藤原進之介です。このページでは立教大学2020年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
今日の一問
三角形OABにおいて 、、
そのなす角が である。三角形OABの面積と を求めよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：「2辺の長さ＋その挟角」が与えられた型。面積なら sin、内積なら cos。使い分けはそれだけで、公式を2つ覚える必要はありません。
1. なぜその一手を選ぶのか
与えられているのは |OA| = 3 、|OB| = 5 、挟角 30° の3つ。2辺と挟角が揃った瞬間に、面積も内積も確定します——どちらも「2辺の積 × 挟角の三角比」の形だからです。
内積の図形的な意味は「|OA| × （OB を OA の向きに落とした影の長さ）」です。今回は挟角が鋭角なので影は同じ向きで、内積は正です。
2. 解答
- 面積：S = 12 |OA||OB| sin 30° = 12 × 3 × 5 × 12 = 154 。
- 内積：OA · OB = |OA||OB| cos 30° = 3 × 5 × √32 = 15√32 。
答え： 面積 = 154 、 OA · OB = 15√32
3. 検算（符号と大きさを別々に見る）
符号：面積は必ず正。内積は挟角が鋭角なら正、鈍角なら負、直角なら 0。今回は 30° = 鋭角なので内積は正で、答えの符号と合っています。
大きさ：内積の絶対値は |OA||OB| = 15 を超えません（cos の絶対値が 1 以下だから）。
この型の一般化：成分が与えられて挟角が分からない場合は、先に内積を成分計算し、S = 12 √( |OA|²|OB|² − (OA·OB)² ) を使います。角を求めてから面積に行くのは遠回りです。始点の置き方と式の読み方は第8章 ベクトル、平面に落とす判断は第9章 空間図形で扱っています。
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- 立教大学 英語の対策——出題形式から逆算した解き方とオリジナル演習
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問題PDFをテキストでも確認
立教大学 2020年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 確率・場合の数
- 関数・グラフ
- 整数
- 微分・積分
- 数列
- 指数・対数
- 空間図形
この年度の出題範囲と傾向
2020年度の問題PDFでは、図形・三角関数、確率・場合の数、関数・グラフ、整数、微分・積分に関する語句や設問を確認できました。立教大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、微分・積分は31年度、関数・グラフは29年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、指数・対数、関数・グラフ、整数
2020年度
y に2
] 数 学 問題
・ 注 意
1. 試験開始の指示があるまでこの問題局子を開いてはいけません。
2 . 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています。 HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください。
(万年筆・ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません。)
3. この問題同子は 8 ページまでとなっています。試験開始後、ただちにページ数を確
認してください。なお, 問題番号はエ 一邊となっています。
4. 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が,。 あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 出席票の氏名棚に氏名のみを記入して
ください。なお, 出席票は切り離さないでください。
5 . 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません。
6. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください。
7 . 計算には, この問題冊子の余白部分を使ってください。
el 8. COMMM PRES MoT < EET
ー 1数1一
1 . 次の空剛アーケに当てはまる数または式を記入せよ。
(i) Ska, b,c Batb+c=0, gpcキ0 を満たすとき,
2+ てる+ oth. [アァ ] でぁる。
Gi) 27 す x a7” を巡約分数で表すと である。
(ii) 図のような 1から 9までの数字が 1 つずつ書かれた 9 枚のカードがある。
le」 [9] 」
これら 9 枚のカードから同時に取り出した 3 枚のカードの数字の和が奇数になる確率は
である。
(iv) 座標平面において, 2直線ァ+ 2y -4=0,- 30 + 4y +1 =0 のなす角をのとする
とき, cos9 である。ただし, 0 <a<t とする。
(y) 座標平面において, 2つの円 y?二史=9,(ァー4)*二(ヶー3)*=ニ16 の2つの
共有点の中点の x 座標は である。
(i) 2, y ERMETS. arty =1 のとき, Wty の最大値は である。
(vil) a, b を実数とする。 3 次方程式 3? + zz?上8zナ5=ニ0が1+:』を解に持つと
すると, g=ニ[| キ |,ぁ= CHS. HEL, i を上鹿数単位とする。
(vil) c を1でない正の実数とする。g, =1, Quy = ca? (n=1, 2, 3,...) で定め
られた数列 {g。} の一般項 g。 について, c を底とする a, の対数 log。g。をヵ を
用いて表すと, log。Z。 = である。
— 1数2 一
— 1数3 一
Ul. 関数 (>) =/e-のg に対して, 座標平面上の曲線 C: ッ=ア7(z) は
3mP(p, 0), Q(q, 0), Rly, 0)(ヵ<く2 くヶ) Cr HERDS, COLE, 次の
ICG )~(v) に答えよ。解答欄には, 答えだけでなく途中経過も書くこと。
(i) f(z) を x の整式として表せ。
(ii) ヵ を求めよ。 8
(ii) QP, Qにおける C の接線 /, m の方程式をそれぞれ求めよ。
(iv) (ii) CRB 1, m の交点を点Aとする。三角形PQAの面積求めよ。
(v) bik p<b<q を満たすとする。 3 点P, Q, B(5, f(d)) を頂点とする三角
形PFQB の面積の最大値を求めよ。
— 1数4 一
— 1&5 一
TI 図の よぅ な間角三角形ABCの辺BC上に点Dがあり, LABC=90", ZCAB=a,
ZDAB=8, ZCAD=6, BC=p, BD=q, AB=7r, 0<9くの9くヶ7 とする。
このとき, 次の問(1)一(y)に答えよ。解答欄には, 答えだけでなく途中経過も書くこと。
C ヽ
a}
(i) tana, tan@, tanの を p, 9, 7 を用いてそれぞれ表せ。
(i) s=r-q とする。 9 = 45" のとき, ヵ を aq, s を用いて表せ。
(i) s=r-—q とする。g = 1, 9=45*" OLE, ヵ, r がともに自然数となるような
s をすべて求めよ。
(iv) g@=2, 6=45 EDS, p, 7 がともに自然数となるような ヶ をすべて求めよ。
(v) g=3, 945" とする。ヵ, 7 がともるに自然数となるような 7 をすべて求めよ。
— 1数6 一
ars)
|
ー 数7 一
y に2
] 数 学 問題
・ 注 意
1. 試験開始の指示があるまでこの問題局子を開いてはいけません。
2 . 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています。 HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください。
(万年筆・ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません。)
3. この問題同子は 8 ページまでとなっています。試験開始後、ただちにページ数を確
認してください。なお, 問題番号はエ 一邊となっています。
4. 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が,。 あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 出席票の氏名棚に氏名のみを記入して
ください。なお, 出席票は切り離さないでください。
5 . 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません。
6. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください。
7 . 計算には, この問題冊子の余白部分を使ってください。
el 8. COMMM PRES MoT < EET
ー 1数1一
1 . 次の空剛アーケに当てはまる数または式を記入せよ。
(i) Ska, b,c Batb+c=0, gpcキ0 を満たすとき,
2+ てる+ oth. [アァ ] でぁる。
Gi) 27 す x a7” を巡約分数で表すと である。
(ii) 図のような 1から 9までの数字が 1 つずつ書かれた 9 枚のカードがある。
le」 [9] 」
これら 9 枚のカードから同時に取り出した 3 枚のカードの数字の和が奇数になる確率は
である。
(iv) 座標平面において, 2直線ァ+ 2y -4=0,- 30 + 4y +1 =0 のなす角をのとする
とき, cos9 である。ただし, 0 <a<t とする。
(y) 座標平面において, 2つの円 y?二史=9,(ァー4)*二(ヶー3)*=ニ16 の2つの
共有点の中点の x 座標は である。
(i) 2, y ERMETS. arty =1 のとき, Wty の最大値は である。
(vil) a, b を実数とする。 3 次方程式 3? + zz?上8zナ5=ニ0が1+:』を解に持つと
すると, g=ニ[| キ |,ぁ= CHS. HEL, i を上鹿数単位とする。
(vil) c を1でない正の実数とする。g, =1, Quy = ca? (n=1, 2, 3,...) で定め
られた数列 {g。} の一般項 g。 について, c を底とする a, の対数 log。g。をヵ を
用いて表すと, log。Z。 = である。
— 1数2 一
— 1数3 一
Ul. 関数 (>) =/e-のg に対して, 座標平面上の曲線 C: ッ=ア7(z) は
3mP(p, 0), Q(q, 0), Rly, 0)(ヵ<く2 くヶ) Cr HERDS, COLE, 次の
ICG )~(v) に答えよ。解答欄には, 答えだけでなく途中経過も書くこと。
(i) f(z) を x の整式として表せ。
(ii) ヵ を求めよ。 8
(ii) QP, Qにおける C の接線 /, m の方程式をそれぞれ求めよ。
(iv) (ii) CRB 1, m の交点を点Aとする。三角形PQAの面積求めよ。
(v) bik p<b<q を満たすとする。 3 点P, Q, B(5, f(d)) を頂点とする三角
形PFQB の面積の最大値を求めよ。
— 1数4 一
— 1&5 一
TI 図の よぅ な間角三角形ABCの辺BC上に点Dがあり, LABC=90", ZCAB=a,
ZDAB=8, ZCAD=6, BC=p, BD=q, AB=7r, 0<9くの9くヶ7 とする。
このとき, 次の問(1)一(y)に答えよ。解答欄には, 答えだけでなく途中経過も書くこと。
C ヽ
a}
(i) tana, tan@, tanの を p, 9, 7 を用いてそれぞれ表せ。
(i) s=r-q とする。 9 = 45" のとき, ヵ を aq, s を用いて表せ。
(i) s=r-—q とする。g = 1, 9=45*" OLE, ヵ, r がともに自然数となるような
s をすべて求めよ。
(iv) g@=2, 6=45 EDS, p, 7 がともに自然数となるような ヶ をすべて求めよ。
(v) g=3, 945" とする。ヵ, 7 がともるに自然数となるような 7 をすべて求めよ。
— 1数6 一
ars)
|
ー 数7 一
問3画像OCR
検出分野: 微分・積分、確率・場合の数、指数・対数、図形・三角関数、整数
2020年度
E 数 学 問題
1 . 試験開始の指示があるまでこの問題冊子を開いてはいけません。
2. 解答用紙はすべてH Bの黒鉛筆またはH Bの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています。 HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください。
(万年筆・ポールペン・サインペンなどを使用してはいけません。)
3. この問題冊子は 8 ページまでとなっています。試験開始後、 ただちにページ数を確
認してください。なお, 問題番号は 1 一四となっています。
4 . 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が, あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 出席票の氏名欄に氏名のみを記入して
ください。なお 出席票は切り離さないでください。
5 . 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません。
6 . 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください。
7 . 計算には, この問題違子の余白部分を使ってください。
8 . この問題冊子は持ち帰ってください。
a
— ER] —
] . 肖の空欄アーケに当てはまる数または式を記入せよ。
(i) mm9=す(0<9<全であるとき, cos の値はしアー] でぁる。
(ii) 2つの実数 z, y が log。(z +y) =3, logs(x —y) = 2 を満たすならば,
ァ=ェ[イ |,ゅ= である。
(ii) 25!= ex 10" (MM は0以上の束数。 < は 10 で視り切れない自然数) と表せば,
M= である。 |
(iv) 数字1, 2, 3のいずれか1つが書かれたカードが, それぞれ2枚ずつ合計6枚、 以下
の図のようにある。
ロコ
これら 6 枚のカードを 1 枚ずつ引く操作を 6 回繰り返し。引いた順に左から並べて6 手
の数字を作る。ただし, この操作のとき, 引いたカードは元に戻さないものとする。
こうしてできる可能性のある GHOULS ATH, 小さいものから順に並べあるとき,
初めて 200000 以上となる数字は小さい方から 番目の数字である。
(v) 要素が 11 ある以下のデータの第 1 四分位数は である。
14, 12, 21, 2, 5, 19, 6, 7, 10, 3, 18
(wi) Hn y =a + 2-22 Hh, および y WCHENSMBOIST, rz0
であるものの面積は である。
— B数2 一
(wi) 一辺の長さが1 の正人面体の体積は である。
(vii) 2つの実数 g。 5 が /Z+5=ニ11+477,/g一5ニ/11ー477 を満たす
とき, 4々一5=テ[| ケ | であぁる。
ーー数3 一
Th. wie bic C1y <2 がある。s ERM, | を正の実数とするとき」
点P (5。 一7) を通る C の接線は 2 本ある。これらの接線が C と接する点をそれぞれ
Q(q, の)。R (だ) EFS. REL, g くヶ とする。さらに, 線分QRの中点をMとす
る。とのとき, 次の問(i)一(y)に答えよ。解答衝には, 答えだけでなく途中経過も書く
ee
(i) a を実数とする。C LOK (a, a?) における接線の方程式を求めよ。
(i) qtréq をそれぞれs とを用いて表せ。
(ii) 点Mの座標を s と7 を用いて表せ。
(iv) 線分MPの長さを # を用いて表せ。
(y ) 三角形PQRの面積 3 を # を用いて表せ。
— g数4 一
— ERS 一
Tl. weera nico 4 点がある。
A\(-1-/3, -1-/3), B(1+/3, -1-/3)
Ci(1+キ73, 1+/3), D(-1-73, 1+73 )
正方形AjB,C」D」 の各辺AiB」, B,C, C.D), D,A」をそれぞれ 1 :73 に内分する
点をそれぞれA。, B。, Cx, D。とする。さらに, 自然数 x に対して正方形A。B。C。D。
D4DOWA,B,, BC。。 CD。。 DA。 を 1:ソ3 に内分する点をそれぞれ
Aus Brits Cons Di とする。このとき, 次の間(i)一(y)に答えよ。ただし, 答え
が分数の場合は分母は有理化すること。解答欄には, 答えだけでなく途中経過る書くこと。
(i) 3点A。。 By, C。の座標と 直線A。B。 と r 軸のなす角 g を求めよ。
REL, OSaS> EFS.
(ii) 2H As, B。の座梗と,直線AB。と 2 軸のなす角 B を求めよ。
REL, OSPST ETS.
(ii) 線分AiB」の長さ。線分A。B。 ORE, 線分AB。の長さをそれぞれ,ヵ, 9, 7 と
するとき, (2) と (4) を求めよ。
(iv) MOAB OLS s EFSLE, T を求めよ。
(v) 点D。の座標を求めよ。
ーE数6 一
【以下余白】
— ER? —
E 数 学 問題
1 . 試験開始の指示があるまでこの問題冊子を開いてはいけません。
2. 解答用紙はすべてH Bの黒鉛筆またはH Bの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています。 HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください。
(万年筆・ポールペン・サインペンなどを使用してはいけません。)
3. この問題冊子は 8 ページまでとなっています。試験開始後、 ただちにページ数を確
認してください。なお, 問題番号は 1 一四となっています。
4 . 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が, あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 出席票の氏名欄に氏名のみを記入して
ください。なお 出席票は切り離さないでください。
5 . 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません。
6 . 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください。
7 . 計算には, この問題違子の余白部分を使ってください。
8 . この問題冊子は持ち帰ってください。
a
— ER] —
] . 肖の空欄アーケに当てはまる数または式を記入せよ。
(i) mm9=す(0<9<全であるとき, cos の値はしアー] でぁる。
(ii) 2つの実数 z, y が log。(z +y) =3, logs(x —y) = 2 を満たすならば,
ァ=ェ[イ |,ゅ= である。
(ii) 25!= ex 10" (MM は0以上の束数。 < は 10 で視り切れない自然数) と表せば,
M= である。 |
(iv) 数字1, 2, 3のいずれか1つが書かれたカードが, それぞれ2枚ずつ合計6枚、 以下
の図のようにある。
ロコ
これら 6 枚のカードを 1 枚ずつ引く操作を 6 回繰り返し。引いた順に左から並べて6 手
の数字を作る。ただし, この操作のとき, 引いたカードは元に戻さないものとする。
こうしてできる可能性のある GHOULS ATH, 小さいものから順に並べあるとき,
初めて 200000 以上となる数字は小さい方から 番目の数字である。
(v) 要素が 11 ある以下のデータの第 1 四分位数は である。
14, 12, 21, 2, 5, 19, 6, 7, 10, 3, 18
(wi) Hn y =a + 2-22 Hh, および y WCHENSMBOIST, rz0
であるものの面積は である。
— B数2 一
(wi) 一辺の長さが1 の正人面体の体積は である。
(vii) 2つの実数 g。 5 が /Z+5=ニ11+477,/g一5ニ/11ー477 を満たす
とき, 4々一5=テ[| ケ | であぁる。
ーー数3 一
Th. wie bic C1y <2 がある。s ERM, | を正の実数とするとき」
点P (5。 一7) を通る C の接線は 2 本ある。これらの接線が C と接する点をそれぞれ
Q(q, の)。R (だ) EFS. REL, g くヶ とする。さらに, 線分QRの中点をMとす
る。とのとき, 次の問(i)一(y)に答えよ。解答衝には, 答えだけでなく途中経過も書く
ee
(i) a を実数とする。C LOK (a, a?) における接線の方程式を求めよ。
(i) qtréq をそれぞれs とを用いて表せ。
(ii) 点Mの座標を s と7 を用いて表せ。
(iv) 線分MPの長さを # を用いて表せ。
(y ) 三角形PQRの面積 3 を # を用いて表せ。
— g数4 一
— ERS 一
Tl. weera nico 4 点がある。
A\(-1-/3, -1-/3), B(1+/3, -1-/3)
Ci(1+キ73, 1+/3), D(-1-73, 1+73 )
正方形AjB,C」D」 の各辺AiB」, B,C, C.D), D,A」をそれぞれ 1 :73 に内分する
点をそれぞれA。, B。, Cx, D。とする。さらに, 自然数 x に対して正方形A。B。C。D。
D4DOWA,B,, BC。。 CD。。 DA。 を 1:ソ3 に内分する点をそれぞれ
Aus Brits Cons Di とする。このとき, 次の間(i)一(y)に答えよ。ただし, 答え
が分数の場合は分母は有理化すること。解答欄には, 答えだけでなく途中経過る書くこと。
(i) 3点A。。 By, C。の座標と 直線A。B。 と r 軸のなす角 g を求めよ。
REL, OSaS> EFS.
(ii) 2H As, B。の座梗と,直線AB。と 2 軸のなす角 B を求めよ。
REL, OSPST ETS.
(ii) 線分AiB」の長さ。線分A。B。 ORE, 線分AB。の長さをそれぞれ,ヵ, 9, 7 と
するとき, (2) と (4) を求めよ。
(iv) MOAB OLS s EFSLE, T を求めよ。
(v) 点D。の座標を求めよ。
ーE数6 一
【以下余白】
— ER? —
問4画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、図形・三角関数、確率・場合の数、整数、空間図形
2020年度
RS 5
Ka数 [Al 題
注 意
1 . 試験開始の指示があるまでこの問題冊子を開いてはいけません。
2. 解答用紙はすべてH Bの黒鉛筆またはH Bの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています。 HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督申し出てください。
(万年筆・ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません。)
3 . この問題冊子は12ページまでとなっています。 試験開始後、ただちにページ数を確
認してください。なお, 問題番号は 1 となっています。
4. 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, あなたの受験票の番号であ
るかどうかを確認してください。あなたの氏名を記入する必要はありません。
5 . 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません。
6. 解答用紙を破ったり, 傷つけたりしないように注意してください。
7 . 計算には, この問題冊子の余白部分を使ってください。
8. この問題冊子は持ち帰ってください。
as)
— K。数1 一
] . 下記の空間アーキには, あてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入し, また, 空
欄ク, ケには(y)にある選択肢1 一4の中から最も適切な番号を解答用紙の所定欄に記入
せよ。
(i) 7を実数とする。平面上のベクトル a, # lal =2, |b1=V5, 49ニ3 を
みたすとき, |ta+(1-1)bl t=L7 | のとき最小値 | イ | をとる。
(i) 三角形ABCにおいて, cosa = 2, cosB -2 であるとき, sinC = で
ある。
(ii) 等比数列 {a,} について, エ+エニョ L412 が成り立つとする。このと
a a ay a;
き。 (a) oats C=], 2 ows GE] でぁる。
(iv) 方程式 37z + 15y=1 の整数解 y。y について, z を15で割った余りは
CHD, y を 37 で割った余りは | キ | である。
(v) a を正の実数とし, x, y を実数とする。 x, y に関する条件 4, お を次で定める。
A:lalt+lylsa
太 : |zlミ1 mo lylS1
る ー 1 のとき, Atk B であるための | ク | 。g = 2 のとき, ALE B であるため
の[ ヶ |。
1. 必要条件であるが, 十分条件でない
2, 十分条件であるが, 必要条件でない
3. 必要十分条件である
4. 必要条件でも十分条件でもない
ー K。数2 一
— Ki数3 一
I 。 0を原点とする座標平面上を移動する点Pがある。はじめにPは0にあり, 1枚の
硬貨を投げるたびに次のルールにしたがってP が移動する。ただし, 硬貨を投げたときに
表が出る確率と裏が出る確率はそれぞれ ラ であるとする。
トレー ーー ーーーーーー
[ルレルール] :
BASH CRANES 2 軸の正の方向に 1 移動する。
BRET CHAM S y 軸の正の方向に 1 移動する。
n を自然数とする。硬貨を ヵ 回投げた後のPの位置を P,とする。また, P, が直線
yor 上にある確率を g。とする。このとき, 次の問(i)一(wi) に答えよ。解答は解答用
紙の所定欄に答えのみを記入すること。
CG) ay de の, の を求めよ。
(ii) daar を求めよ。
(年) day & ヵ を用いて表せ。
(iv) P』が直線ッーァ 上にあるとする。0, Pi, Pr t+, Py を順に結んでできる
折れ線と, CR yc とで囲まれた図形の面積を $ふ,。とする。$。 は Py,
Pon) OMB ko THES. MAI n=5 で, 点Pが下図のように移動した場合。
囲まれた図形とは図の斜線部分である。
このとき, S,。。の取り得る値の最大値 M と最小値 をそれぞれヵ を用いて表せ。
y
Py Pro
|| | | F
aa” @
vane
ロ
と ae
0 PF x
(v) M を(iy)で求めた最大値とする。P。が直線 ッ=ァ 上にあり, POS, =M T
ある確率を ヵ を用いて表せ。
(vi) m を(iv)で求めた最小値とする。 Py, が直線 ッニァ 上にあり, POS, =m T
ある確率を n を用いて表せ。
— K。数4 一
— KK数5 一
Tl. mx
flz)= (logs)? + Sloe #2 230)
について, MOM (i )~ (vi) CBA KL, MSM, 答えだけでなく 途中経過も書くこと。
(i) f(a) =0 となる x の値をすべて求めよ。
(ii) ア(z) を求めよ。 ;
(ii) f(x) 20 となる x の値の範囲を求めよ。
(ivy) f(a) の極大値と極小値をそれぞれ求めよ。
(v) (ii) で求めた x の値の範囲において, f(x) =0 となる > OE a LBS. EK,
f(x) が極大値をとる vx の値を り とおく。このとき, a と d の値を求め,
の
の値を求めよ。
(vi) f(x) の極大値を とおく。また, f(x) DEBRA (iii) で求めた範囲に制限した
関数を考え, その逆関数を の(r) とする。このとき,
f[ a(x) de
の値を求めよ。
— K。数6 一
ー Ks数7 一
RS 5
Ka数 [Al 題
注 意
1 . 試験開始の指示があるまでこの問題冊子を開いてはいけません。
2. 解答用紙はすべてH Bの黒鉛筆またはH Bの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています。 HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督申し出てください。
(万年筆・ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません。)
3 . この問題冊子は12ページまでとなっています。 試験開始後、ただちにページ数を確
認してください。なお, 問題番号は 1 となっています。
4. 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, あなたの受験票の番号であ
るかどうかを確認してください。あなたの氏名を記入する必要はありません。
5 . 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません。
6. 解答用紙を破ったり, 傷つけたりしないように注意してください。
7 . 計算には, この問題冊子の余白部分を使ってください。
8. この問題冊子は持ち帰ってください。
as)
— K。数1 一
] . 下記の空間アーキには, あてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入し, また, 空
欄ク, ケには(y)にある選択肢1 一4の中から最も適切な番号を解答用紙の所定欄に記入
せよ。
(i) 7を実数とする。平面上のベクトル a, # lal =2, |b1=V5, 49ニ3 を
みたすとき, |ta+(1-1)bl t=L7 | のとき最小値 | イ | をとる。
(i) 三角形ABCにおいて, cosa = 2, cosB -2 であるとき, sinC = で
ある。
(ii) 等比数列 {a,} について, エ+エニョ L412 が成り立つとする。このと
a a ay a;
き。 (a) oats C=], 2 ows GE] でぁる。
(iv) 方程式 37z + 15y=1 の整数解 y。y について, z を15で割った余りは
CHD, y を 37 で割った余りは | キ | である。
(v) a を正の実数とし, x, y を実数とする。 x, y に関する条件 4, お を次で定める。
A:lalt+lylsa
太 : |zlミ1 mo lylS1
る ー 1 のとき, Atk B であるための | ク | 。g = 2 のとき, ALE B であるため
の[ ヶ |。
1. 必要条件であるが, 十分条件でない
2, 十分条件であるが, 必要条件でない
3. 必要十分条件である
4. 必要条件でも十分条件でもない
ー K。数2 一
— Ki数3 一
I 。 0を原点とする座標平面上を移動する点Pがある。はじめにPは0にあり, 1枚の
硬貨を投げるたびに次のルールにしたがってP が移動する。ただし, 硬貨を投げたときに
表が出る確率と裏が出る確率はそれぞれ ラ であるとする。
トレー ーー ーーーーーー
[ルレルール] :
BASH CRANES 2 軸の正の方向に 1 移動する。
BRET CHAM S y 軸の正の方向に 1 移動する。
n を自然数とする。硬貨を ヵ 回投げた後のPの位置を P,とする。また, P, が直線
yor 上にある確率を g。とする。このとき, 次の問(i)一(wi) に答えよ。解答は解答用
紙の所定欄に答えのみを記入すること。
CG) ay de の, の を求めよ。
(ii) daar を求めよ。
(年) day & ヵ を用いて表せ。
(iv) P』が直線ッーァ 上にあるとする。0, Pi, Pr t+, Py を順に結んでできる
折れ線と, CR yc とで囲まれた図形の面積を $ふ,。とする。$。 は Py,
Pon) OMB ko THES. MAI n=5 で, 点Pが下図のように移動した場合。
囲まれた図形とは図の斜線部分である。
このとき, S,。。の取り得る値の最大値 M と最小値 をそれぞれヵ を用いて表せ。
y
Py Pro
|| | | F
aa” @
vane
ロ
と ae
0 PF x
(v) M を(iy)で求めた最大値とする。P。が直線 ッ=ァ 上にあり, POS, =M T
ある確率を ヵ を用いて表せ。
(vi) m を(iv)で求めた最小値とする。 Py, が直線 ッニァ 上にあり, POS, =m T
ある確率を n を用いて表せ。
— K。数4 一
— KK数5 一
Tl. mx
flz)= (logs)? + Sloe #2 230)
について, MOM (i )~ (vi) CBA KL, MSM, 答えだけでなく 途中経過も書くこと。
(i) f(a) =0 となる x の値をすべて求めよ。
(ii) ア(z) を求めよ。 ;
(ii) f(x) 20 となる x の値の範囲を求めよ。
(ivy) f(a) の極大値と極小値をそれぞれ求めよ。
(v) (ii) で求めた x の値の範囲において, f(x) =0 となる > OE a LBS. EK,
f(x) が極大値をとる vx の値を り とおく。このとき, a と d の値を求め,
の
の値を求めよ。
(vi) f(x) の極大値を とおく。また, f(x) DEBRA (iii) で求めた範囲に制限した
関数を考え, その逆関数を の(r) とする。このとき,
f[ a(x) de
の値を求めよ。
— K。数6 一
ー Ks数7 一
問5画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、確率・場合の数、図形・三角関数、整数、数列
2020年度
Kb 数 学 問 題
1. 試験開始の指示があるまでこの問題周子を開いてはいけません。
2 . 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはH Bの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています。 HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督申し出てください。
(万年筆・ボポールペン・サインペンなどを使用してはいけません。)
3. この問題弄子は 8 ページまでとなっています。 試験開始後, ただちにページ数を確
認してください。なお, 問題番号は 1 一胃となっています。
4. 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, あなたの受験票の番号であ
るかどうかを確認してください。あなたの氏名を記入する必要はありません。
5 . 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません。
6 . 解答用紙を破ったり, 傷つけたりしないように注意してください。
7 . 計算には, この間題民子の余白部分を使ってください。
8 . この問題貼子は持ち帰ってください。
|
7 — Kel 一
TL. 下記の空欄アーキには。 あてはまる数または式を解答用紙の所定に記入し, BH,
WD, ケには(v) にある選択肢1 一 4 の中から最も適切な番号を解答用紙の所定欄に記入
せよ。
(i) t を実数とする。 平面上のベクトル a, FW lal=2, Bl=V/5, 428=3を
みたすとき, lat (tbl ae= のとき最小値 | イ | をとる。
(i) 三角肛ABCにおいて, cosa =F, cosB -2@ であるとき, sinC = で ;
ある。
(ii) 等比数列 {a,} について, £4423, 上了上=2 が成り立つとする。このと
ar a as
き, {a,} oat C=], 2 4 の値は である。
(iv) 方程式 37z + 15y=1 の整数解 y。y について, z を15 で割った余りは
であり, y を 37 CHlo ERIE である。
(v) a を正の実数とし, x, y を実数とする。ヶ, y に関する条件 4, B を次で定める。
4:lzl+lylsz
ぢ:lzlミ1 かつ|ylミ1
Z ー 1 のとき, AB であるための | ク | 。 = 2 DEX, ALB であるため
のら[ヶ|。
1. 必要条件であるが, 十分条件でない
2, 十分条件であるが, 必要条件でない
3. 必要十分条件である
4. 必要条件でも十分条件でもない
— Ki数2 一
— Ki数3 一
TL. othe s see LA BHT SAP HSS. BUBEPKOKSD, 1枚の
硬貨を投げるたびに次のルールにしたがってPが移動する。ただし, 硬貨を投げたときに
表が出る確率と吾が出る確率はそれぞれ であるとする。
| [ルール] :
・硬貨を投げて表が出たら z 軸の正の方向に 1 移動する。 |
| ・硬貨を投げて裏が出たら y 軸の正の方向に 1 移動する。
n を自然数とする。硬貨を ヵ 回投げた後のPの位置を P。とする。また, P, が直線 」
yur 上にある確率を g。とする。このとき, 次の問(ij)一()に答えよ。解答は解答用
紙の所定欄に答えのみを記入すること。
(i) ay es Gay 94 を求めよ。
(it) を求めよ。
(iii) ay, & ヵ を用いて表せ。
(iv) Py, が直線ッニァ 上にあるとする。O, Pi, Py, ..., Py を順に結んでできる
折れ線と, 直線ゥニァ ECHEN*AMBOMME S, ETS. S, IEP, oo,
Poy; OMB Ko TEES. MA n=5 で, 点Pが下図のように移動した場合,
囲まれた図形とは図の終線部分である。
このとき, S, の取り得る値の最大値 7 と最小値 ヵ をそれぞれヵ を用いて表せ。
Bs
P, a
と a
Li
OP, £
(v) M €(iv) で求めた最大値とする。P。。 SHR y= 2 上にあり, かつ S,,=M で
ある確率を n を用いて表せ。
(vi) m & (iv) CROCMMBLETS. P, SHB y =x 上にあり, POS, =m で
ある確率を n を用いて表せ。
— KK数4 一
— Ki数5 一
TL. pe
7の gs + Hogs $2 (a >0)
について, WOR(i)~ (vi) に答えよ。解答欄には, 答えだけでなく途中経過も書くこと。
(i) 7(z) =0 となる x の値をすべて求めよ。
Gi) ア(z) を求めよ。
(ii) ア(z) 三0 となる x の値の範囲を求めよ。
(iv) F(a) の極大値と極小値をそれぞれ求めよ。
(y ) (ii) で求めた x の値の範囲において, f(z) =0 となる x OME a とおく。また,
F(x) が極大値をとる 2 の値を ) とおく。このとき, a と 5 の値を求め,
+
[irae
の値を求めよ。
(vi) F(x) の極大値を EBS. Ek, f(x) Oise Beale (iii) で求めた範囲に制限した
関数を考え, その逆関数を g(r) とする。このとき,
B
ier
h
の値を求めよ。
— Ks数6 一
【以下余白】
— Ki数7 一
Kb 数 学 問 題
1. 試験開始の指示があるまでこの問題周子を開いてはいけません。
2 . 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはH Bの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています。 HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督申し出てください。
(万年筆・ボポールペン・サインペンなどを使用してはいけません。)
3. この問題弄子は 8 ページまでとなっています。 試験開始後, ただちにページ数を確
認してください。なお, 問題番号は 1 一胃となっています。
4. 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, あなたの受験票の番号であ
るかどうかを確認してください。あなたの氏名を記入する必要はありません。
5 . 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません。
6 . 解答用紙を破ったり, 傷つけたりしないように注意してください。
7 . 計算には, この間題民子の余白部分を使ってください。
8 . この問題貼子は持ち帰ってください。
|
7 — Kel 一
TL. 下記の空欄アーキには。 あてはまる数または式を解答用紙の所定に記入し, BH,
WD, ケには(v) にある選択肢1 一 4 の中から最も適切な番号を解答用紙の所定欄に記入
せよ。
(i) t を実数とする。 平面上のベクトル a, FW lal=2, Bl=V/5, 428=3を
みたすとき, lat (tbl ae= のとき最小値 | イ | をとる。
(i) 三角肛ABCにおいて, cosa =F, cosB -2@ であるとき, sinC = で ;
ある。
(ii) 等比数列 {a,} について, £4423, 上了上=2 が成り立つとする。このと
ar a as
き, {a,} oat C=], 2 4 の値は である。
(iv) 方程式 37z + 15y=1 の整数解 y。y について, z を15 で割った余りは
であり, y を 37 CHlo ERIE である。
(v) a を正の実数とし, x, y を実数とする。ヶ, y に関する条件 4, B を次で定める。
4:lzl+lylsz
ぢ:lzlミ1 かつ|ylミ1
Z ー 1 のとき, AB であるための | ク | 。 = 2 DEX, ALB であるため
のら[ヶ|。
1. 必要条件であるが, 十分条件でない
2, 十分条件であるが, 必要条件でない
3. 必要十分条件である
4. 必要条件でも十分条件でもない
— Ki数2 一
— Ki数3 一
TL. othe s see LA BHT SAP HSS. BUBEPKOKSD, 1枚の
硬貨を投げるたびに次のルールにしたがってPが移動する。ただし, 硬貨を投げたときに
表が出る確率と吾が出る確率はそれぞれ であるとする。
| [ルール] :
・硬貨を投げて表が出たら z 軸の正の方向に 1 移動する。 |
| ・硬貨を投げて裏が出たら y 軸の正の方向に 1 移動する。
n を自然数とする。硬貨を ヵ 回投げた後のPの位置を P。とする。また, P, が直線 」
yur 上にある確率を g。とする。このとき, 次の問(ij)一()に答えよ。解答は解答用
紙の所定欄に答えのみを記入すること。
(i) ay es Gay 94 を求めよ。
(it) を求めよ。
(iii) ay, & ヵ を用いて表せ。
(iv) Py, が直線ッニァ 上にあるとする。O, Pi, Py, ..., Py を順に結んでできる
折れ線と, 直線ゥニァ ECHEN*AMBOMME S, ETS. S, IEP, oo,
Poy; OMB Ko TEES. MA n=5 で, 点Pが下図のように移動した場合,
囲まれた図形とは図の終線部分である。
このとき, S, の取り得る値の最大値 7 と最小値 ヵ をそれぞれヵ を用いて表せ。
Bs
P, a
と a
Li
OP, £
(v) M €(iv) で求めた最大値とする。P。。 SHR y= 2 上にあり, かつ S,,=M で
ある確率を n を用いて表せ。
(vi) m & (iv) CROCMMBLETS. P, SHB y =x 上にあり, POS, =m で
ある確率を n を用いて表せ。
— KK数4 一
— Ki数5 一
TL. pe
7の gs + Hogs $2 (a >0)
について, WOR(i)~ (vi) に答えよ。解答欄には, 答えだけでなく途中経過も書くこと。
(i) 7(z) =0 となる x の値をすべて求めよ。
Gi) ア(z) を求めよ。
(ii) ア(z) 三0 となる x の値の範囲を求めよ。
(iv) F(a) の極大値と極小値をそれぞれ求めよ。
(y ) (ii) で求めた x の値の範囲において, f(z) =0 となる x OME a とおく。また,
F(x) が極大値をとる 2 の値を ) とおく。このとき, a と 5 の値を求め,
+
[irae
の値を求めよ。
(vi) F(x) の極大値を EBS. Ek, f(x) Oise Beale (iii) で求めた範囲に制限した
関数を考え, その逆関数を g(r) とする。このとき,
B
ier
h
の値を求めよ。
— Ks数6 一
【以下余白】
— Ki数7 一
問6画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、整数、数列、確率・場合の数、空間図形
2020年度
A 数 学 問 題
注 意
1 . 試験開始の指示があるまでこの問題冊子を開いてはいけません。
2 . 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています。 HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください。
(万年筆・ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません。)
3. この問題冊子は 8 ページまでとなっています。 試験開始後,。ただちにページ数を確
認してください。なお, 問題番号は 1 一上となっています。
（続きは問題PDFで確認できます）
A 数 学 問 題
注 意
1 . 試験開始の指示があるまでこの問題冊子を開いてはいけません。
2 . 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています。 HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください。
(万年筆・ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません。)
3. この問題冊子は 8 ページまでとなっています。 試験開始後,。ただちにページ数を確
認してください。なお, 問題番号は 1 一上となっています。
（続きは問題PDFで確認できます）