藤原進之介です。このページでは青山学院大学2017年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
今日の一問
曲線 と直線 で囲まれた部分の面積を求めよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
青山学院大学2017年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。
Ⅰ α² − 5α − 1 = 0 から高次の値を求める
α > 0 が α² − 5α − 1 = 0 を満たすとき、α − 1/α、α² + 1/α²、α + 1/α などの値を求めます。
α − 1/α を求める（両辺を α で割る）
α² − 5α − 1 = 0 の両辺を α（≠ 0）で割ります。
α − 5 − 1/α = 0 ⇔ α − 1/α = 5
この「両辺を α で割る」という一手がすべての出発点です。
α² と定数項 −1 が、割ることで α と −1/α に化ける — 2次方程式の定数項が ±1 のときにこの技が使えます。以降、α の値そのもの（(5+√29)/2 という無理数）を一切使わずに済みます。
α² + 1/α² を求める
(α − 1/α)² = α² − 2·α·(1/α) + 1/α² = α² − 2 + 1/α² なので
α² + 1/α² = (α − 1/α)² + 2 = 5² + 2 = 27
α + 1/α を求める
(α + 1/α)² = α² + 2·α·(1/α) + 1/α² = (α² + 1/α²) + 2 なので
(α + 1/α)² = 27 + 2 = 29
α > 0 より 1/α > 0 なので α + 1/α > 0。したがって
α + 1/α = √29
答 α − 1/α = 5、α² + 1/α² = 27、α + 1/α = √29
検算：α = (5 + √29)/2 ≒ 5.1926 として数値計算しました。
α − 1/α = 5.000000 ✓ α² + 1/α² = 27.000000 ✓ (α + 1/α)² = 29.000000 ✓ α + 1/α = 5.385165 = √29 ✓
すべて一致しています。
この年の学習ポイント
この問題の主題は「α の値を求めずに、α の式の値を求める」ことです。
実際 α = (5 + √29)/2 という無理数ですが、これを代入すると計算が煩雑になります。代わりに使うのが次の関係です。
(α ± 1/α)² = α² + 1/α² ± 2
この1本の式を、+ と − で使い分けるだけで、次のように行き来できます。
| 知っている値 | 求まる値 | 関係 |
|---|---|---|
| α − 1/α | α² + 1/α² | 2乗して +2 |
| α² + 1/α² | α + 1/α | +2 して√（符号に注意） |
| α + 1/α | α³ + 1/α³ | 3乗して −3(α + 1/α) |
符号の ±2 は、展開したときの中央項 2·α·(1/α) = 2 から来ています。毎回展開して確かめれば間違えません。
最後に α > 0 という条件で √29 の符号を確定させる — この吟味を忘れないでください。α + 1/α = ±√29 のうち、正のほうだけが答えです。
青山学院大学2017年度は学部・日程ごとに複数の問題が出題されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。
青山学院大学 数学 過去問｜他の年度を見る
青山学院大学の数学の過去問は31年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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問題PDFをテキストでも確認
青山学院大学 2017年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 確率・場合の数
- 図形・三角関数
- 整数
- 方程式・不等式
- 指数・対数
- ベクトル
- 関数・グラフ
- 空間図形
この年度の出題範囲と傾向
2017年度の問題PDFでは、確率・場合の数、図形・三角関数、整数、方程式・不等式、指数・対数に関する語句や設問を確認できました。青山学院大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、関数・グラフは29年度、微分・積分は29年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、方程式・不等式
2017年度 S1
L 問題は全部で5輝あり, MPAA ORAS SHUT 12 ページである
2. 解答用紙に氏名・受験番号を忘れずにた記入すること. (RRL, マーク・シー
トにはあらかじめ受験番号がプリントされている. )
3. 解答はすべて解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の柚以外に記入き
れたものは採点の対象としない.
4 問題3. 4, 5の解答については, 論述なしで結果だけ記しても, 正解とはみな
Sau,
5. RET ORASAMAAAL CLD, どのページも切り離してはならない.
6. 解答用区はすべて必ず提出すること. 問題周子は持ち帰ってよい.
マーク・シート記入上の注意については, この問題李子の裏表欧に記載されている
ので試験開始までに確認すること. ただし, 冊子を開いてはならない.
(at @ AR AD
amy eee
Gt & A&E)
mt をam
解和を解管用紙(その1)に記入せよ
eを2 次方程式 ーー5ァ一1テ0 の正の解とする. このとき
< a
である. Lot
EEロロ
@
となる. これから,
i 1
riEIEIIEGEgEIMIE
となる.
ーョー
(計算用余白
ete NR
解和を解答用紙(その 1 )に記入せよ。
Bae 40 yy。 m の9 個の文字がある. この中から6 個を続けて
選んで, 選んだ順に左から並べる.
1) ao y, a m aと並ぶ確率は ーー である.
(2) BARE MINCH SHEE 四四| 種類である確率は
回回
回回 回回
= , 4種類である確率は Ee cha.
lglz]
as
(計算用余白]
ーー 1 ae
L 問題は全部で5輝あり, MPAA ORAS SHUT 12 ページである
2. 解答用紙に氏名・受験番号を忘れずにた記入すること. (RRL, マーク・シー
トにはあらかじめ受験番号がプリントされている. )
3. 解答はすべて解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の柚以外に記入き
れたものは採点の対象としない.
4 問題3. 4, 5の解答については, 論述なしで結果だけ記しても, 正解とはみな
Sau,
5. RET ORASAMAAAL CLD, どのページも切り離してはならない.
6. 解答用区はすべて必ず提出すること. 問題周子は持ち帰ってよい.
マーク・シート記入上の注意については, この問題李子の裏表欧に記載されている
ので試験開始までに確認すること. ただし, 冊子を開いてはならない.
(at @ AR AD
amy eee
Gt & A&E)
mt をam
解和を解管用紙(その1)に記入せよ
eを2 次方程式 ーー5ァ一1テ0 の正の解とする. このとき
< a
である. Lot
EEロロ
@
となる. これから,
i 1
riEIEIIEGEgEIMIE
となる.
ーョー
(計算用余白
ete NR
解和を解答用紙(その 1 )に記入せよ。
Bae 40 yy。 m の9 個の文字がある. この中から6 個を続けて
選んで, 選んだ順に左から並べる.
1) ao y, a m aと並ぶ確率は ーー である.
(2) BARE MINCH SHEE 四四| 種類である確率は
回回
回回 回回
= , 4種類である確率は Ee cha.
lglz]
as
(計算用余白]
ーー 1 ae
問2画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、整数
2017年度 8の2
1. 問題は全部で5題あり, 玉子は計算用の余白もあわせて 12 ページである.
2. 解答用紙に氏名・受験番号を忘れずに記入すること. (ただし, マータク・シー
トにはあらかじめ受験番号がプリントされている.)
3. 解答はすべて解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の欄以外に記入き
れたものは採点の対象としない.
4. 問題3. 4, 5の解答については, 論述なしで粘果だけ記しても, 正解とはみな
Seu.
5. MMF ORAS MAMA LTL A, どのページも切り離してはならない.
6. 解答用紙はすべて必ず提出すること. 問題恒子は持ち帰ってよい.
マーク・シート記入上の注意については, COMBAFORRMCRRAN TOS
ので試験開始までに確認すること. KEL, 隔子を開いてはならない.
Git 4 A & B)
ーやギー
(計算用余白]
と= 32 ty
| 1 | を角衝紙(その1)に記入せよ.
ex
m—n?-5m—n+18=0 EC
を満たす自然数の組 (ww ) について考える.1は
(m+0-[1])(m-»-[2])=-[2]4]
と変形できるので, BRIO (m,n) は
() ©). GE). Ct Le)
に限ら入る、ここで, | 5 | <| 7 | <| 9 jamomovorsa,
ーー
Gt & A&B)
ce a ee
[2] 多和を名和用紙(その1)に記入せよ.
HSMM, 1 個が 1分後に0。 1, 2 個のいずれかになり, その確率はすべ
て等しく -二 であるという ER, EUOCAMM ACH), COMMA
SBS, 各細上は他と無関係に変化するものとする.
1) この細菌が 2 分後に 1 個になる確率は, 1 分後に1 個である場合と 2 個であ
る場合に分けて考えると. 上| となる. WBC, 2分後に 2個になる
稚率は ES, 3個になる稚率は ーー 4 個になる確率は
ーー である.
(2) COMMA 3 分後に 6 個になる確率は ーーにーー CHS.
回回回図
ne Be
Ct #8 & AD
se gg as
1. 問題は全部で5題あり, 玉子は計算用の余白もあわせて 12 ページである.
2. 解答用紙に氏名・受験番号を忘れずに記入すること. (ただし, マータク・シー
トにはあらかじめ受験番号がプリントされている.)
3. 解答はすべて解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の欄以外に記入き
れたものは採点の対象としない.
4. 問題3. 4, 5の解答については, 論述なしで粘果だけ記しても, 正解とはみな
Seu.
5. MMF ORAS MAMA LTL A, どのページも切り離してはならない.
6. 解答用紙はすべて必ず提出すること. 問題恒子は持ち帰ってよい.
マーク・シート記入上の注意については, COMBAFORRMCRRAN TOS
ので試験開始までに確認すること. KEL, 隔子を開いてはならない.
Git 4 A & B)
ーやギー
(計算用余白]
と= 32 ty
| 1 | を角衝紙(その1)に記入せよ.
ex
m—n?-5m—n+18=0 EC
を満たす自然数の組 (ww ) について考える.1は
(m+0-[1])(m-»-[2])=-[2]4]
と変形できるので, BRIO (m,n) は
() ©). GE). Ct Le)
に限ら入る、ここで, | 5 | <| 7 | <| 9 jamomovorsa,
ーー
Gt & A&B)
ce a ee
[2] 多和を名和用紙(その1)に記入せよ.
HSMM, 1 個が 1分後に0。 1, 2 個のいずれかになり, その確率はすべ
て等しく -二 であるという ER, EUOCAMM ACH), COMMA
SBS, 各細上は他と無関係に変化するものとする.
1) この細菌が 2 分後に 1 個になる確率は, 1 分後に1 個である場合と 2 個であ
る場合に分けて考えると. 上| となる. WBC, 2分後に 2個になる
稚率は ES, 3個になる稚率は ーー 4 個になる確率は
ーー である.
(2) COMMA 3 分後に 6 個になる確率は ーーにーー CHS.
回回回図
ne Be
Ct #8 & AD
se gg as
問3画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、関数・グラフ
2017年度 RA
1. 開是は全部で4 SO, 司子は計算用の余白もあわせて 10 ページである.
2. 解答用紙に氏名・受験番号を忘れずに記入すること. (ただし, マーク・シー
トにはあらかじめ受験番号がプリントされている.)
3. 解答は解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の欄以外に記入きれたも
のは採点の対象としない.
4. 問題3. 問題4の解答については. 答述なしで結果だけ記しても., 正解とは見
なさきない.
5. 解答用紙は必ず提出すること, MRT SoTL,
マーク・シート記入上の注意については。 この問題菩子の裏表紙に記載されている
ので試験開始までに確認するごと. ただし, 冊子を開いてはならない.
Gt © A&B)
au fas
Gt & BO & A)
so Be oo
[1] seemammzo 1)に記入せよ.
1から 8 までの数字の守かれた8 枚のカードの超が2組ある. THEA BE
FB. Aの起から 3%, B の組から 2 枚を勝補選び出したとき, OMIA
im,
() BAOBALA— FOREMZO“LG, Aから選んだカードの数字のうち
の2つに一致する確率は 上上] である.
(の Bから選んだカードの数字の1つだけが, Aから選んだカードの数のう
ちの 1 つに一致する確率は =革=生 である.
Lol]
ーー
(軒算用余白
4 st ay
解答を解答用紙(その 1 ) に記入せよ.
回回
3次関数7C)ニ4ダキデー4z はォー ーーゴー ce SES を
a
bp = et omit 回 をとる.
ーー
(at Bm ae A)
ーー
1. 開是は全部で4 SO, 司子は計算用の余白もあわせて 10 ページである.
2. 解答用紙に氏名・受験番号を忘れずに記入すること. (ただし, マーク・シー
トにはあらかじめ受験番号がプリントされている.)
3. 解答は解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の欄以外に記入きれたも
のは採点の対象としない.
4. 問題3. 問題4の解答については. 答述なしで結果だけ記しても., 正解とは見
なさきない.
5. 解答用紙は必ず提出すること, MRT SoTL,
マーク・シート記入上の注意については。 この問題菩子の裏表紙に記載されている
ので試験開始までに確認するごと. ただし, 冊子を開いてはならない.
Gt © A&B)
au fas
Gt & BO & A)
so Be oo
[1] seemammzo 1)に記入せよ.
1から 8 までの数字の守かれた8 枚のカードの超が2組ある. THEA BE
FB. Aの起から 3%, B の組から 2 枚を勝補選び出したとき, OMIA
im,
() BAOBALA— FOREMZO“LG, Aから選んだカードの数字のうち
の2つに一致する確率は 上上] である.
(の Bから選んだカードの数字の1つだけが, Aから選んだカードの数のう
ちの 1 つに一致する確率は =革=生 である.
Lol]
ーー
(軒算用余白
4 st ay
解答を解答用紙(その 1 ) に記入せよ.
回回
3次関数7C)ニ4ダキデー4z はォー ーーゴー ce SES を
a
bp = et omit 回 をとる.
ーー
(at Bm ae A)
ーー
問4画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、図形・三角関数、ベクトル
2017年度 Re
1. 問題は全部で5題あり, 二子は計算用の余白もあわせて 12 ページである.
2. 解答用紙に氏名・受験番号を忘れずに記入すること. (ただし, マータク・シー
トにはあらかじめ受験番号がプリントされている. }
3. 解答は解答用門の指定された竹に記入すること. 指定の欄以外に記入きれたも
のは採点の対象としない.
4. 問題3. 4, 5の解答については, 論述なしで結果だけ記しても, 正解とは見な
さきない.
5. 問題括子の余白等は適宜利用してよいが, どのページも切り離してはならない.
6. 解答用紙はすべて必ず提出すること. 問題同子は持ち帰ってよい.
マーク・シート記入上の注意については, この問題博子の裏表紙に記載されている
ので試験開始までに確認すること. ただし, 冊子を開いてはならない-
Gt A&R AD
ーュー
Gt & A & A)
ーター
[1] 和を和紙(その1)に記入せよ
袋の中に, 1から7 までの数字および記号? を記入したカードがそれぞれ1
枚。 計8枚入っている. これを使って, 育さんと学さんが次のゲームを行う.
まず, 青きさんが袋の中からカードを2 枚続けて引き, その2 枚を左から並べて
作った2杵の数を寄さんの得点とする 次に, 青きさんが引いた 2 枚のカードを袋
に戻さずに, 学さんがカードを 2 枚続けて引き, その2 枚を左から並べて作った
2 桁の数を学きんの得点とする. REL, どちらかが|? | を引いた場合 2 人が
引き終わった後。最後に袋に残った4 枚のカードのうち一番数字の大きいものと
取り換える. 例えはば, 青きんが| [2|と引き。学きんが[7| [lesen
a. 青さんの得点は62, 学さんの得点は 71 となる.
(青きんが|6| Peewee, 学さんの得点が偶数となる確率は
LE]*cぁs.
(9 青きんが|6|. [| と引いたとき, 学きんの得記が偶数となる確率は
回回還
(a) 青きんが[6|], [5] と引いたとき, 学さんの得点が青きんの得点より大きく
aomaa[s [6 |%でぁる.
ただし, 確率のパーセント表示は小数点以下を四捨五入し, また1 格の結果が
香られた場合は 十の仁に0を神うこと。 GRE, 証一0076...を得た場合
7.6... %なので 08" ESAS.
(計算用余四
1 ュー
角答を解答用紙(その 1 ) に記入せよ.
/を O<E<1 を漠たす実数とする。 三角形0ABに対し. 辺0Aをユー
に内分する点をC, WARS t:1—-t に内分する点をD, 辺BOをユールに
内分する点をとする. SOK, MCD E /:ユー7 に内分する点をE. MT
DE® t:1-t に内分する点を G とする.
Q) t= のとき, ペクトルOFをペクトルGA。 0を用いて表すと。
. Tl. —
Sa ina Ci .
2) t= のとき, ペクトル0G をベクトルOA OB を用いて表すと
a wz, [Eles
06 = SS OA + === OB
(3) 直線FG が 三角形の辺 0 と平行になるのは。? t= SS のときである.
(4) 直線FG が, 三角形の辺 AB と平行になるのは, t= == のときである.
ーーュー
(i BOA & A)
ーs 一
1. 問題は全部で5題あり, 二子は計算用の余白もあわせて 12 ページである.
2. 解答用紙に氏名・受験番号を忘れずに記入すること. (ただし, マータク・シー
トにはあらかじめ受験番号がプリントされている. }
3. 解答は解答用門の指定された竹に記入すること. 指定の欄以外に記入きれたも
のは採点の対象としない.
4. 問題3. 4, 5の解答については, 論述なしで結果だけ記しても, 正解とは見な
さきない.
5. 問題括子の余白等は適宜利用してよいが, どのページも切り離してはならない.
6. 解答用紙はすべて必ず提出すること. 問題同子は持ち帰ってよい.
マーク・シート記入上の注意については, この問題博子の裏表紙に記載されている
ので試験開始までに確認すること. ただし, 冊子を開いてはならない-
Gt A&R AD
ーュー
Gt & A & A)
ーター
[1] 和を和紙(その1)に記入せよ
袋の中に, 1から7 までの数字および記号? を記入したカードがそれぞれ1
枚。 計8枚入っている. これを使って, 育さんと学さんが次のゲームを行う.
まず, 青きさんが袋の中からカードを2 枚続けて引き, その2 枚を左から並べて
作った2杵の数を寄さんの得点とする 次に, 青きさんが引いた 2 枚のカードを袋
に戻さずに, 学さんがカードを 2 枚続けて引き, その2 枚を左から並べて作った
2 桁の数を学きんの得点とする. REL, どちらかが|? | を引いた場合 2 人が
引き終わった後。最後に袋に残った4 枚のカードのうち一番数字の大きいものと
取り換える. 例えはば, 青きんが| [2|と引き。学きんが[7| [lesen
a. 青さんの得点は62, 学さんの得点は 71 となる.
(青きんが|6| Peewee, 学さんの得点が偶数となる確率は
LE]*cぁs.
(9 青きんが|6|. [| と引いたとき, 学きんの得記が偶数となる確率は
回回還
(a) 青きんが[6|], [5] と引いたとき, 学さんの得点が青きんの得点より大きく
aomaa[s [6 |%でぁる.
ただし, 確率のパーセント表示は小数点以下を四捨五入し, また1 格の結果が
香られた場合は 十の仁に0を神うこと。 GRE, 証一0076...を得た場合
7.6... %なので 08" ESAS.
(計算用余四
1 ュー
角答を解答用紙(その 1 ) に記入せよ.
/を O<E<1 を漠たす実数とする。 三角形0ABに対し. 辺0Aをユー
に内分する点をC, WARS t:1—-t に内分する点をD, 辺BOをユールに
内分する点をとする. SOK, MCD E /:ユー7 に内分する点をE. MT
DE® t:1-t に内分する点を G とする.
Q) t= のとき, ペクトルOFをペクトルGA。 0を用いて表すと。
. Tl. —
Sa ina Ci .
2) t= のとき, ペクトル0G をベクトルOA OB を用いて表すと
a wz, [Eles
06 = SS OA + === OB
(3) 直線FG が 三角形の辺 0 と平行になるのは。? t= SS のときである.
(4) 直線FG が, 三角形の辺 AB と平行になるのは, t= == のときである.
ーーュー
(i BOA & A)
ーs 一
問5画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、方程式・不等式
(1) 次の写生分を求めよ。
中
UE
2) 平面よの平行四辺形であって, その頂点のうち3個が(0.0) (3, 1),
(2 3)であるものを考える. このときもう 1つの頂点の取り方は3通りある
が。そのうち第1象限 第2象限 第4象限にある点をそれをぞれAB.Cと
+a. envomma((s], |4]).p(-|5| fe).
c([7]. -[2]) cas. 三角肛 ABCの辺BAと BCのなす角度を9とす
ると
ony = AES)
cH), 三角形ABCの面積ほ| ig | 13] でる.
(9 不等式
ogy (x) tows >2
の解は
回図員回回
ーー
lgll
であぁ.
ーョュー
(計算用余白〕
wee i ame
解答を解答用交(その 2 )の[| 2 | MCBACS.
ある工場では製品 X. Y を製造している. それらを製造するためには原料 A,
B が必要で製品XYをTe親造するために放要な原料の量と。 BOLO
H, 1 ke ELBE CH ONSAMA FORO CHS. たとえばXを
1 kg 製造するためには原料Aは4keg, 原料Bは2kg必要である. また1kgあ
たりの利益はX.。Yそれぞれ5万円, ヵ万円である. ただしヵは正の実数であ
る.
BAX, Yをそれぞれぇkg ァk製税し販売するとき。 KOMICER A RE
Lx20, ゅ0とする.
トー ms | mas |)
[atone [aie
() (a, y) OS EERO LIBRE 2,
(2) RUkSke ty EHAITS x, 9 BARE,
(9) BARE Sx + py ORKUCE RD ,
ーーュー
(計算用余白
ー6 一
中
UE
2) 平面よの平行四辺形であって, その頂点のうち3個が(0.0) (3, 1),
(2 3)であるものを考える. このときもう 1つの頂点の取り方は3通りある
が。そのうち第1象限 第2象限 第4象限にある点をそれをぞれAB.Cと
+a. envomma((s], |4]).p(-|5| fe).
c([7]. -[2]) cas. 三角肛 ABCの辺BAと BCのなす角度を9とす
ると
ony = AES)
cH), 三角形ABCの面積ほ| ig | 13] でる.
(9 不等式
ogy (x) tows >2
の解は
回図員回回
ーー
lgll
であぁ.
ーョュー
(計算用余白〕
wee i ame
解答を解答用交(その 2 )の[| 2 | MCBACS.
ある工場では製品 X. Y を製造している. それらを製造するためには原料 A,
B が必要で製品XYをTe親造するために放要な原料の量と。 BOLO
H, 1 ke ELBE CH ONSAMA FORO CHS. たとえばXを
1 kg 製造するためには原料Aは4keg, 原料Bは2kg必要である. また1kgあ
たりの利益はX.。Yそれぞれ5万円, ヵ万円である. ただしヵは正の実数であ
る.
BAX, Yをそれぞれぇkg ァk製税し販売するとき。 KOMICER A RE
Lx20, ゅ0とする.
トー ms | mas |)
[atone [aie
() (a, y) OS EERO LIBRE 2,
(2) RUkSke ty EHAITS x, 9 BARE,
(9) BARE Sx + py ORKUCE RD ,
ーーュー
(計算用余白
ー6 一
問6画像OCR
検出分野: 整数、図形・三角関数、方程式・不等式
(1) 100 人の生徒のなかで, 数学の得意な生徒が62 人, 英語の得意な生徒が71
Ans, 才学と英語の両方が和意な生徒は。 少なくとも| 1 | 2 | 人であり
最大で| 3 | * | 人でぁぁ.
(20 ety ben? 2MeF 1 DbOMMOA (x,y, 2) は, 全部で| 5 | 6 |
通りある それらのうち。 ラッ を満たすものは。 全部で| 7 |通りある
@ 次の| 8 [|に当てはまるものを Poa, d, c, dのうちから朋
oy
の p, qQeRBLTS. pi—4q B08, QRABR ot pe tq a0
sna 2つの実数解をもっための| 8 |
@) きいころを2 回拉げるとき, 1 回目に 6 の目が出ることは 出た目の和が
1であるための| 9 |
O) ャァを実状とする、 デキ 人る1 は。 メキテマ2 であるための| 10 |
人 3つの自然数/、w、ぁの積が庁数であることは, 2 m, がすべて奇
条であるための| 1
a 必要二分条件である.
b 必要条件であり, 十分条件でない.
。 必要条件でなく, 十分条件である.
d 必要条件でなく. 十分条件でない.
ーー
(計算用余白
an
MEME (ZO 2) 0 2 MICHAL.
次の問に答えよ.
Q) az B2RBOA, PEBSRRONLTS. sine=—%, sing=—2
DER, at 2 は第何彰限の角か.
(2) 756 の正の約数の個数を求めよ. また, それら正の約数すべての和を求め
よ.
ーーュー
GH OD a AD
ーs 一
Ans, 才学と英語の両方が和意な生徒は。 少なくとも| 1 | 2 | 人であり
最大で| 3 | * | 人でぁぁ.
(20 ety ben? 2MeF 1 DbOMMOA (x,y, 2) は, 全部で| 5 | 6 |
通りある それらのうち。 ラッ を満たすものは。 全部で| 7 |通りある
@ 次の| 8 [|に当てはまるものを Poa, d, c, dのうちから朋
oy
の p, qQeRBLTS. pi—4q B08, QRABR ot pe tq a0
sna 2つの実数解をもっための| 8 |
@) きいころを2 回拉げるとき, 1 回目に 6 の目が出ることは 出た目の和が
1であるための| 9 |
O) ャァを実状とする、 デキ 人る1 は。 メキテマ2 であるための| 10 |
人 3つの自然数/、w、ぁの積が庁数であることは, 2 m, がすべて奇
条であるための| 1
a 必要二分条件である.
b 必要条件であり, 十分条件でない.
。 必要条件でなく, 十分条件である.
d 必要条件でなく. 十分条件でない.
ーー
(計算用余白
an
MEME (ZO 2) 0 2 MICHAL.
次の問に答えよ.
Q) az B2RBOA, PEBSRRONLTS. sine=—%, sing=—2
DER, at 2 は第何彰限の角か.
(2) 756 の正の約数の個数を求めよ. また, それら正の約数すべての和を求め
よ.
ーーュー
GH OD a AD
ーs 一
問7画像OCR
検出分野: 方程式・不等式、確率・場合の数、図形・三角関数
(1) HR do + 3y 65 EWR T ARKO (2,y) は [T] 組あり, そのうちょ の値が2
番目に小さい組 (Bi), 3番目に小さい組は (回|, [6i7]) である.
(2) Ssltdet To? +--+ (14 3k)ab +--+ 4 282° 1k, a= 8] OLR, S=
ユー [alis}o” + [is]
CHY, of BOLE, g = Uelsjel — Walsje” + Bele + WO ag,
(@e~ fis)?
(3) KOX
(V2+のが+(V2 9
を計算すると である.
(4) 次の等式
/ f(t)dt = 2? ~ 5246
LWT BIE /(?) は, P(e) = [22123 > [BA], また定数は, 小さい順に [35] と
である.
(5) 3次方程式 9+az2?+7z+=0が解1-27をもつとき, 係数= [27I28]. 5 = [29/30],
また他の解は [31] および [32] + [33]: である. ただしc, 0は実数とする.
ーュー
| (StH)
se gy eee
以下の開題については 解答用紙 (その 1 ) を使用すること
(1) 連立不等式
je-s4
(Qy +22 ~ 4a + 2)(Qy +2 +2) 50
ORT PRO BBL, 昌夫 である.
24 (p12 — atyt2 /岡]
(2) 2, yが実数で(>1)?+(9ー1)?ー1 ミ0であるとき, payee ee 38]+1/ [39]
である.
(3) % を定数とする. *についての方程式
cos? +sinz -a-1=0
の0ミァ<く2rにおける典なる実数解の個数は, c < [AOA] のとき [2], a=
のとき [回|, Wa) <a< Moke BH], a= Woes 攻 a <a<
-@ ica)
のとき [49], o= Te Pee 50}. fay 2 51 | である.
ーーラー
(HERA)
ーォー
以下の半題については 解答用紙 (その 1 ) を使用すること.
A, B の2人が次のゲームを行う. 最初にAは10枚, Bは20枚の硬賀を和持っている.
1 個のさいころを投げて個数が出たらAがBに硬貨を1枚渡し, 奇数が出たらBがA
ME LAME.
1.、このゲームを 10 回行ったのちも, Aが 10枚, B が 20枚の硬貨を持っている確率は
a cays.
2. LOOP AE ABHTORLE, 4回のゲーム終了時に初めてAが10枚, BAWRO
をっにるは Fem,
3. このゲームをどちらかの手持ちの硬人賀がなくなるまで続けるとまき, A の硬貨がなく
ROM Se である.
Q) 1からんまでの数を1 つずつ革いた札がヵ枚ある. これを母集団とし。札に書かれた
REEL OBMEORMEL TS.
1 conamoavsis ELE cms,
と
2. この母集団の母分化は MEST である.
(3) ある地亡都市で。 100 人を無作為に選んで調べたところ, 市長の支持者は90 人であっ
た. LOMA STO KG piCMT 6 IE 95% の信燥区間は
0. [S768] gps0.[59
である. ただし, DERE RRA LT, 小数第 2 位まで求めよ.
wee Bw
(計算余白)
ー6 一
番目に小さい組 (Bi), 3番目に小さい組は (回|, [6i7]) である.
(2) Ssltdet To? +--+ (14 3k)ab +--+ 4 282° 1k, a= 8] OLR, S=
ユー [alis}o” + [is]
CHY, of BOLE, g = Uelsjel — Walsje” + Bele + WO ag,
(@e~ fis)?
(3) KOX
(V2+のが+(V2 9
を計算すると である.
(4) 次の等式
/ f(t)dt = 2? ~ 5246
LWT BIE /(?) は, P(e) = [22123 > [BA], また定数は, 小さい順に [35] と
である.
(5) 3次方程式 9+az2?+7z+=0が解1-27をもつとき, 係数= [27I28]. 5 = [29/30],
また他の解は [31] および [32] + [33]: である. ただしc, 0は実数とする.
ーュー
| (StH)
se gy eee
以下の開題については 解答用紙 (その 1 ) を使用すること
(1) 連立不等式
je-s4
(Qy +22 ~ 4a + 2)(Qy +2 +2) 50
ORT PRO BBL, 昌夫 である.
24 (p12 — atyt2 /岡]
(2) 2, yが実数で(>1)?+(9ー1)?ー1 ミ0であるとき, payee ee 38]+1/ [39]
である.
(3) % を定数とする. *についての方程式
cos? +sinz -a-1=0
の0ミァ<く2rにおける典なる実数解の個数は, c < [AOA] のとき [2], a=
のとき [回|, Wa) <a< Moke BH], a= Woes 攻 a <a<
-@ ica)
のとき [49], o= Te Pee 50}. fay 2 51 | である.
ーーラー
(HERA)
ーォー
以下の半題については 解答用紙 (その 1 ) を使用すること.
A, B の2人が次のゲームを行う. 最初にAは10枚, Bは20枚の硬賀を和持っている.
1 個のさいころを投げて個数が出たらAがBに硬貨を1枚渡し, 奇数が出たらBがA
ME LAME.
1.、このゲームを 10 回行ったのちも, Aが 10枚, B が 20枚の硬貨を持っている確率は
a cays.
2. LOOP AE ABHTORLE, 4回のゲーム終了時に初めてAが10枚, BAWRO
をっにるは Fem,
3. このゲームをどちらかの手持ちの硬人賀がなくなるまで続けるとまき, A の硬貨がなく
ROM Se である.
Q) 1からんまでの数を1 つずつ革いた札がヵ枚ある. これを母集団とし。札に書かれた
REEL OBMEORMEL TS.
1 conamoavsis ELE cms,
と
2. この母集団の母分化は MEST である.
(3) ある地亡都市で。 100 人を無作為に選んで調べたところ, 市長の支持者は90 人であっ
た. LOMA STO KG piCMT 6 IE 95% の信燥区間は
0. [S768] gps0.[59
である. ただし, DERE RRA LT, 小数第 2 位まで求めよ.
wee Bw
(計算余白)
ー6 一
問8画像OCR
検出分野: 確率・場合の数
(1) コイン3枚を同時に投げる、 COLE, 少なくとも 1 枚のコインが表となる
FEB EE CHS.
Q) コイン3枚を同時に投げる. 表になったコインはそのままにして, 姜になっ
たコインをすべて拾っても う 1 度投げる. この操作がおわったとき, 3枚のコ
インがすべて表になる確率は 王寺 CHS.
回回
ーョー
(計算用余白)
23 ye,
fir] acs, 1), B(2.39. Cl, 96寺1) Rowe,
(0 AC + BC が最小となるのは。, El DEST,
Pre] LO Een
—
@) aAC+ BC OMe Set である.
ーョー
Gh R&A)
ーーュー
FEB EE CHS.
Q) コイン3枚を同時に投げる. 表になったコインはそのままにして, 姜になっ
たコインをすべて拾っても う 1 度投げる. この操作がおわったとき, 3枚のコ
インがすべて表になる確率は 王寺 CHS.
回回
ーョー
(計算用余白)
23 ye,
fir] acs, 1), B(2.39. Cl, 96寺1) Rowe,
(0 AC + BC が最小となるのは。, El DEST,
Pre] LO Een
—
@) aAC+ BC OMe Set である.
ーョー
Gh R&A)
ーーュー
問9画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、整数、指数・対数、空間図形
(1) 作った3痢の数が5の倍数である確率は, CHS.
2) 作った3桁の数が9の倍数である確率はーー である-
回回|
(3) 作った3失の数が5 の倍数でも 9 の倍数でもない確率は, th
る-
ーーュー
(1) sin3x=sin (2x +4), cos3x=cos(2e+x) より, 次の等式が得られ
る.
sin3x=[10]sine ~[14 Joints
cos 3x =[ 2 13 cose + [14 ]eosts
(2) OS Sx OLE, 不等式
0く3 (3 sinx+cosz)— 4 (73 sin'x + cos?) <1
の解は
fs]
ts tl, Pees ST.
Bel. BI,
回
である. REL キマ する、
= Bs
BRM HILT, SAA, By, で。を頂点とする AAB,C, が次の条件
2 を満たしている.
条件 1 「外接円の半径が1である」
条件2 Hive 0。とするとき」
20,4, + 10,B, +(n +1) 0,6, =6
が成り立つ]
1) ヵ王3 とする. 条件2より,
_ fee.
んー ECS
CHS. さらに, 条件1より, (0,81 =10,B i =10。C。| = 1 であるから,
—_
ee Ts]
である. また, 辺 BaC。の長きは Te である.
(2) 辺BC。の長きが Ba. より大きくなるようを最小のヶは| 40 | 4 |でぁ
る.
ューター
点0を原点とする空間内に, 3点A(1. 0. 0), BOO, 1, 0),
C(O, 0. 1)がある. MUFOA, OB 0OC上を、点PQRがそれぞれ毎秒
1, 2, 4ORSCHBL TOS. BAP, Q Rは同時に原点Oを出発したと
L, MNES ETA.
a) (22 のとき, 親分OP 0Q ORの長きはそれぞれ SH, =.
[eleぁz.
(2) O0<tS2 において, 線分OP, OQ, OR の長さが一致するのは
==, =e, [sorecas. ただし. Se) ap
回
する.
a) bar<cd とする. 細分ORの長きは| sz | ss] +[s] cas.
きらに, MBM OPOROMRE VEL, をを用いて表すと,
,-lel,. 回,
である. は 回回 EER.
回回
~%—
2) 作った3桁の数が9の倍数である確率はーー である-
回回|
(3) 作った3失の数が5 の倍数でも 9 の倍数でもない確率は, th
る-
ーーュー
(1) sin3x=sin (2x +4), cos3x=cos(2e+x) より, 次の等式が得られ
る.
sin3x=[10]sine ~[14 Joints
cos 3x =[ 2 13 cose + [14 ]eosts
(2) OS Sx OLE, 不等式
0く3 (3 sinx+cosz)— 4 (73 sin'x + cos?) <1
の解は
fs]
ts tl, Pees ST.
Bel. BI,
回
である. REL キマ する、
= Bs
BRM HILT, SAA, By, で。を頂点とする AAB,C, が次の条件
2 を満たしている.
条件 1 「外接円の半径が1である」
条件2 Hive 0。とするとき」
20,4, + 10,B, +(n +1) 0,6, =6
が成り立つ]
1) ヵ王3 とする. 条件2より,
_ fee.
んー ECS
CHS. さらに, 条件1より, (0,81 =10,B i =10。C。| = 1 であるから,
—_
ee Ts]
である. また, 辺 BaC。の長きは Te である.
(2) 辺BC。の長きが Ba. より大きくなるようを最小のヶは| 40 | 4 |でぁ
る.
ューター
点0を原点とする空間内に, 3点A(1. 0. 0), BOO, 1, 0),
C(O, 0. 1)がある. MUFOA, OB 0OC上を、点PQRがそれぞれ毎秒
1, 2, 4ORSCHBL TOS. BAP, Q Rは同時に原点Oを出発したと
L, MNES ETA.
a) (22 のとき, 親分OP 0Q ORの長きはそれぞれ SH, =.
[eleぁz.
(2) O0<tS2 において, 線分OP, OQ, OR の長さが一致するのは
==, =e, [sorecas. ただし. Se) ap
回
する.
a) bar<cd とする. 細分ORの長きは| sz | ss] +[s] cas.
きらに, MBM OPOROMRE VEL, をを用いて表すと,
,-lel,. 回,
である. は 回回 EER.
回回
~%—
問10画像OCR
2017年度 ZSRg
数 学
1. 問題は金部で5題あり, 同子は計算用の余白も合わせて 12 ページである.
2. 解答用紙に氏名を忘れずに記入すること.
3. 解答は解答用紙の指定された機に記入すること. 指定の搬以外に記入きれたも
のは採点の対象としない.
4. 商題指子の余白等は適宜利用してよいが. どのページも切り離してはならない.
5. 解答用紙は必ず提出すること. 閲題青子は持ち帰ってよい.
マーク・シート記入上の注意については, この開題冊子の裏表紙に記載されている
ので試験開始までに確認すること. ただし, 冊子を開いてはならない.
(年算用余白}
ass gp
」 (at H&A)
ーーター
あるパスターミナルでは, A線のバスは35 分ごとに, B線のパスは 21 分ごと
に, C線のバスは9分ごとに発車する. 正午にA練のパスが発車し, その1分
後にB 弥のパスとで線のパスが賠陸に発車した.
(G) 光B絢のバスとC若のバスが同時に発車する時鹿は。征後| 1 |時| 2 |
分であり0, このときのC紹のパスは。正年から苔えて| 3 |台昌である.
2) A背のバスとC線のバスが交時に発車する正年以降の最も早い時刻なは,年
後| 4 隊[5 | |際であり, cocsoctosna, 正征から数えで
[7 [e]eaces.
ニーュー
Ch A & Al
a ge
[at] seme eta
を満たす-
の両辺の絶対値を考えるゐることによって,
Eye] viz)
トニュー
であることがわかる.
SSK, z の偏角をのとするとき,
人回 ae
coの 十Sn の
である.
ーョュー
(at & A & A)
aoe ae
数 学
1. 問題は金部で5題あり, 同子は計算用の余白も合わせて 12 ページである.
2. 解答用紙に氏名を忘れずに記入すること.
3. 解答は解答用紙の指定された機に記入すること. 指定の搬以外に記入きれたも
のは採点の対象としない.
4. 商題指子の余白等は適宜利用してよいが. どのページも切り離してはならない.
5. 解答用紙は必ず提出すること. 閲題青子は持ち帰ってよい.
マーク・シート記入上の注意については, この開題冊子の裏表紙に記載されている
ので試験開始までに確認すること. ただし, 冊子を開いてはならない.
(年算用余白}
ass gp
」 (at H&A)
ーーター
あるパスターミナルでは, A線のバスは35 分ごとに, B線のパスは 21 分ごと
に, C線のバスは9分ごとに発車する. 正午にA練のパスが発車し, その1分
後にB 弥のパスとで線のパスが賠陸に発車した.
(G) 光B絢のバスとC若のバスが同時に発車する時鹿は。征後| 1 |時| 2 |
分であり0, このときのC紹のパスは。正年から苔えて| 3 |台昌である.
2) A背のバスとC線のバスが交時に発車する正年以降の最も早い時刻なは,年
後| 4 隊[5 | |際であり, cocsoctosna, 正征から数えで
[7 [e]eaces.
ニーュー
Ch A & Al
a ge
[at] seme eta
を満たす-
の両辺の絶対値を考えるゐることによって,
Eye] viz)
トニュー
であることがわかる.
SSK, z の偏角をのとするとき,
人回 ae
coの 十Sn の
である.
ーョュー
(at & A & A)
aoe ae
問11画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、図形・三角関数、整数、方程式・不等式
2017年度 Z
1. 問題は全部で4題あり, 同子は計算用の余白も合わせて 10 ページである.
2. 解答用紙に氏名を忘れずに記入すること.
3. 解答は解答用区の指定された棚に記入すること. 指定の補以外に記入きれたも
のは採点の対象としない.
4. 問題世子の余白等は適人利用してよいが, どのページも切り離してはならない.
（続きは問題PDFで確認できます）
1. 問題は全部で4題あり, 同子は計算用の余白も合わせて 10 ページである.
2. 解答用紙に氏名を忘れずに記入すること.
3. 解答は解答用区の指定された棚に記入すること. 指定の補以外に記入きれたも
のは採点の対象としない.
4. 問題世子の余白等は適人利用してよいが, どのページも切り離してはならない.
（続きは問題PDFで確認できます）