同志社大学 2014年度 過去問・解答

[OMAR BS 103]
2014年度 入学試験問題
AAS PRR 政治経済 数学
* spparnreeceneunsesepram cou ssuste aout mete
i
= 意
a 0) ARAL, GSRSE, ghia - 2S. Ree 1A RRL PATS
4 Ske
(2) 解答用紙は各科目別になっている。
選択しない科目の解答用紙は、試験職始30分後に回収する。
SB, MRR BORDA SS,
(3) SAMUS PS ORAM MENRERRKO LSD SS
数 ee RRS 2 OT, BIS 1 BT. Bb 3 hae
SMPTE OM, WRAP Soe.
(4) WEST ACRE MMO MEM CHAT SIE.
(3) 聞題紙の余白は計算に使用してもよい。
(6 問題紙を角体して使用してはならない。
7) 試験開始後、韻題紙に落丁・損傷がないか確認すること。
ie) GRR TR, MMM APPS OES

数 aS
CL) 次の[| に適する数または式を、解答用紙の同じ記号の付い
た[| | の中に記入せま。
ceを実数とする。綴値を持つ3次関数(ryニーge について考える。
3次関数ッー fle) PRWEB a の満たすべき条件は | ア |
であり, そのとき, 極小値は| イ | である。 このとき, BATCH
BC ry = flo) 上の原点以外の点P(なかの) における下線の撲線了の
方程式は | ウ | と表せる。また, 曲線でと接線との点P以外の共和
点Qの座標?は。 a= | エ | となる。 he, AP ERS HMC LE
ORG, (7)) における接線が接組了と平行であるとき. r=
CHS, APQR の画積 47 を求めると M= | カ |である。 さらに.
HBR % 2 MED ATC t & > 0) だけ平行移動した曲線を とすると
き, この2曲線どとりとが軸なる2 つの共有点を持つためのょの満たす
べき条件は | キキ | CHS, TOL EO 2OOIAAO c MANE 0,8
f@<AEFSE, な= tH), p= | ケ | となる。この
とき, 2曲縮C と の とで闘まれる図形の面積 を求めると9=[ コ |
CID) 4を実数とする7に関する2 次方程式 +み9=0 ONDE
数になるとき, 次の問いに答えよ。
GQ) 解の1つを w とするとき, c(2一a) が実数でありかつ o(2—-a) <2
となるための pq の条件を求めよ。
(2) 眠部が負の解を 9 とする。(1] の条件のもとで HU - F) の実部をか
庶部を * として, 褒揚平面上の点P(r.7) の軌跡を求めよっ
(3) (2) で求めた軌跡上の点 P(z。y) と定点 Q(0.1) との距離が最小とな
るときぎの点P OMAR LIM PQ を求めよ。
ー 4一

CTE] 平邊上で鋭角三角形AABCO の外側に。 AE およびACを1辺とす
る正方形 AHFG、ACD をつくる。ただし, 1AH| = IAGI |AC| = [AB]
とする。線分 EG OWREM, 点Cから ABIC ES LABOR H,
直線 AM と CH の交点を P とする。AB = 4 AO HDL, jal =1,
[bl =t, CABS 9 とする。以下の問いに管えよ。

() AB-AC をも9を用いて表せ。

(2) BG をふち 9のを用いて表せ。

(3) 直線 AM と直線 BC が直交することを示せ。

(D AG 4届をそれぞれる 5 9を用いて表せ。

(5) APをるちのを用いて表せ。

(6) BP.ACを求めよ。

ーー
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M = yy
> rh 8 3

(1) 35 の26 乗。つまり25% は | ア | 桁の数であり, 最高父の数
字は | イ | である。ただし logy 2 = 0.3010, logy) 3 = 0.4771
とする。
(2) 座標空間内に4点 ACL, -1.4), B(3,0, 1), C(—2, 一ま2), D(0,6,4) を
とる。 ベクトル AB の大きさは | ウ | である。2つのベクトル
AB, AC の内積 AB・AG の値は であるので, AABC の
了積は | オ | である。また, 4面体 ABCD ich SRO
howms [| カカ | であり, この奈の半径は| キ | である。
(3) 袋の中に赤玉が2 個、 白玉が1 0個人っており, 1回に球を1 側ず
つ取り出す。ただし取り出した球は元に下さない。 1 囲目に赤玉を
取り出す確率は CHS. LSESUOLS, を回目に
初めて赤を取り出す確率は | ケ | である。したがって, 初め
て赤玉を取り出す回数の期待値は である。
CUD] : を実数とする。 関数 (<) = lp2(ァー3)| に関して, 次の問い
に答えよ。
(1) 関数 /(z) の増減た調べ9 = f(a) のグラブフを描け。
(2) 有線 = fle) と HR y = he が第1象限で接するようなんの値を
求めよ。
(3) 曲線 ゅ= fle) と RR y = ke の共有点の個数が4であるためのょ
の条鉢を求めよ。
(A) 曲線 ッー fle) と By = ke の共有点の個数が4であるとき, てこ
の4つの共有点の v 座短をそれぞれ求めよ。
—
mm

CHE] 0 fen} は Wie, = 1, QE 2 OM MRE TS, Ke
すく<ぁを満たすすべての2つの正の整数 ICM UCR aj +a, BRA,
その和として重振を許してできた数を大きくない順に並べかえてできる
BONE {0,} とする。したがって, b= ata = 4, bo = | +03 = 6,
by = 8, bg = 8 となる。とこのとき次の問いに答えよ。
(1) 正の整数 に対して等差数列 fg。] の一般項 ay を求めよ。
(2) bes bis をそれぞれ求めよ。
(3) aj + ay = 2014 (RIEL J < kh) を満たす2つの正の整数の紺 (紀
の人鍋数を求めよ。
(3) N を』以上の整数とする。数列 {81 で丁度 N 固出現する数が2
つある。これらを 4. B(A<B) ETS, COLE, A BREN
ぞれ WV を用いて表せ。
cel
(5) Soop, の値を求めよ。
s=1.
ー 4一
vet

(1) ADRS, HAR, Li RR, BAe 1 科目を選択し解符する
2) SAMA TEESE tro CH
| 選択しない科目の角符用紙は、吉有開始30分彼に回収する。
なお、加肥後は科目の変更はできない。
| (9) 服飼用紙には受也稚号の記入憎がそれぞれ次のようにある。
世界昌...ー......3 か所
Bid REG 8 aE
数 Beceem QTE 2 DBR, YEE 1 Di, ES ap
ABE BIER, OIMEITHRAT SCE.
(2) ASAE SCHEMA ODE RIMILAT Bo Ee
(5) 問題区の余自は計算に使用してもよい。
te) 問題区を解体して使用してはならない。
(7) 試験始後、問題区に次丁・損作がないか確認すること。
(5) 試験終了後、韻題区は各自持ち帰ること。

数 学
CL) 次の [| ] に適する数または式を, 解答用紙の同じ記号の付い
た [| の中に記入せよ。
1 つのサイコロを 2度投げ, 最初に出た目を 。 EL, 次に出た目を5
とする。 原点をO Ce SMMC, HA + Y= 1 cme
れる直線とを考える。z 座標 HARE GCM CHS REM EME US
こととにする。

TL NEL + y = 0 と平行である確率は CHS. 直線
と原点0 との距離が3以上である確座は である。

ath, y則および直線で男まれる 3 角形の面積を 9, HORT と
する。との3角形の面積らが3以上である確率は である。こ
3 IEDR S の値が和弥数値である確塗は である。この3
角形の周の長さ7が7以上である確率は である。この3舟形
の周の長さ 7が1 1以上である確率は である。

第1人限において直線上にある格子点の個数が0 である確率は
である。第 1 象限において直線 / 上にある格子点の個数が 1 である確率
は である。第 1 休限において直線ん上にある格子点の個数が
2 である確率は である。第 1 象限において直線上にある格
子点の個数が3以上である確率は である。

CI) 9を0< 9 <を満たす定数とする。頂がの.底辺の長さが」1で
ある AABC について考える。 DEY, ZA =の BOニ 1 とする。AB= 2,
AC=y とおく。以下の問いに答えよ。

(1) 9 の満たす関係式を 9を用いて表せ。

(2) 辺 ABの長さょの取り得る値の最大千を 9を用いて表せ。

(3) SABC の面積"を *、ヵ.9 を用いて表せ。

(4) AABC の面積 @の取り得る値の最大領を9を用いて表せ。

(5) AABC の周の長さんの取り得る値の最大値をりを用いて表せ。
ーー Be

CTL) 駿要平面にねいて, 放物線び:リニーダ Ey MLO (0,p) %
中心とする半径1 の円 sa? + (y—pP = 1 について, 以下の間いに管
えよ。
(1) 放物線Cと円の。 が共有点を持つための p の値の塊囲を求めよ。
(2) 放物線どと円 の, が共有点をただ 1 つ持つときヵ の値を求めよ。
(3) 放物線どと円の, が共有点を2つ持ち, 放物線どのが円。 を2つの
部分に分けるような ヵ の値の移囲を求めよ。
(1) 放物線でと円の が共有点を3つ持つとき ヵ の値を求めよ。
(5) 放物線〇と円の, が共有点を4つ持つとき ヵ の値の縮囲を求めよ。
(6) 放物線どのと円 。 が共有点を2 つ持ち、円 の。 DWE yz に合
まれるとき ヵ の値を求めよ。またそのとき, MMLC LIC, CHR
EN SRE CTH Cy の外部にある図形の面積を求めよ。
co

(1) 2つの定数 A, お に対して1次式 が(x) = Avot BR, 関係式
ri
fla) = 3x14 / ビー a) f(tdt を満たすとする。このとき, A=
PA
(2) ヵ を正の整数とする。 数列 fo。) は, 初項 gi = 2 EL, 滞化式
dni = (~1)"an $3 を満たしている。 COLE, a= トウ ],
ay = である。また gspu = CHD, 初項から

第 2014 項までの和は Sa, = である。
e=1
(3) 2,4, 8, 16,32 ORBEA En EnBp Nie 5つの球の入っでいる袋か
ら元に戻さずに2つ球を順に取り出し, 最初の球に秋かれている数
FE a, 次の球に書かれた数字を5としメーlog,ちの値を計算す
& X の値の最大値を整数で表すと | キ | である。iog。5=3
となる a, b DEL (の は 通りある。メ の値が整数とな
aims | ケ | THO, X MMOH Hs である。
CHE) S87 Mowe, 放物線C:ッーデと2点き(も1. BE24)
を考える。また, -ま<#< 2 を満たす実数# に対して, 放物線上の点
PLP) を考える。とのとき次の問いに答えよ。
(1) 2つのベクトル PA, BB OAM PA. PB の値を を用いて表せ。
(2) 2つのペクトル PA BU のなす角を 9 (0 <@ om) とする。 このと
き cos6 Dike AMAURY. Boe Toes one:
を用いて表せ。 -
(3) 1 Let <2 を満たしながら変化するとき, ZAPB が最小とな
Bt の値を求めよ。
ーー

(ID) 。』cを実数とする。0ミッミィで定義された2つの関数
f(a) = sine +asin2e
g(x) = sing + Qbsin 2x + csin Se
について, 次の問いに答えよ。
(1) 0Sz Sr において fa) 20 となるような c の値の範囲を求めよ。
2) (be) 平面上において, 円 5:だどー。=0 上の点 Ga にお
ける接線の方程式を求めよ。
(3) 5> 0.c> 0 であり, b> 20 とする。0 ミッミァにおいて gn) 20
となるようなちらocの条件を求め(5.o) 平前に図示せよ。
(4) b> 0.c > 0 とする。0S* ミィに所いて g(x) 2 0 となるようなら
c の条件を求め, (b,c) 平面に図示せよ。
ag

(1) 4はg > 0を満たす実数とし、3次関数(>) = a8 an? +0 を考える.
COLE, 7(*) は* = ChE EB. また, f(x) =ニ9
が. ただ」 つの実数解を持つための条件は a < である. 次
に, 関数 g(x) =e" F を考える. g(a) の最大値は であ
り, 曲線ッー g(a) の第1 象限にある変曲点の座標は で
HS. さらに>軸上の点 (p, 0) (p > 0) から曲線ャ= 9() への接線
がただ1つ引けるための条件はヵ< である.

(2) 初項 ga、公比 7 が正の数である等比数列 lo。} について cz = 6,
a5 = 48 が成り立っている. COLE, g=[_ カ |.ァ=
CHS. したがって, tat ate +a = となる.
Oy = ari とすると数列 (5。) も公比 の等比数列とな
り.カキキめす后キーーキ = である.

ii 1 0
(Il) a= 2 9=| 」 」 とする 店要上
0 1 で

3点 O(0,0), P(0,2), Q(10,-5) をとる. 次の問いに答えよ.

(1) 行列 AP と AS を求めよ.

(2) 475 Av とPe=1.2.3...-) を求めよ.

(3) 行列4" の表す1 次変換による点Pの像をP。, 行列お" の表す1 次
変換による点 Q の像を Q。 とする. AP, と点 Q。 の座標をそれぞ
れ求めよ.

(4) AOP。Q。 の面積 9@。 を求めよ.

(5) 5。 の最小値と. そのときの n の値を求めよ.

ーュー
au

CI) 如介変数表示
{ 0 <
y = sin (24)
CHASMBLE の とする. 次の問いに答えよ.
(1) HBR の 上の点で, 座標が最大となる点の座標をすべて求めよ.
また, 座標が最小となる点の座標をすべて求めよ.
(2) i © ET 2 = =a なー0 ター a EDL OMMET AT
求めよ.
(3) 曲線 〇 が 軸に関して対称であることを示せ.
(4) REPT LICH C OMI.
(5) wba C が囲む図形の面積を求めよ.
CIV] 次の問いに答えよ.
(1) > 0 のとき, 次の不等式が成立することを示せ.
a a? at
*ーテ <log(+2)<2- +>
(2) ARE tia (« jog ( + *) ピ 1) を求めよ。
eal
(3) MEOILG lim ニーー を求めよ.
9 眼科 imam (ome — 1) EHH Ji (ecm tie -1) をそれ
a ks
ぞれ求めよ.
9 Wat yn ( (1キミ) — 6) をポめよ
ーーラー
mu

(1) BON {an} がgm = 1, anys = day +1 で与えられているとき。
a= THO, COMES a, = となる. Et,
orr2 4を5で割った余りは CHS. TOT, cg。を5で
割った余りを0. ETS. COLE, by = 5 =
an
CHO, Sanh, = である.
kel
(2) HEBD MTZ UvT 1 次変換げによる点 A(2.0) の像は点C(4.0) CH
り, 点 B(0.4) DAREN C(4.0) であるとする. このとき,了による点
D(3.2) の像は点( ) ) である, 次に, 放物線上を
動く上(も2 + 1) (10 ミ! ミ の のによる像を県 0 とする、
HE QD a PERRO HA (tek であり, EDLEORP Da ME
ims である.
[ II ] 座根空間において原点 O(0.0.0) と, 3 点 A(a,a.b), Bla.b,a),
C(b,a,a) (b > a 0) を頂点とする四面体 OABC を考える. 次の問いに
答えよ.
(1) AABC の面積を求めよ.
(2) 四面体 O0ABC の体積" を求めよ.
(3) 四面体 0ABC が正四商体となる条件を.,ぃとりを用いて表せ.
（続きは問題PDFで確認できます）