早稲田大学 2006年度 過去問・解答

早稲田大学 政治経済学部 2006年度 数学の全問解説です。問1〜問4の全4題11小問。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる検算（軌跡の等距離条件を格子点で確認・面積を80万点のモンテカルロで確認・問2は1から8の順列40320通りを全列挙して規則を満たすものを数える・二項係数を素数ごとに全数チェック・四面体の係数を数値ベクトルで確認） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 政治経済学部らしく、記述と数え上げの比重が大きい構成です。問1は空欄補充ですが、問2〜問4は「列挙せよ」「示せ」「証明も与えよ」と、答えだけでは点にならない設問が並びます。手を動かして書ききる練習が必要な出題です。
• 問2が実質的な山場です。規則が3つあり、どれも「次の要素の偶奇を1つ前の組が決める」という連鎖になっています。規則を自分の言葉に翻訳できるかどうかで、樹形図が書けるかが決まります。翻訳さえできれば作業量は多くありません。
• 問3はフェルマーの小定理の証明の骨格そのものです。(2) の「 が で割り切れる」と (3) の二項展開を合わせると 、これを繰り返せば が出ます。誘導に乗るだけで有名定理にたどり着く、教育的な問題です。

問1　x軸と円から等距離にある点の軌跡と面積

【まず円を整理する】　 は と変形できるので、中心 、半径 の円です。いちばん下の点が原点なので、この円は原点で 軸に接しています。この「接している」という事実が問題全体の鍵になります。

［ア］曲線

【型】点と円の距離は「中心までの距離 半径」（外部のとき）。等距離の条件をそのまま式にする。

【なぜこうするか】　点 P が円の外部にあるとき、P から円までの最短距離は中心を通る直線に沿った長さ、つまり 「中心までの距離」から半径を引いたもの です。一方 軸までの距離は 。
で P が円の外部という場合を式にすると、根号の中がうまく打ち消し合って放物線が出ます。「定点からの距離＝定直線までの距離」が放物線になるのと同じ仕組みで、ここでは「円までの距離」が「中心までの距離 」に化けるので、結局は焦点 と準線 の放物線になっています。

［イ］半直線

【型】円がからむ距離の問題は、点が円の外部・内部のどちらにあるかで式が変わる。両方調べる。

【なぜこうするか】　［ア］では「外部かつ 」しか調べていません。内部の場合と、 の場合が残っています。
内部なら円までの距離は 半径から「中心までの距離」を引いたもの。これを と等しいとおくと になり、 軸上の線分が出てきます。 の側でも同じ計算で が出ます。つないでみると1本の半直線になります。

［ウ］曲線 と直線 が囲む部分のうち、円の外部の面積

【型】まず全体の面積を積分で出し、そこから円と重なる部分（弓形）を引く。弓形＝扇形 三角形。

【なぜこうするか】　放物線と直線で囲む部分は普通に積分できます。問題は円と重なる部分ですが、放物線は円の外部にある（原点で接するだけ）ので、重なるのは「円の内部で直線 より下の部分」だけです。
直線 は円を2点 、 で切ります。この弦で切り取られる小さい方の弓形がちょうど引くべき部分。中心から弦までの距離を計算すると中心角が と分かるので、弓形は「4分円 直角二等辺三角形」で出せます。

検証：領域 かつ円の外部という条件で80万点のモンテカルロ積分を行い を得ました（）。

問2　規則で作る順列の数え上げ

【規則を自分の言葉に翻訳する】　 は奇数全体、 は偶数全体なので、規則は次のように読み替えられます。この翻訳ができれば、あとは樹形図の作業です。

• (ii)　各組は「奇数1つ・偶数1つ」のペアになる（前が奇なら後は偶、前が偶なら後は奇）。
• (iii)　組の中の大きい方の数の偶奇が、次の組の先頭の偶奇を決める。

つまり、決めるべきなのは「各組をどの2数にするか」と「組の中の順序」で、次に来る数の偶奇は前の組が自動的に決めてしまう、という構造です。

(1) の列挙

【型】残っている数を書き出し、偶奇の指定に従って前から順に枝を分ける。

【なぜこうするか】　使われていない数は の3つだけです。 は偶数なので、(ii) より は奇数、つまり か 。この2通りで枝分かれし、それぞれで組 の大きい方が の偶奇を決めます。残りは1つしかないので は自動的に決まります。

(2) をみたす順列の個数

【型】末尾の指定は「1つ前の偶奇」に翻訳してから、先頭から枝を伸ばす。

【なぜこうするか】　 は偶数なので、(ii) から は奇数だと分かります。この情報を先に取り出しておくのが要点で、これが枝を大きく刈り込みます。
組 の大きい方は （偶数）なので は偶数。使える偶数は （ は末尾で使用済み）。あとは （奇数）を選び、 の大きい方で の偶奇が決まる…と順に降ろしていきます。最後に「 が奇数」という条件を満たすかどうかで、枝が生き残るか決まります。

(3) をみたす順列の個数

【型】枝の数が途中でどう変わるかを見て、「各段で何通りずつか」が一定なら掛け算にまとめる。

【なぜこうするか】　(2) と違って末尾の指定がないので、途中で枝が枯れることがありません。実際、組を1つ決めるたびに偶数1つと奇数1つが消えるので、残りはつねに「偶数と奇数が同数」です。だから次の組の先頭の偶奇がどちらに決まっても、必ずその偶奇の数が残っています。
この構造に気づけば、 の決め方が9通り、 の決め方が（どの枝でも）4通り、 は残り物で1通り、と掛け算にまとめられます。

検証：1から8までの順列 通りをPythonですべて生成し、規則 (ii)(iii) をみたすものを数えたところ全部で1152通りでした。そのうち (1) の条件をみたすものは2通り（）、(2) は8通り、(3) は36通りで、上の結果と一致します。

問3　二項係数と素数

(1) が で割り切れる条件

【型】割り切れる条件は、実際に割った商が整数になる条件に言い換える。

【なぜこうするか】　 なので、これを で割ると というきれいな形になります。あとはこれが整数になる条件を書けばよいだけです。
「必要十分条件を求めよ」なので、逆も成り立つことまで確かめておきます。

(2) が で割り切れることの証明

【型】分数のままでは扱えないので、 とおいて分母を払い、素因数 がどこにあるかを追う。

【なぜこうするか】　 の分子には素因数 が含まれています。一方、 かつ なので、 にも にも は現れません（ は素数なので、 より小さい数の積が の倍数になることはない）。
そこで とおいて と分母を払えば、左辺にある素因数 は右辺のどこかになければならず、 と にはないのだから にあるしかない、と結論できます。

(3) が で割り切れることの証明

【型】 は二項定理で展開する。両端の項が引かれる項とちょうど打ち消し合う。

【なぜこうするか】　 を二項展開すると、先頭が 、末尾が です。引かれている と がこの両端をちょうど消してくれるので、残るのは の項だけ。その係数は全部 であり、(2) からすべて の倍数です。
設問の並びが (2) → (3) になっているのは、この使い方をさせるためです。

補足：この (3) を と順に使うと が繰り返し使えて 、すなわちフェルマーの小定理が示せます。問3全体がその証明の骨組みになっています。

検証： 未満のすべての素数 と について が で割り切れることを、また同じ と について が で割り切れることをPythonで全数確認しました（反例なし）。(1) も で「 が奇数」と一致することを確かめています。

問4　四面体とベクトル

(1) と

【型】点が平面 ABC 上にある の係数の和が1。

【なぜこうするか】　内分点と中点を順に式にすれば は機械的に出ます。
Q は直線 OP 上なので と書け、さらに平面 ABC 上にあります。「平面 ABC 上 係数の和が1」を使えば が1つに決まります。O から見て同じ向きなので、長さの比はそのまま です。