つけたりしないように注意してください.
7 . 計算には, この問題弄子の余自部分を使ってください.
8. この問題氏子は持ち帰ってください.
|
— Kl —
上 . 交の空個アーセに当てはまる数または式を記入せよ.
G) こっ人 のとき, e+エーしアであり, ath= (AT) cas.
Gi) > を正の数とする. log。64 = 075 OLE, r= CHS,
Gi) 2つのベクトルる=(2.z)。5ー(3, -2) COT, +H と32一すが
平行であるとき,ァー| エ | でぁる.
(iv) 3辺の長きさがそれぞれAB 3 , BC=5, CA= 7 である三角形ABCにおいて,
ABC=9 (0"<9く180") とするとき, 9=[ オ | CHS.
(y) 定数 はg<1 を満たすとする. BR f(x) = 229-3(a +1) x’ + bax が極
小値0をとるとき, a= である.
(vi) =1 とし, また自然数 ヵ に対して 42。+ 1 を3で割った余りを a, CEOS.
ZTOBM {a} におあいて. Q=2, の= ・ + Ge =
である.
(vil) RRERBETS OR f(a) = att pe tg に対して, BER f(x) =0 は
マニー1 を重解に持ち, またょ=1ーア27 を解に持つ、 COLE, f(a) =0 の
残りの解を実数 , 9 EMT rath ERTER, a= Lb
であり, RE P= , 9 =トス | である. KEL, i は虚数単位とする.
— Kl 一
(ii) 図のように東西に 4 本, 南北に6 本の道路がある. このうち, C地点とD地点を結
区間は工事中のため通行することができない. このとき, 最短距離でA地点からB
地点へ行く道順は全部で 通りである.
北
B
ml | | | | |*
ps Pl |
A
南
— K数3 一
IL. matoe+smnrrai bor cr xt+y?=1 LEAP (cose, sino) (0<0< 4)
がある. 点Pにおける円 C の接線を / とし,7 とz 軸の交点をA,/ とゅ軸の交点
をBとする. 線分0Aの長きと線分OBの長さの和を L とおき, EX, “shar と
BS. COLE, 次の間(i)一(iy)に答えよ. PAW, BARGE eR BS
EL,
(i) 点Aと点Bの座標を cos9 , sind を用いてそれぞれ表せ.
Gi) } の値の範囲を求めよ-
(ii) L? を『 を用いて表せ.
(iv) が最小となるときの L の値とそのときの点Pの座標をそれぞれ求めよ.
— k数4 一
— K&S 一
I. m,n を整数とする. 原点をOとする座標平面上の点A(, a) は次の条件(1 ),
(2 )を満たしている.
(1) 1Sms3
(2) 2一2一1鐘み名2
点Aと点B(0 , 1) を遂る直線AB:ゥ=んry二1 と放物線C:ゥッータアー2z一1の
軸なる2つの共有点をP, Qとし, P, QD x 座標ををそれぞれe, 2 (a<P) とお
く. このとき, 次の問( j)一(v)に答えよ. 解答欄には, 答えだけでなく途中経過も書く
me.
(i) RAS (2,2) であるとき,ヵ の値をすべて求めよ、
(i) ょぁニー1 となるような点Aの座標をすべて求めよ、
(ii) e+をんを用いて表せ.
(iv) 三角形0PQの面積を S とおく. SER を用いて表せ.
(y) (iv)で定めた S が最小となるとき,ぁ の値を求めよ.
ー K数6 一
【以下余白】
ーー数7 一
の
K 数 学 問 題
・ 注 意
1 . 試験開始の指示があるまでこの問題町子を開いてはいけません.
2. 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを門れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この間題冊子は 8 ページまでとなっています. 試験開始後.ただちにページ数を確
認してください. なおお, 問題番号はT 一民となっています.
4, 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席桂の受験番号が、あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 出刻票の氏名拉に氏名のみを記入して
ください. なお, MRO OMS OSS LSD,
5. 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
RRA,
6. 解答用紙を折り曲げたり, Bok, 傷つけたりしないように注意してください.
7 . 計算には, この問題弄子の余自部分を使ってください.
8. この問題氏子は持ち帰ってください.
|
— Kl —
上 . 交の空個アーセに当てはまる数または式を記入せよ.
G) こっ人 のとき, e+エーしアであり, ath= (AT) cas.
Gi) > を正の数とする. log。64 = 075 OLE, r= CHS,
Gi) 2つのベクトルる=(2.z)。5ー(3, -2) COT, +H と32一すが
平行であるとき,ァー| エ | でぁる.
(iv) 3辺の長きさがそれぞれAB 3 , BC=5, CA= 7 である三角形ABCにおいて,
ABC=9 (0"<9く180") とするとき, 9=[ オ | CHS.
(y) 定数 はg<1 を満たすとする. BR f(x) = 229-3(a +1) x’ + bax が極
小値0をとるとき, a= である.
(vi) =1 とし, また自然数 ヵ に対して 42。+ 1 を3で割った余りを a, CEOS.
ZTOBM {a} におあいて. Q=2, の= ・ + Ge =
である.
(vil) RRERBETS OR f(a) = att pe tg に対して, BER f(x) =0 は
マニー1 を重解に持ち, またょ=1ーア27 を解に持つ、 COLE, f(a) =0 の
残りの解を実数 , 9 EMT rath ERTER, a= Lb
であり, RE P= , 9 =トス | である. KEL, i は虚数単位とする.
— Kl 一
(ii) 図のように東西に 4 本, 南北に6 本の道路がある. このうち, C地点とD地点を結
区間は工事中のため通行することができない. このとき, 最短距離でA地点からB
地点へ行く道順は全部で 通りである.
北
B
ml | | | | |*
ps Pl |
A
南
— K数3 一
IL. matoe+smnrrai bor cr xt+y?=1 LEAP (cose, sino) (0<0< 4)
がある. 点Pにおける円 C の接線を / とし,7 とz 軸の交点をA,/ とゅ軸の交点
をBとする. 線分0Aの長きと線分OBの長さの和を L とおき, EX, “shar と
BS. COLE, 次の間(i)一(iy)に答えよ. PAW, BARGE eR BS
EL,
(i) 点Aと点Bの座標を cos9 , sind を用いてそれぞれ表せ.
Gi) } の値の範囲を求めよ-
(ii) L? を『 を用いて表せ.
(iv) が最小となるときの L の値とそのときの点Pの座標をそれぞれ求めよ.
— k数4 一
— K&S 一
I. m,n を整数とする. 原点をOとする座標平面上の点A(, a) は次の条件(1 ),
(2 )を満たしている.
(1) 1Sms3
(2) 2一2一1鐘み名2
点Aと点B(0 , 1) を遂る直線AB:ゥ=んry二1 と放物線C:ゥッータアー2z一1の
軸なる2つの共有点をP, Qとし, P, QD x 座標ををそれぞれe, 2 (a<P) とお
く. このとき, 次の問( j)一(v)に答えよ. 解答欄には, 答えだけでなく途中経過も書く
me.
(i) RAS (2,2) であるとき,ヵ の値をすべて求めよ、
(i) ょぁニー1 となるような点Aの座標をすべて求めよ、
(ii) e+をんを用いて表せ.
(iv) 三角形0PQの面積を S とおく. SER を用いて表せ.
(y) (iv)で定めた S が最小となるとき,ぁ の値を求めよ.
ー K数6 一
【以下余白】
ーー数7 一
問3画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、方程式・不等式、整数、関数・グラフ、確率・場合の数
2018年度
aye
A 数 = 間 題
1 . 試験開始の指示があるまでこの問題司子を開いてはいけません.
2, 解答用紙はすべてHぉの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ポールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この問題軒子は 8ページまでとなっています. 試験開始後、ただちにページ数を確
認してください. なお, 問題番号は] 一四となっています.
4, 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので. 出席票の受験番号が。あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 出席豆の氏名航に氏名のみを記入して
ください. なお, 出席票は切り離さないでください-
5. 解答は解答用紙の指定された解答杜に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません.
6. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7. 計算には, この間題虹子の余自部分を使ってください.
8. この問題冊子は持ち帰ってください.
|
— ABI —
1 交の侍柚アーツに当てはまる数または式を記入せよ.
(i) < & b が有理数である 2 次方程式 + gz +) = 0 の解の1つをァー2ー73
とする. このとき,gヶ= ,b= 4 |である.
(i) 3次式 2x3 tar tb & (x -1)' で割った余りが一 3となるとき,g =
2 = | エ |] であぁる.
Gil) ヵ は自然数であり, n+ 3 は5の倍数,ぁ5 は3の倍数である. このような A
のうち, 100 以下で最大の数は ぁ = CHS.
Gv) Boat 2 =< 2ST について, z EMME EE 3 で表す。このとき。
a= (CE) である. また実数 < と ぁ を用いて et baatn と表すとき。
a= b= である. ただし, i は虚数単位とする.
(v) 三角形ABCにおいて, WBC, CAを 1:2 に内分する虚をそれぞれD , ELL,
線分ADと線分BEの交点をPとする. HRs, ¢ を用いて, AP=sAB+ tAC &
表すときsー[ ケ ] =しコ ] であぁる.
(vi) BOWEL, 2, 3, 4, 5と番号をつけた5個の玉が入っている. この中から玉
を 2 個取り出すとき, その和が奇数となる確率は であり, その積が偶数と
なる確率は | シ | である.
(vii) 関数7(z) = 2? + ax すりが
fd)=1, のge =0
SMT CE, a= , 86ー | セ | である.
(vil), = 2, Guay = Gy + On? (タニ1.2.3...) によって定められる数列 [g。) の
一盤項は a, = | ソ |である.
— A数2 一
— 4数3一
Tl. ser を異なる突数とする. 2つの2次方
2ー婦キs=0 ...1
vi-sctt=0 ...2
が共通の解を持つとき, 次の問( i ) 一(vi)に答えよ. 解答欄には, 答えだけでなく途中経
過も書くこと.
(i) 2つの2 次方程式の共通解を* =c とするとき, c を求めよ.
(i) s をを用いて表せ.
(ii) 方程式について, c とは異なる解を EWS LE, a Et を用いて表せ.
(iv) 方程式2について, c とは異なる解を ) とおくとき,ちを7 を用いて表せ.
(v) g2二が十e? を,すを用いて表せ.
(vi) (v )で求めた式を f(t) EHC LS, f(t) の最小値を求めよ。
こちらの問題については、問題設定が不適切で解答不可能なため、全員正解とする
と大学から公表されています。
ー Ams 一
ーー ARS 一
I. o¢maessmwemiic, 4点A(2,5), B(S, 1), €(5,3), Pla, 5)
があり, 点Pは等式 PAL PH =PC を満たしている, SGIRASING, Q があり。
Io| = IOI =/S, 0@108, 6ざ1GE
を満たす. をだし, 点Qの 2 座標は正とする. このとき, 次の間( )一(y)に答えよ。
MEM, BART CESS De.
(i) 点Pの座標 (ヶ. 6) を求めよ.
(i) RQEKG の座標をそれぞれ求めよ。
(Hi) 3点Q, Q, Aを滝る円の方程式を
ety tint my +n =0
と表すとき, 定数7, mn をそれぞれ求めよ.
(iv) (GiW)で求めた円と, 線分QQ' の現直等分線とのすべての交点の座標を求めよ.
(v) 点Tが(年)で求めた円の上にあるとき, 三角形QQTの面積の最大値を求めよ。
— A数6 一
【以下余白】
— ART 一
aye
A 数 = 間 題
1 . 試験開始の指示があるまでこの問題司子を開いてはいけません.
2, 解答用紙はすべてHぉの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ポールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この問題軒子は 8ページまでとなっています. 試験開始後、ただちにページ数を確
認してください. なお, 問題番号は] 一四となっています.
4, 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので. 出席票の受験番号が。あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 出席豆の氏名航に氏名のみを記入して
ください. なお, 出席票は切り離さないでください-
5. 解答は解答用紙の指定された解答杜に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません.
6. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7. 計算には, この間題虹子の余自部分を使ってください.
8. この問題冊子は持ち帰ってください.
|
— ABI —
1 交の侍柚アーツに当てはまる数または式を記入せよ.
(i) < & b が有理数である 2 次方程式 + gz +) = 0 の解の1つをァー2ー73
とする. このとき,gヶ= ,b= 4 |である.
(i) 3次式 2x3 tar tb & (x -1)' で割った余りが一 3となるとき,g =
2 = | エ |] であぁる.
Gil) ヵ は自然数であり, n+ 3 は5の倍数,ぁ5 は3の倍数である. このような A
のうち, 100 以下で最大の数は ぁ = CHS.
Gv) Boat 2 =< 2ST について, z EMME EE 3 で表す。このとき。
a= (CE) である. また実数 < と ぁ を用いて et baatn と表すとき。
a= b= である. ただし, i は虚数単位とする.
(v) 三角形ABCにおいて, WBC, CAを 1:2 に内分する虚をそれぞれD , ELL,
線分ADと線分BEの交点をPとする. HRs, ¢ を用いて, AP=sAB+ tAC &
表すときsー[ ケ ] =しコ ] であぁる.
(vi) BOWEL, 2, 3, 4, 5と番号をつけた5個の玉が入っている. この中から玉
を 2 個取り出すとき, その和が奇数となる確率は であり, その積が偶数と
なる確率は | シ | である.
(vii) 関数7(z) = 2? + ax すりが
fd)=1, のge =0
SMT CE, a= , 86ー | セ | である.
(vil), = 2, Guay = Gy + On? (タニ1.2.3...) によって定められる数列 [g。) の
一盤項は a, = | ソ |である.
— A数2 一
— 4数3一
Tl. ser を異なる突数とする. 2つの2次方
2ー婦キs=0 ...1
vi-sctt=0 ...2
が共通の解を持つとき, 次の問( i ) 一(vi)に答えよ. 解答欄には, 答えだけでなく途中経
過も書くこと.
(i) 2つの2 次方程式の共通解を* =c とするとき, c を求めよ.
(i) s をを用いて表せ.
(ii) 方程式について, c とは異なる解を EWS LE, a Et を用いて表せ.
(iv) 方程式2について, c とは異なる解を ) とおくとき,ちを7 を用いて表せ.
(v) g2二が十e? を,すを用いて表せ.
(vi) (v )で求めた式を f(t) EHC LS, f(t) の最小値を求めよ。
こちらの問題については、問題設定が不適切で解答不可能なため、全員正解とする
と大学から公表されています。
ー Ams 一
ーー ARS 一
I. o¢maessmwemiic, 4点A(2,5), B(S, 1), €(5,3), Pla, 5)
があり, 点Pは等式 PAL PH =PC を満たしている, SGIRASING, Q があり。
Io| = IOI =/S, 0@108, 6ざ1GE
を満たす. をだし, 点Qの 2 座標は正とする. このとき, 次の間( )一(y)に答えよ。
MEM, BART CESS De.
(i) 点Pの座標 (ヶ. 6) を求めよ.
(i) RQEKG の座標をそれぞれ求めよ。
(Hi) 3点Q, Q, Aを滝る円の方程式を
ety tint my +n =0
と表すとき, 定数7, mn をそれぞれ求めよ.
(iv) (GiW)で求めた円と, 線分QQ' の現直等分線とのすべての交点の座標を求めよ.
(v) 点Tが(年)で求めた円の上にあるとき, 三角形QQTの面積の最大値を求めよ。
— A数6 一
【以下余白】
— ART 一
問4画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、整数、関数・グラフ、方程式・不等式、空間図形
2018年度
J に H
U 数 学 問 是
注 意
1 . 試験開始の指示があるまでこの問題冊子を開いてはいけません.
2 . 解答用紙はすべてHB の黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この問題冊子は 8 ページまでとなっています、試験開始後、.ただちにページ数を確
認してください. なお, 問題番号は1一下となっています.
4. 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が, あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 出席票の氏名租に氏名のみを記入して
ください. なお, 出席票は切り離さないでください.
5. 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません.
6. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7. 計算には, この間題民子の余白部分を使ってください.
8 . この問題冊子は持ち帰ってください.
a
— U数1一
] . の空欄ア,イに「真] または「傷] のいずれかを記入せよ。 また空欄ウーシには当て
はまる数または式を記入せよ.
(i) 実数 > に関する命題「z?き 1つァキ1] は| ア | であり, この命題の裏は
[しイ ] でぁる.
(i) 不等式 z?ー15z 一6|く0 を満たす z の範囲は| ウ | または[| エ | であぁる.
(ii) 3次関数 /(z) = z? — 3z 一1 の極大値は | オ | で, 極小値は である.
(iv) cos 105° = である.
(y) 座標空間における3点 (z, 4, 2),(3,3,0),(1,ヵ 1) が一直線上に
あるとき,ェ=ニ| ク |,ッ=| ヶ | であぁる.
(vi) 0.9" <0.1 を満たす最小の整数 ヵ は CHS. KEL, logy 3 =0.4771 と
する.
(vi) 1辺の長きが1である正四面体ABCDで, 三角形BCDの重心をGとするとき, 線
分AGの長さは| サ | である.
(vil) 2次方程式 z? — dma — 8m + 12=0 が異なる2つの正の解を持つとき, 定数
m の範囲は| シ | CHS. |
— U数2 一
0 <。 を満たす実数 > に対して,『 = sina — cose EBS. また,o を0以上
の定数として, 関数 /(z) を
f(z) 4gsinz一4gcosy填sin2z (0ミミァ名ァ)
EFS. とのとき, 次の問( i )一(iy)に答えよ. 解答欄には, 答えをだけでなく途中経過も
書くこと.
(i) sinzcosz を#を用いて表せ.
(i) f(z) を# を用いて表せ.
(ii) # の値の範囲を求めよ.
(iv) f(z) の最大値を 。 を用いて表せ.
一U数4 一
Il. n を自然数とする. 座標平面において以下の1ー3の不等式を同時に満たす点 (ァ, y)
で, >, y がともに整数であるものの個数を a, ETS.
r20 ...5
ゅ=0 ERの)
ァキッミター ...9 」
このとき, 次の問(i)一(iv)に答えよ. 解答欄には, 答えだけでなく途中経過も書く
とと.
(i) a, @, a をそれぞれ求めよ.
(ii) a, をヵ を用いて表せ.
(ii) ©, ©, OMA ァニァ を満たす点 (2, y) で, >, y がともに整数であるもの
の個数を 0。とする.ヵー2一1 とするとき, を 婦 の式で表せ. KEL, m
は自然数とする.
(iv) ©, @, 3に加え y2u を満たす点 (x,y) で, zy がともに整数であるもの
の個数を eg。 とする. ヵ三2w一1 とするとき, c。 を w の式で表せ. KEL, m
は自然数とする.
ーU数6 一
J に H
U 数 学 問 是
注 意
1 . 試験開始の指示があるまでこの問題冊子を開いてはいけません.
2 . 解答用紙はすべてHB の黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この問題冊子は 8 ページまでとなっています、試験開始後、.ただちにページ数を確
認してください. なお, 問題番号は1一下となっています.
4. 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が, あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 出席票の氏名租に氏名のみを記入して
ください. なお, 出席票は切り離さないでください.
5. 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません.
6. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7. 計算には, この間題民子の余白部分を使ってください.
8 . この問題冊子は持ち帰ってください.
a
— U数1一
] . の空欄ア,イに「真] または「傷] のいずれかを記入せよ。 また空欄ウーシには当て
はまる数または式を記入せよ.
(i) 実数 > に関する命題「z?き 1つァキ1] は| ア | であり, この命題の裏は
[しイ ] でぁる.
(i) 不等式 z?ー15z 一6|く0 を満たす z の範囲は| ウ | または[| エ | であぁる.
(ii) 3次関数 /(z) = z? — 3z 一1 の極大値は | オ | で, 極小値は である.
(iv) cos 105° = である.
(y) 座標空間における3点 (z, 4, 2),(3,3,0),(1,ヵ 1) が一直線上に
あるとき,ェ=ニ| ク |,ッ=| ヶ | であぁる.
(vi) 0.9" <0.1 を満たす最小の整数 ヵ は CHS. KEL, logy 3 =0.4771 と
する.
(vi) 1辺の長きが1である正四面体ABCDで, 三角形BCDの重心をGとするとき, 線
分AGの長さは| サ | である.
(vil) 2次方程式 z? — dma — 8m + 12=0 が異なる2つの正の解を持つとき, 定数
m の範囲は| シ | CHS. |
— U数2 一
0 <。 を満たす実数 > に対して,『 = sina — cose EBS. また,o を0以上
の定数として, 関数 /(z) を
f(z) 4gsinz一4gcosy填sin2z (0ミミァ名ァ)
EFS. とのとき, 次の問( i )一(iy)に答えよ. 解答欄には, 答えをだけでなく途中経過も
書くこと.
(i) sinzcosz を#を用いて表せ.
(i) f(z) を# を用いて表せ.
(ii) # の値の範囲を求めよ.
(iv) f(z) の最大値を 。 を用いて表せ.
一U数4 一
Il. n を自然数とする. 座標平面において以下の1ー3の不等式を同時に満たす点 (ァ, y)
で, >, y がともに整数であるものの個数を a, ETS.
r20 ...5
ゅ=0 ERの)
ァキッミター ...9 」
このとき, 次の問(i)一(iv)に答えよ. 解答欄には, 答えだけでなく途中経過も書く
とと.
(i) a, @, a をそれぞれ求めよ.
(ii) a, をヵ を用いて表せ.
(ii) ©, ©, OMA ァニァ を満たす点 (2, y) で, >, y がともに整数であるもの
の個数を 0。とする.ヵー2一1 とするとき, を 婦 の式で表せ. KEL, m
は自然数とする.
(iv) ©, @, 3に加え y2u を満たす点 (x,y) で, zy がともに整数であるもの
の個数を eg。 とする. ヵ三2w一1 とするとき, c。 を w の式で表せ. KEL, m
は自然数とする.
ーU数6 一
問5画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、関数・グラフ、指数・対数、空間図形
2018年度
nora
Nb 数 学 問 是
1 . 試験開始の指示があるまでこの問題冊子を開いてはいけません.
2. 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この間題周子は 8 ページまでとなっています. 試験開始後,、をだちにページ数を確
認してください. なお, 問題徐号は【 一陳となっています.
4. 解答用紙にはすでに受験番号が記入きれていますので, あなたの受験革の番号であ
るかどうかを確認してください. あなたの氏名を記入する必要はありません.
5. 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません.
6. 解答用紙を破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7 . 計算には, COMBAT ORAMA to T <4 HED,
8, との問題匠子は持ち帰ってください.
a
ーー Nol 一
上 . 下記の空間アーケにあてはまる数または式を鏡答用紙の所定欄に記入せよ.
(i) a,b を定数とし, ge キ 0 であるとするとき。, WK f(x) = ar +b B, すべて
の実数 > に対して
{fF (a) P + af(z) キテァニ0
を満たすとする.、 ただし,ア(z) は f(x) の導関数である. このとき, <=[| Z 1.
ぁ8=[イ | でぁる.
Gi) 3つの空間ペクトルみる=(4 041, 2),.5= (2, 4,643), 6=(0,-1, の
について, GLE かつちょで が成り立つのは= のときである.
Gil) 初項が0でなく, 公比が ァヶ の等比数列 1g』} 28,
a, — 6a, + 9a, = 0
をともに満たすとする. このときァ= 。 a= である.
(Gv) 円に内続する四角形ABCDにおいて, ABE 3, BC=6, CD=4, DA=3 F
あるとする. このとき, ZABC= 6 とすれば、cosの= であり, AC=
CHS.
Co) i EMRE PS, BA 2 = cos Z + it + sin) を形式
z= r(cosd + ising) TREE, r= OF である. ただレァッ> 0,
0ミミ9く2xr とする.
ー Nu数2 一
— Ni数3 一
IL. osp si とする. きいころが2つ入った箱があり, TOME 1S LMM p CA
いころが1つ, 確率 1一ヵ でさいころが2つ出るとする. 箱を1回振り, 出たさいころ
が 1 つのときはその目を得点とし, 出たさいころが 2つのときは出た目の合計を得点とす
るゲームを行う. 箱を1回振ったとき, 1 名12 STR CML, 得点が』
である確率を の(4) ETS, この Q(k) について, 次の問(i)一(Y )に答えよ. 解答
AL, BART CR SBS Ce,
(i) QC) を ヵ を用いて表せ.
Ci) @(12) を ヵ を用いて表せ.
(ii) 1ミ#ミ6 OER, OCR) Ep &k を用いて表せ.
(Gv) 7ミミ12 のとき, OL) をのかとん を用いて表せ.
(v) の(6) = @(7) となる p を求めよ.
ー Ni数4 一
一Ne数5 一
I. 。> ? とするとき. px
（続きは問題PDFで確認できます）
nora
Nb 数 学 問 是
1 . 試験開始の指示があるまでこの問題冊子を開いてはいけません.
2. 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この間題周子は 8 ページまでとなっています. 試験開始後,、をだちにページ数を確
認してください. なお, 問題徐号は【 一陳となっています.
4. 解答用紙にはすでに受験番号が記入きれていますので, あなたの受験革の番号であ
るかどうかを確認してください. あなたの氏名を記入する必要はありません.
5. 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません.
6. 解答用紙を破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7 . 計算には, COMBAT ORAMA to T <4 HED,
8, との問題匠子は持ち帰ってください.
a
ーー Nol 一
上 . 下記の空間アーケにあてはまる数または式を鏡答用紙の所定欄に記入せよ.
(i) a,b を定数とし, ge キ 0 であるとするとき。, WK f(x) = ar +b B, すべて
の実数 > に対して
{fF (a) P + af(z) キテァニ0
を満たすとする.、 ただし,ア(z) は f(x) の導関数である. このとき, <=[| Z 1.
ぁ8=[イ | でぁる.
Gi) 3つの空間ペクトルみる=(4 041, 2),.5= (2, 4,643), 6=(0,-1, の
について, GLE かつちょで が成り立つのは= のときである.
Gil) 初項が0でなく, 公比が ァヶ の等比数列 1g』} 28,
a, — 6a, + 9a, = 0
をともに満たすとする. このときァ= 。 a= である.
(Gv) 円に内続する四角形ABCDにおいて, ABE 3, BC=6, CD=4, DA=3 F
あるとする. このとき, ZABC= 6 とすれば、cosの= であり, AC=
CHS.
Co) i EMRE PS, BA 2 = cos Z + it + sin) を形式
z= r(cosd + ising) TREE, r= OF である. ただレァッ> 0,
0ミミ9く2xr とする.
ー Nu数2 一
— Ni数3 一
IL. osp si とする. きいころが2つ入った箱があり, TOME 1S LMM p CA
いころが1つ, 確率 1一ヵ でさいころが2つ出るとする. 箱を1回振り, 出たさいころ
が 1 つのときはその目を得点とし, 出たさいころが 2つのときは出た目の合計を得点とす
るゲームを行う. 箱を1回振ったとき, 1 名12 STR CML, 得点が』
である確率を の(4) ETS, この Q(k) について, 次の問(i)一(Y )に答えよ. 解答
AL, BART CR SBS Ce,
(i) QC) を ヵ を用いて表せ.
Ci) @(12) を ヵ を用いて表せ.
(ii) 1ミ#ミ6 OER, OCR) Ep &k を用いて表せ.
(Gv) 7ミミ12 のとき, OL) をのかとん を用いて表せ.
(v) の(6) = @(7) となる p を求めよ.
ー Ni数4 一
一Ne数5 一
I. 。> ? とするとき. px
（続きは問題PDFで確認できます）
