藤原進之介です。このページでは青山学院大学2019年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
今日の一問
三角形OABにおいて 、、
そのなす角が である。三角形OABの面積と を求めよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
青山学院大学2019年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。
Ⅰ(1) 積が0になる確率
さいころを3回投げ、出た目を X, Y, Z とします。U = (X − 3)(Y − 3)(Z − 3) が 0 になる確率を求めます。
まず条件を言い換える
X, Y, Z はそれぞれ 1〜6 を確率 1/6 でとるので、X − 3, Y − 3, Z − 3 は
−2, −1, 0, 1, 2, 3 をそれぞれ確率 1/6 でとります。
積が0 ⇔ 3つの因数のうち少なくとも1つが0
「積が0」を「少なくとも1つが0」に翻訳できるかが第一歩です。掛け算の結果が0になるのは、因数のどれかが0のときだけ（実数の性質）。
余事象を使う
「少なくとも1つ」とあれば余事象が定石。余事象は
3つとも0でない、すなわち X ≠ 3 かつ Y ≠ 3 かつ Z ≠ 3
1回のさいころで3以外が出る確率は 5/6。3回とも独立なので
(5/6)³ = 125/216
したがって求める確率は
1 − 125/216 = 91/216
答 91/216
検算：6³ = 216通りすべてを列挙し、(X−3)(Y−3)(Z−3) = 0 となるものを数えたところ 91通りでした ✓
91/216 ≒ 0.421。「3回のうち少なくとも1回は3が出る」確率が約42% — 直感的にも妥当な値です。
この年の学習ポイント
この設問は「少なくとも1つ」→ 余事象という、確率の最重要パターンです。
直接数えようとすると
「ちょうど1つが3」+「ちょうど2つが3」+「3つとも3」
= ₃C₁(1/6)(5/6)² + ₃C₂(1/6)²(5/6) + (1/6)³
= 75/216 + 15/216 + 1/216 = 91/216
と3つの場合を足すことになり、手間が3倍かかります（結果は同じ ✓）。
「少なくとも1つ」「1つ以上」「〜でないものがある」といった表現を見たら、まず余事象を検討してください。
また、この問題では「積が0」を「因数のどれかが0」に翻訳するという一手も重要でした。式の形（積・和・差）から、どんな事象なのかを読み取る練習になります。
青山学院大学2019年度は学部・日程ごとに複数の問題が出題されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。
青山学院大学 数学 過去問｜他の年度を見る
青山学院大学の数学の過去問は31年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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問題PDFをテキストでも確認
青山学院大学 2019年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 確率・場合の数
- 図形・三角関数
- 整数
- 指数・対数
- 数列
- 方程式・不等式
- 関数・グラフ
- 微分・積分
この年度の出題範囲と傾向
2019年度の問題PDFでは、確率・場合の数、図形・三角関数、整数、指数・対数、数列に関する語句や設問を確認できました。青山学院大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、関数・グラフは29年度、微分・積分は29年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、図形・三角関数、関数・グラフ、微分・積分
2019年度 Z・Z (RB)
1. 問題は全部で4 題あり, 世子は計算用の余白も合わせて 10 ページである.
2. 解答用紙に氏名を忘れずに記入すること.
3. 解答は解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の欄以外に記入されたも
のは採点の対象としない.
4, 問題工子の余白等は適宜利用してよいが, どのページも切り上離してはならない.
5. 解答用紙は必ず提出すること. 問題還子は持ち帰ってよい.
マーク・シート記入上の注意については, この問題冊子の衰表紙に記載されている
ので試験開始までに確認すること. ただし, 冊子を開いてはならない.
|
at tH
oe
(計算用余白]
se BO ees
1 つのきいころを3回投げるとき, MSHEMUCX, とし.
ひ=(メー3)(アー3)(Zー3)
ERC.
Cle]
a) ひ=0となる確率は es である.
(2) vos easter.
(3) rsh
(4) > 10 となる確率は ーーー である.
ーュョュー
Gt HA & A)
as
| om, enrest
ちの3
42-37-1250
の表す領域を の とする. Klx.y )が領域の MEMS ER,
(1) *の最大値は =本 . 最小代は| 18 | である.
0) dy +3y の最大他は ーーニー 。 最小侍は| 5 | でぁる.
ーョー
(計算用余白
ー 6 ご
1. 問題は全部で4 題あり, 世子は計算用の余白も合わせて 10 ページである.
2. 解答用紙に氏名を忘れずに記入すること.
3. 解答は解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の欄以外に記入されたも
のは採点の対象としない.
4, 問題工子の余白等は適宜利用してよいが, どのページも切り上離してはならない.
5. 解答用紙は必ず提出すること. 問題還子は持ち帰ってよい.
マーク・シート記入上の注意については, この問題冊子の衰表紙に記載されている
ので試験開始までに確認すること. ただし, 冊子を開いてはならない.
|
at tH
oe
(計算用余白]
se BO ees
1 つのきいころを3回投げるとき, MSHEMUCX, とし.
ひ=(メー3)(アー3)(Zー3)
ERC.
Cle]
a) ひ=0となる確率は es である.
(2) vos easter.
(3) rsh
(4) > 10 となる確率は ーーー である.
ーュョュー
Gt HA & A)
as
| om, enrest
ちの3
42-37-1250
の表す領域を の とする. Klx.y )が領域の MEMS ER,
(1) *の最大値は =本 . 最小代は| 18 | である.
0) dy +3y の最大他は ーーニー 。 最小侍は| 5 | でぁる.
ーョー
(計算用余白
ー 6 ご
問2画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、整数、関数・グラフ、指数・対数
(1) Aの投げたさいころの目が1のとき, enone ey
bd.
(2) ADRULSVIAZDAMEOES, Aが勝つ確率は —=———- である.
(3) Aの投げたさいころの目が2 のとき, っ
Mg ee
四面体 OABC において, 辺AB を2:3に内分する点をP, 線分CP の中点を Q,
線分0Qを1:2に内分する点をRとする. OA=2, OB=》 Cac est
る.
lel, el.
QQ) OP=——==4+ =>).
回
。 回 - 回. 回-
0デー 6 + Ss Se
(2) A= —-— SS ¢ + SS) + Se
(3) 直線AR と三角形OBC ORAS S とするとき,
ap テ
0っ) っ<
Els.
である.
ーッー
平面において, 原点を中心とする半径1の円周の y 20 の部分をびとす
He
曲線C上に点 (一1 0) EM Pls, 1) 28S. また, MPEMCY BRE
Boe Qs, u) を,
(i) ust
(i) AP+PQ=2
を満たすようにとる.
() apaponees care, | 4|+| 5相 である.
(2) ues CREE
v=/[a]-e+7[4]+[8)>-[]
であり,
AEZA避
| on Ol vn ン
である.
(3) 。が一1から1まで動くとき,wはーーコーで最大値
(4) sが一1から1まで動くとき, 本oi 。
be.
i 一
(x)= sine +/B cosx, g(x)=2sing EBL.
(1) 2 y =f(x), y= g(x) の —nSx Sr における交点の座標は
ーー
である.
(2) 2曲線ゥニナ(?7).ッニーg(z) の 一 Se SS CBU SOK
oma el, である.
(3) 一 本 z ミィ ミ 王寺-x において, 2曲線 =F(x), y= g(z) CHE
れた図形を * 軸のまわりに1 回転してできる回転体の体積は
回.
である.
= es
マーク・シート記入上の注意
Ll BER, 解答用導の問題番号に対応した解答欄にマークすること.
2 半是の文中の| 1 | などには, 特に指示がないかぎり, 符号
(-), 数字(0一9)又は文字(ad)が入る. 1, 2, 3, ... の一つつは, こ
れらのいずれかーつに対応する. それらを解答用紙の 1, 2,3, ... で示きれた
解答欄にマークして答えよ.
a | | 2 9| に -8 と符をたいとき
| 1 @PDDOODDDDOOCOO®
| 2 PODDOODDODDE OOOO
| 3 lSPDDOEDOODOOOGOOS®
をお, m—omapcat | | などが2度以上現れる場合 2度
apm, [1]. | 2 | 3 | のょうに細字で表孔する.
3 分数形で解答する場合分数の符号は分子につけ。 分母につけてはいけない.
Ce] -4
例えば, Te] に 一 と符えたいときは, St として符えよ。
Eh, それ以上約分できない形で答えること.
例えば -ユと符えるところを。-全のように答えてはいけない。
4 根号あるいは対数を含む形で解符する場合は。 根号の中や真数に現れる自然数
が最小となる形で答えよ. -
例えば, 5] に 4/2 と符えるところを, 278 のように符えては |
いけない. また。 [9] og。 [10] にepg8と符えるところを, 310,904
うに答えてはいけない.
BI
5 分数形で根号を含む形で解答する場合 ーーモコーーー に key
と答えるところを, ees ゃ 42/8 のように符えてはいけない.
bd.
(2) ADRULSVIAZDAMEOES, Aが勝つ確率は —=———- である.
(3) Aの投げたさいころの目が2 のとき, っ
Mg ee
四面体 OABC において, 辺AB を2:3に内分する点をP, 線分CP の中点を Q,
線分0Qを1:2に内分する点をRとする. OA=2, OB=》 Cac est
る.
lel, el.
QQ) OP=——==4+ =>).
回
。 回 - 回. 回-
0デー 6 + Ss Se
(2) A= —-— SS ¢ + SS) + Se
(3) 直線AR と三角形OBC ORAS S とするとき,
ap テ
0っ) っ<
Els.
である.
ーッー
平面において, 原点を中心とする半径1の円周の y 20 の部分をびとす
He
曲線C上に点 (一1 0) EM Pls, 1) 28S. また, MPEMCY BRE
Boe Qs, u) を,
(i) ust
(i) AP+PQ=2
を満たすようにとる.
() apaponees care, | 4|+| 5相 である.
(2) ues CREE
v=/[a]-e+7[4]+[8)>-[]
であり,
AEZA避
| on Ol vn ン
である.
(3) 。が一1から1まで動くとき,wはーーコーで最大値
(4) sが一1から1まで動くとき, 本oi 。
be.
i 一
(x)= sine +/B cosx, g(x)=2sing EBL.
(1) 2 y =f(x), y= g(x) の —nSx Sr における交点の座標は
ーー
である.
(2) 2曲線ゥニナ(?7).ッニーg(z) の 一 Se SS CBU SOK
oma el, である.
(3) 一 本 z ミィ ミ 王寺-x において, 2曲線 =F(x), y= g(z) CHE
れた図形を * 軸のまわりに1 回転してできる回転体の体積は
回.
である.
= es
マーク・シート記入上の注意
Ll BER, 解答用導の問題番号に対応した解答欄にマークすること.
2 半是の文中の| 1 | などには, 特に指示がないかぎり, 符号
(-), 数字(0一9)又は文字(ad)が入る. 1, 2, 3, ... の一つつは, こ
れらのいずれかーつに対応する. それらを解答用紙の 1, 2,3, ... で示きれた
解答欄にマークして答えよ.
a | | 2 9| に -8 と符をたいとき
| 1 @PDDOODDDDOOCOO®
| 2 PODDOODDODDE OOOO
| 3 lSPDDOEDOODOOOGOOS®
をお, m—omapcat | | などが2度以上現れる場合 2度
apm, [1]. | 2 | 3 | のょうに細字で表孔する.
3 分数形で解答する場合分数の符号は分子につけ。 分母につけてはいけない.
Ce] -4
例えば, Te] に 一 と符えたいときは, St として符えよ。
Eh, それ以上約分できない形で答えること.
例えば -ユと符えるところを。-全のように答えてはいけない。
4 根号あるいは対数を含む形で解符する場合は。 根号の中や真数に現れる自然数
が最小となる形で答えよ. -
例えば, 5] に 4/2 と符えるところを, 278 のように符えては |
いけない. また。 [9] og。 [10] にepg8と符えるところを, 310,904
うに答えてはいけない.
BI
5 分数形で根号を含む形で解答する場合 ーーモコーーー に key
と答えるところを, ees ゃ 42/8 のように符えてはいけない.
問3画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、図形・三角関数、空間図形
(1) さいころを5 回投げるとき。 点Pの座標が3である確率は
mie
SS: CHS.
(9) さいころを9回投げるとき, 点Pがちょうど(4, 3, 2 )の位置に来る確率
Ll]
は SSS である.
回回回
(3) きいころを9回投げて点Pがちょうど(4., 3, 2 ) の位置に来たときの,
県P が途中で(3 2, 0 )を通っていた条件付き確率は ES である.
ーョー
(計算用余白]
7 ニー
[2] 欠を角和用交(その1)に記入せよ.
四角形 0ABC において,
AB + 0B—406=6
が成り立っている対角線 OB と AC の交点を Q とするとき,
回コー
=二村8+| eo6
ue
-tot tles
であり,
sw_還 ce 国
0Q AQ
である. よって
Aca _
é AOAQ
である.
ころ
(計算用余白
mi cos が
mie
SS: CHS.
(9) さいころを9回投げるとき, 点Pがちょうど(4, 3, 2 )の位置に来る確率
Ll]
は SSS である.
回回回
(3) きいころを9回投げて点Pがちょうど(4., 3, 2 ) の位置に来たときの,
県P が途中で(3 2, 0 )を通っていた条件付き確率は ES である.
ーョー
(計算用余白]
7 ニー
[2] 欠を角和用交(その1)に記入せよ.
四角形 0ABC において,
AB + 0B—406=6
が成り立っている対角線 OB と AC の交点を Q とするとき,
回コー
=二村8+| eo6
ue
-tot tles
であり,
sw_還 ce 国
0Q AQ
である. よって
Aca _
é AOAQ
である.
ころ
(計算用余白
mi cos が
問4画像OCR
検出分野: 整数、複素数、空間図形
2019年度 s@
1. 問題は全部で5題あり, 冊子は計算用の余白もあわせて 12 ページである.
2. 解答用紙に氏名・受験番号を忘れずに記入すること. (ただし, マーク・シー
トにはあらかじめ受験番号がプリントされている. )
3. 解答はすべて解答用紙の指定きれた欄に記入すること. 指定の欄以外に記入き
れたものは採点の対象としない.
4. 問題3, 4, 5の解答については, 論述なしで結果だけ記しても, 正解とは見な
さきない.
5. 問題民子の余白等は適宜利用してよいが, どのページも切り離してはならない.
6. 解答用紙はすべて必ず提出すること: 問題冊子は持ち帰ってよい.
マーク・シート記入上の注意については, この問題國子の裏表紙に記載されている
ので試験開始までに確認すること. ただし, 冊子を開いてはならない.
(st HA & A)
os gp oe
Gt & A & Al
MS EBM (TO 1 )に記入せよ。
() a, 5が
- ated, se, az=b
C)+vEeTs]
を同時に満たすとき, ne ca である.
(2) ュー のとき, 3z =| 5 | 6 |でぁり.
axt+5e8~ 32-2 +7=[7 | /| 8 | である.
(3) 複素数平面上の点 3二: を中心として点 7二87をで だけ回転した点を
表す複素数は
he中(hy):
CHS.
(計算用余白
ーォ4ー
[2] meememie(co carte.
n=1, 2.3....に対して自然数 を
a, = 2 a altataege tart
で定める.
Q) 自然数 を自然数みで割った商は + 4 cay, 父りは| ie |
be. ただし| ia|>|i5 |とする.
0) 自然数gs rane cao cme A, BE 回 yy,
ei, テー| | ceLw. e#L[i7|[18]>[19][20]>[a jes
月
(3) 自然数g。 & ARR a が互いに素でないための必要十分条件は
n=[]e (の=1.2.3....)
である.
ーーュー
Gt & A & Al
ax @ =
1. 問題は全部で5題あり, 冊子は計算用の余白もあわせて 12 ページである.
2. 解答用紙に氏名・受験番号を忘れずに記入すること. (ただし, マーク・シー
トにはあらかじめ受験番号がプリントされている. )
3. 解答はすべて解答用紙の指定きれた欄に記入すること. 指定の欄以外に記入き
れたものは採点の対象としない.
4. 問題3, 4, 5の解答については, 論述なしで結果だけ記しても, 正解とは見な
さきない.
5. 問題民子の余白等は適宜利用してよいが, どのページも切り離してはならない.
6. 解答用紙はすべて必ず提出すること: 問題冊子は持ち帰ってよい.
マーク・シート記入上の注意については, この問題國子の裏表紙に記載されている
ので試験開始までに確認すること. ただし, 冊子を開いてはならない.
(st HA & A)
os gp oe
Gt & A & Al
MS EBM (TO 1 )に記入せよ。
() a, 5が
- ated, se, az=b
C)+vEeTs]
を同時に満たすとき, ne ca である.
(2) ュー のとき, 3z =| 5 | 6 |でぁり.
axt+5e8~ 32-2 +7=[7 | /| 8 | である.
(3) 複素数平面上の点 3二: を中心として点 7二87をで だけ回転した点を
表す複素数は
he中(hy):
CHS.
(計算用余白
ーォ4ー
[2] meememie(co carte.
n=1, 2.3....に対して自然数 を
a, = 2 a altataege tart
で定める.
Q) 自然数 を自然数みで割った商は + 4 cay, 父りは| ie |
be. ただし| ia|>|i5 |とする.
0) 自然数gs rane cao cme A, BE 回 yy,
ei, テー| | ceLw. e#L[i7|[18]>[19][20]>[a jes
月
(3) 自然数g。 & ARR a が互いに素でないための必要十分条件は
n=[]e (の=1.2.3....)
である.
ーーュー
Gt & A & Al
ax @ =
問5画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、関数・グラフ
(1) 1回目にを取り出したときにBの騰っ確率は| 1 || 2 |%でぁる.
2) 2回上に玉を取り出したときにBの障っ確率は| 8 || 4 |%である.
(3) Bの勝っ系は| 5 | 6 |%でぁ.
ただし, 確率のパーセント表示は小数点以下を四捨元入し, また1 桁の結果が
得られた場合は 十の位に0 を補うこと.例えば, 証一0076... RARE,
7.6... %なので “08" と答える.
ーきー
(計算用余白〕
an we
BREEMSRG (TO 1 ) に記入せよ.
の関数
fo) =f" Cte — De
ia, aca で Rubi をとる.
ーュ5ー
(計算用余白
ー6 一
2) 2回上に玉を取り出したときにBの障っ確率は| 8 || 4 |%である.
(3) Bの勝っ系は| 5 | 6 |%でぁ.
ただし, 確率のパーセント表示は小数点以下を四捨元入し, また1 桁の結果が
得られた場合は 十の位に0 を補うこと.例えば, 証一0076... RARE,
7.6... %なので “08" と答える.
ーきー
(計算用余白〕
an we
BREEMSRG (TO 1 ) に記入せよ.
の関数
fo) =f" Cte — De
ia, aca で Rubi をとる.
ーュ5ー
(計算用余白
ー6 一
問6画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、図形・三角関数、方程式・不等式、微分・積分
2019年度 RB
1. 問題は全部で5 題あり, 世子は計算用の余白もあわせて 12 ページである.
2. 解答用紙に氏名・受験番号を忘れずに記入すること. (ただし, マーク・シー
トにはあらかじめ受験番号がプリントされている.)
3. 解答は解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の欄以外に記入されたも
のは採点の対象としない.
4, 問題3. 4, 5の解答については, 論述なしで結果だけ記しても, 正解とは見な
さきない.
5. 問題世子の余白等は適宜利用してよいが, どのページも切り離してはならない.
6. 解答用紙は必ず提出すること. 問題冊子は提出する必要はない.
マーク・シート記入上の注意については, この問題冊子の裏表紙に記載されている
ので試験開始までに確認すること. ただし, 隔子を開いてはならない.
Gt # A&A)
en J we
Gt & A & A)
im i se
BSERSAM(TO 1 ) に記入せよ.
A, B, Cの3人がプレゼントを持って集まっている. サイコロを投げ, 10
目が出れば A と B が持っているプレゼントを交換し, 2の目が出ればAとCが
持っているプレゼントを交換する. なお, 3, 4, 5, 6の目が出た場合は
プレゼントの交換はしない. これを繰り返し行う.
GQ) サイコロを2 回投げた結果、 最初にAが持っていたプレゼントをBが
持っている確率は 王寺 である.
(2) サイコロをヵ回投げた結果, 最初にAが持っていたプレゼントをAが
持っている確率を ヵ, とする. COLE,
eT Te] (4 =1, 2,.3....)
が成立する.
(3) サイコロをヵ回投げた結果, 最初にAが持っていたプレゼントをAが
[2] /[]y
持っている確率はヵ, = = + == | =| である.
ーー
(計算用余白]
soe goes
[2] seemammn(zo 1)に記入せよ.
a, 2 を定数とする. 3直線
Aiy=—xta
4iy= pet
aiy=xtl
で囲まれる図形をの とする. ただし, 3直線が 1 点で交わるときは,
その交点をの とする. また, 連立不等式
請 =2
lylミ2
の表す領域を とする.
(1) a=1 のとき, 領域の が領域 に含まれるような1 の値の範囲は,
[sloos = である.
(2) 直線るとるの交点が直線 ッーニャ上にあるとき, 領域の の面積は
== であぁる.
(計算用余白
ー6 一
1. 問題は全部で5 題あり, 世子は計算用の余白もあわせて 12 ページである.
2. 解答用紙に氏名・受験番号を忘れずに記入すること. (ただし, マーク・シー
トにはあらかじめ受験番号がプリントされている.)
3. 解答は解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の欄以外に記入されたも
のは採点の対象としない.
4, 問題3. 4, 5の解答については, 論述なしで結果だけ記しても, 正解とは見な
さきない.
5. 問題世子の余白等は適宜利用してよいが, どのページも切り離してはならない.
6. 解答用紙は必ず提出すること. 問題冊子は提出する必要はない.
マーク・シート記入上の注意については, この問題冊子の裏表紙に記載されている
ので試験開始までに確認すること. ただし, 隔子を開いてはならない.
Gt # A&A)
en J we
Gt & A & A)
im i se
BSERSAM(TO 1 ) に記入せよ.
A, B, Cの3人がプレゼントを持って集まっている. サイコロを投げ, 10
目が出れば A と B が持っているプレゼントを交換し, 2の目が出ればAとCが
持っているプレゼントを交換する. なお, 3, 4, 5, 6の目が出た場合は
プレゼントの交換はしない. これを繰り返し行う.
GQ) サイコロを2 回投げた結果、 最初にAが持っていたプレゼントをBが
持っている確率は 王寺 である.
(2) サイコロをヵ回投げた結果, 最初にAが持っていたプレゼントをAが
持っている確率を ヵ, とする. COLE,
eT Te] (4 =1, 2,.3....)
が成立する.
(3) サイコロをヵ回投げた結果, 最初にAが持っていたプレゼントをAが
[2] /[]y
持っている確率はヵ, = = + == | =| である.
ーー
(計算用余白]
soe goes
[2] seemammn(zo 1)に記入せよ.
a, 2 を定数とする. 3直線
Aiy=—xta
4iy= pet
aiy=xtl
で囲まれる図形をの とする. ただし, 3直線が 1 点で交わるときは,
その交点をの とする. また, 連立不等式
請 =2
lylミ2
の表す領域を とする.
(1) a=1 のとき, 領域の が領域 に含まれるような1 の値の範囲は,
[sloos = である.
(2) 直線るとるの交点が直線 ッーニャ上にあるとき, 領域の の面積は
== であぁる.
(計算用余白
ー6 一
問7画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、数列、確率・場合の数、指数・対数
(1) ゅ3をー3ヵー58一0 SH TEORMOM (x, y) は,
(4) Le) + GE). Le) 22.
(2) OSaSn, 0588520 のとき,
. sinat+sinB=/2, cosa—cosB=/2
を満たする。 he rile gully である.
Le]
(3) 実数からなる数列(c。) は等比数列で, = 12, a= 7 であるとする
(
このとき, Bla, の初項はg」 =| 11 | Ale 王寺である.
さらに, BG (log. a,} の初項から第 7 項までの和は
a
となる.
ーー
(計算用余白〕
ems pf ons
| 2 | #eememm(zo2)0[2 |税に記入せよ.
ROPER 28 個、赤が2 個人っている.
Q) この袋から5 個の玉を同時に取り出すとき, 取り出した5個の中に赤玉が少
なくとも 1 個含まれる確率を求めよ。
(2) CORPS: 個の玉を同時に取り出す. 取り出した4 個の中に赤玉が少な
ces Mae ki Bw よ り大きくなるような最小のんの値を求めよ.
-§—
GAARA ..
= Bae
(4) Le) + GE). Le) 22.
(2) OSaSn, 0588520 のとき,
. sinat+sinB=/2, cosa—cosB=/2
を満たする。 he rile gully である.
Le]
(3) 実数からなる数列(c。) は等比数列で, = 12, a= 7 であるとする
(
このとき, Bla, の初項はg」 =| 11 | Ale 王寺である.
さらに, BG (log. a,} の初項から第 7 項までの和は
a
となる.
ーー
(計算用余白〕
ems pf ons
| 2 | #eememm(zo2)0[2 |税に記入せよ.
ROPER 28 個、赤が2 個人っている.
Q) この袋から5 個の玉を同時に取り出すとき, 取り出した5個の中に赤玉が少
なくとも 1 個含まれる確率を求めよ。
(2) CORPS: 個の玉を同時に取り出す. 取り出した4 個の中に赤玉が少な
ces Mae ki Bw よ り大きくなるような最小のんの値を求めよ.
-§—
GAARA ..
= Bae
問8画像OCR
検出分野: 整数、確率・場合の数、指数・対数、図形・三角関数、方程式・不等式
2019年度 Jal
1. 問題は全部で3題あり, 世子は計算用の余白もあわせて 8 ページである.
2. 解答用紙に氏名・受験番号を忘れずに記入すること. (ただし, マーク・シー
トにはあらかじめ受験番号がプリントされている.)
3. 解答は解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の欄以外に記入されたも
のは採点の対象としない.
4. 問題2 および問題 3 の解答については, 論述なしで結果だけ記しても, 正解と
は見なさない.
5. 問題田子の余白等は適宜利用してよいが, どのページも切り離してはならない.
6. 解答用紙はすべて必ず提出すること. 問題世子は持ち帰ってよい.
マーク・シート記入上の注意については, この問題冊子の裏表紙に記載されている
ので試験開始までに確認すること. ただし, 冊子を開いてはならない.
| | meememin (zo 1)に記入せよ.
(G) FOO, @, 0038, 最大のものは| 1 | であり, 最小のものな| 2 |でぁ
a
の 上ga2 © Htogys @ Ftogys
2 3 5
(2) 2個のさいころをふり, 出た目をX, Y とする. X+V が素数である確率
Ce]
は ーー であり, XLV REVICKRCHSEL SS である.
Ll 回回
3) 次の| 0 | -| 3| に当てはまるものを, Poa, db, c, dのうちから選
oa
7) a, 8がともに有理数であることは, c十8, egがともに有理数である
ための| no]
4) 石角形の 5つの辺の長きが等しいことは, 五角形が正五角形であるための
(2) x<y であることは, > 0 を満たすすべての実数々に対して 〆くの
が成り立っための| |
() -1SkS1 であることは, 3次方程式 ダー3ーぁー0 が3個の異な
る数解をもっための| ng
a 必要二分条件である.
b 必要条件であり, 十分条件でない.
c 必要条件でなく, 十分条件である.
d 必要条件でなく, 十分条件でない.
ーー
| 2 | #eememm(zo2)0[2 |税に記入せよ.
次の問に答えよ.
@) 080<2n のとき, sin(20-2) >0 を満たす9の値の爺囲を求め
Bs
(2) 素数ヵ, 7 および自然数ぁ に対し,
2,414,121
ヵ す 9 +44 nm
が成り立つような (p, 9, 4ヶ) の組をすべて求めよ.
ーー
[3] 人を人衝紙(その3)の| 3 |衝に記入せよ.
<を 0ミcミ1 を満たす定数とし, 7(の=/ lz(zーe)|み とする.
Q) 7(<)を求めょ. |
2) aH 0SaS1 ORMEM( LED (a) ORKMERMAERD E, .
また, そのときのg の値を求めよ.
ーッァー
マーク・シート記入上の注意
1 灯符は.解答用紙の問是番号に対応した解答柚にマークすること.
2 問題の文中の| 1 | | 2 | 9 | を#どには, 特に指示がないかぎり。科号
(-), 数字(0 一9)又は文字(a 一d)が入る. 1, 2, 3,... の一つーつは, こ _
れらのいずれか一つに対応する、 それらを解符用紙の1 2,3, ... CRANE
解答欄にマークして答えよ.
al に 83 と替えたいとき
| 1 }@DDDDODODDOODOO®
| 2 つのの〇のののののの12の2
| 3 CODOEDODODOGODOO®
なお, morse | | などが2度以上現れる場合 2度
apts, | 1 | のように細字で表記する.
3 分数形で解答する場合, 分数の符号は分子につけ, 分母につけてはいけない.
a <4
例えば, Te] に 一 と符えたいときは。 St として等えよ。
ER, それ以上約分できない形で答えること.
was, と符えるところを, のように符えてはいけない.
4 根号あるいは対数を含む形で解答する場合は、 根号の中や真数に現れる自然数
が最小となる形で答えよ.
例えば. [[s] 4/2 と符えるところを28 のょうに符えては .
いけない.また。 [9 | og。 | 0 | biog 3 と答えるところを, Slog, 90%
うに答えてはいけない.
oc
5 分数形で根号を含む形で解答する場合 回 に LE
と答えるところを, 452. ゃ Sens のように等えてはいけない.
1. 問題は全部で3題あり, 世子は計算用の余白もあわせて 8 ページである.
2. 解答用紙に氏名・受験番号を忘れずに記入すること. (ただし, マーク・シー
トにはあらかじめ受験番号がプリントされている.)
3. 解答は解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の欄以外に記入されたも
のは採点の対象としない.
4. 問題2 および問題 3 の解答については, 論述なしで結果だけ記しても, 正解と
は見なさない.
5. 問題田子の余白等は適宜利用してよいが, どのページも切り離してはならない.
6. 解答用紙はすべて必ず提出すること. 問題世子は持ち帰ってよい.
マーク・シート記入上の注意については, この問題冊子の裏表紙に記載されている
ので試験開始までに確認すること. ただし, 冊子を開いてはならない.
| | meememin (zo 1)に記入せよ.
(G) FOO, @, 0038, 最大のものは| 1 | であり, 最小のものな| 2 |でぁ
a
の 上ga2 © Htogys @ Ftogys
2 3 5
(2) 2個のさいころをふり, 出た目をX, Y とする. X+V が素数である確率
Ce]
は ーー であり, XLV REVICKRCHSEL SS である.
Ll 回回
3) 次の| 0 | -| 3| に当てはまるものを, Poa, db, c, dのうちから選
oa
7) a, 8がともに有理数であることは, c十8, egがともに有理数である
ための| no]
4) 石角形の 5つの辺の長きが等しいことは, 五角形が正五角形であるための
(2) x<y であることは, > 0 を満たすすべての実数々に対して 〆くの
が成り立っための| |
() -1SkS1 であることは, 3次方程式 ダー3ーぁー0 が3個の異な
る数解をもっための| ng
a 必要二分条件である.
b 必要条件であり, 十分条件でない.
c 必要条件でなく, 十分条件である.
d 必要条件でなく, 十分条件でない.
ーー
| 2 | #eememm(zo2)0[2 |税に記入せよ.
次の問に答えよ.
@) 080<2n のとき, sin(20-2) >0 を満たす9の値の爺囲を求め
Bs
(2) 素数ヵ, 7 および自然数ぁ に対し,
2,414,121
ヵ す 9 +44 nm
が成り立つような (p, 9, 4ヶ) の組をすべて求めよ.
ーー
[3] 人を人衝紙(その3)の| 3 |衝に記入せよ.
<を 0ミcミ1 を満たす定数とし, 7(の=/ lz(zーe)|み とする.
Q) 7(<)を求めょ. |
2) aH 0SaS1 ORMEM( LED (a) ORKMERMAERD E, .
また, そのときのg の値を求めよ.
ーッァー
マーク・シート記入上の注意
1 灯符は.解答用紙の問是番号に対応した解答柚にマークすること.
2 問題の文中の| 1 | | 2 | 9 | を#どには, 特に指示がないかぎり。科号
(-), 数字(0 一9)又は文字(a 一d)が入る. 1, 2, 3,... の一つーつは, こ _
れらのいずれか一つに対応する、 それらを解符用紙の1 2,3, ... CRANE
解答欄にマークして答えよ.
al に 83 と替えたいとき
| 1 }@DDDDODODDOODOO®
| 2 つのの〇のののののの12の2
| 3 CODOEDODODOGODOO®
なお, morse | | などが2度以上現れる場合 2度
apts, | 1 | のように細字で表記する.
3 分数形で解答する場合, 分数の符号は分子につけ, 分母につけてはいけない.
a <4
例えば, Te] に 一 と符えたいときは。 St として等えよ。
ER, それ以上約分できない形で答えること.
was, と符えるところを, のように符えてはいけない.
4 根号あるいは対数を含む形で解答する場合は、 根号の中や真数に現れる自然数
が最小となる形で答えよ.
例えば. [[s] 4/2 と符えるところを28 のょうに符えては .
いけない.また。 [9 | og。 | 0 | biog 3 と答えるところを, Slog, 90%
うに答えてはいけない.
oc
5 分数形で根号を含む形で解答する場合 回 に LE
と答えるところを, 452. ゃ Sens のように等えてはいけない.
問9画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、指数・対数、数列、データ・統計
(1) 次の問いに答えよ. ただし, logig2 = 0.3010, log。3 = 0.4771 EFS.
1. 18° は HOEK CHS.
2. 18° の最高位の数字は [31] である.
(2) 正三角形 ABC において, WBC, CA の中点をそれぞれD, EEL, AD と BEの交
REE, 線分AFの中点をG, CG と BE の交点をHH とする. ABニ1のとき, 次の四
角形の面積を求めよ.
JB]
1. 四角形AGHE エー
5) 5)
2. 四角形FDOH ——
(3) 正の実数の等比数列 {g。} が
Q +a, +++: +05 =4,
1 L 1
ー+ォニー+...+キー=9
ga a a5
となるとき, 積guoz...・gs の値は CHS.
1 - Ee]
(4) / [= -i|de s 4 ewer o ois ーーーツーー < 。 < Beas,
。 ls 5
wo 1 oe
(計算余白)
exe Goro
[(H] 以下の問題については 解答用紙 (その 1 ) を使用すること. ・
(1) さいころを3回投げたときの, それぞれの目をヶ, <とする.
1. zzが偶数となる確率は。 Bl ews.
2. ctyt 2 OBL 2S RBS, Bens. ;
(2) ABik, 友人のB著と0君と試合すすることになった. BEL CHATS EHOT
いて, 自分たちと3回試合をして 2 連勝した時点でケーキをあげるという. ABOR
戦順序には 2 つの選択肢があり, (BB-CH-BH), HRI 'CH-BE-CB
の順である. A君がB呑に勝つ確率は す G 天に勝っ確率は= とし, 次の場合の確率
を求めよ。
1. 「B若一店一B矯」の順で対戦するとき, ABBY —-LEb bX OMRIL
である. :
2. ABM, C莉の方が勝ちやすいと考えて, CHLLVS< HBTS ICH-BEB-C
君」の順が有利だと考えた.「C矯一B君一O君」の順で対戦するとき, A君がケー
キをも oxonians Fl cs,
(3) ある工場で生産された製品の中から 100 個を無作為に選んで調べたところ, 重さの平
均が 30g であった. 母標準偏差を 5 として, この工場の全製品の重きの平均 に対
する信頼度 95%の信頼区間は
[solsi]. [62] < m < [63164]. [65]
である. ただし, 小数第 2MEDREALT, 小数第1位まで求めよ。
(4) SRC, (0 ミミ7) に関する次の問いに答えよ.
ieCo ieCr + 16C2 + 16Ca + +++ tasCig _ 内
a rs 7 = [66/67] となる.
2Qag0i + 44902 +6 430s + 8.4gCu + +» + 86 aaCaa
2 ERS.
0: + oC +00; taCr + + 6Ca *
sont a
(RRA)
1. 18° は HOEK CHS.
2. 18° の最高位の数字は [31] である.
(2) 正三角形 ABC において, WBC, CA の中点をそれぞれD, EEL, AD と BEの交
REE, 線分AFの中点をG, CG と BE の交点をHH とする. ABニ1のとき, 次の四
角形の面積を求めよ.
JB]
1. 四角形AGHE エー
5) 5)
2. 四角形FDOH ——
(3) 正の実数の等比数列 {g。} が
Q +a, +++: +05 =4,
1 L 1
ー+ォニー+...+キー=9
ga a a5
となるとき, 積guoz...・gs の値は CHS.
1 - Ee]
(4) / [= -i|de s 4 ewer o ois ーーーツーー < 。 < Beas,
。 ls 5
wo 1 oe
(計算余白)
exe Goro
[(H] 以下の問題については 解答用紙 (その 1 ) を使用すること. ・
(1) さいころを3回投げたときの, それぞれの目をヶ, <とする.
1. zzが偶数となる確率は。 Bl ews.
2. ctyt 2 OBL 2S RBS, Bens. ;
(2) ABik, 友人のB著と0君と試合すすることになった. BEL CHATS EHOT
いて, 自分たちと3回試合をして 2 連勝した時点でケーキをあげるという. ABOR
戦順序には 2 つの選択肢があり, (BB-CH-BH), HRI 'CH-BE-CB
の順である. A君がB呑に勝つ確率は す G 天に勝っ確率は= とし, 次の場合の確率
を求めよ。
1. 「B若一店一B矯」の順で対戦するとき, ABBY —-LEb bX OMRIL
である. :
2. ABM, C莉の方が勝ちやすいと考えて, CHLLVS< HBTS ICH-BEB-C
君」の順が有利だと考えた.「C矯一B君一O君」の順で対戦するとき, A君がケー
キをも oxonians Fl cs,
(3) ある工場で生産された製品の中から 100 個を無作為に選んで調べたところ, 重さの平
均が 30g であった. 母標準偏差を 5 として, この工場の全製品の重きの平均 に対
する信頼度 95%の信頼区間は
[solsi]. [62] < m < [63164]. [65]
である. ただし, 小数第 2MEDREALT, 小数第1位まで求めよ。
(4) SRC, (0 ミミ7) に関する次の問いに答えよ.
ieCo ieCr + 16C2 + 16Ca + +++ tasCig _ 内
a rs 7 = [66/67] となる.
2Qag0i + 44902 +6 430s + 8.4gCu + +» + 86 aaCaa
2 ERS.
0: + oC +00; taCr + + 6Ca *
sont a
(RRA)
問10画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、方程式・不等式
(1) 出た目の最大が6 である確率は ーーにコー である.
C7]
(2) WB OBAAES である確率は である.
(3) 出た目の最大が5 であり, かっ最小が Ch SMR HH である.
ーョコー
」 Gane a
ーーュー
[a] に還る 2次方和式
V22-(L)"e428=0
が実数解をもつような実数 の値の範囲
回回
ee
である. REL, | 14| には。 次のいずれかの不等号が入る。 HUT SREET
ークすること.
as Bas er> d:2
ーーュー
(計算用余白〕
ー6 一
C7]
(2) WB OBAAES である確率は である.
(3) 出た目の最大が5 であり, かっ最小が Ch SMR HH である.
ーョコー
」 Gane a
ーーュー
[a] に還る 2次方和式
V22-(L)"e428=0
が実数解をもつような実数 の値の範囲
回回
ee
である. REL, | 14| には。 次のいずれかの不等号が入る。 HUT SREET
ークすること.
as Bas er> d:2
ーーュー
(計算用余白〕
ー6 一