関西大学 1999年度 過去問・解答

関西大学1999年度（A日程・文学部）の数学について、大問3題の解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

〔I〕指数方程式（2段階の置換）

4^x + 4^−x − 10(2^x + 2^−x) + 14 = 0 を解きます。

1回目の置換

t = 2^x + 2^−x とおくと

t² = (2^x)² + 2·2^x·2^−x + (2^−x)² = 4^x + 2 + 4^−x

よって 4^x + 4^−x = t² − 2。方程式は

(t² − 2) − 10t + 14 = 0 ⇔ t² − 10t + 16 = 0 ⇔ (t − 2)(t − 8) = 0

t = 2 または t = 8。

2回目の置換（t から x へ戻す）

s = 2^x（s > 0）とおくと 2^−x = 1/s なので、s + 1/s = t、すなわち s² − ts + 1 = 0。

t = 2 のとき：s² − 2s + 1 = (s − 1)² = 0 より s = 1。したがって 2^x = 1、x = 0。

t = 8 のとき：s² − 8s + 1 = 0 より s = 4 ± √15。

√15 ≒ 3.873 なので 4 − √15 ≒ 0.127 > 0。両方とも正なので、どちらも s > 0 を満たします。

2^x = 4 ± √15 より x = log₂(4 ± √15)。

「4 − √15 > 0 だから捨てない」という確認が必要です。s > 0 を満たすかどうかを必ず吟味するのが指数方程式の鉄則。なお 4 + √15 と 4 − √15 は積が 1 なので、log₂(4−√15) = −log₂(4+√15) という対称な関係にあります（t = 2^x + 2^−x が x と −x で対称だから当然です）。

〔II〕表面積が一定の円錐で、体積を最大にする

高さ h、底面の半径 r の直円錐を考えます。

① 側面積と底面積の和

母線の長さは √(r² + h²)。側面の展開図は半径 √(r²+h²) の扇形で、その弧の長さが底面の円周 2πr に等しいので、中心角 θ について

θ/(2π) = 2πr / {2π√(r²+h²)} = r/√(r²+h²)

側面積 = π(√(r²+h²))² × θ/(2π) = π(r² + h²) × r/√(r²+h²) = πr√(r²+h²)

底面積 πr² と足して

② S = 1 のときの r²

1 − πr² = πr√(r² + h²)。両辺を2乗します（左辺は正であることが必要ですが、結果的に成立します）。

1 − 2πr² + π²r⁴ = π²r²(r² + h²) = π²r⁴ + π²r²h²

π²r⁴ が両辺で消えて 1 − 2πr² = π²r²h²、すなわち 1 = r²(2π + π²h²)。

③ A = 1/V を h で表す

V = πr²h/3 = πh/{3(2π + π²h²)} なので

A = 1/V = 3(2π + π²h²)/(πh) = 3(2/h + πh)

④⑤ V を最大にする h と、そのときの r

V を最大にする ⇔ A = 1/V を最小にする。2/h > 0、πh > 0 なので相加平均・相乗平均の関係が使えます。

2/h + πh ≧ 2√{(2/h)(πh)} = 2√(2π)

したがって A ≧ 6√(2π)。等号成立は 2/h = πh、すなわち h² = 2/π のとき。

このとき V = 1/A = 1/(6√(2π))。また π²h² = π²·(2/π) = 2π なので ② より

r² = 1/(2π + 2π) = 1/(4π)

「積が定数になる2項の和」を見つけたら相加相乗 — (2/h)×(πh) = 2π と、h が消えて定数になるのがポイントです。V を直接微分するより、1/V にして相加相乗を使うほうが圧倒的に速いという好例です。

〔III〕逆数の和と、約数による整数解の絞り込み

正の整数 a, b, m（0 < a < b）が 2/m = 1/a + 1/b を満たすとします。

積の形に変形する

両辺に mab を掛けて 2ab = m(a + b)。さらに2倍して整理します。

4ab − 2ma − 2mb = 0　⇔　4ab − 2ma − 2mb + m² = m²

左辺は因数分解できて

(2a − m)(2b − m) = m²

0 < a < b より 2a − m < 2b − m。また積が m² > 0 なので2数は同符号ですが、和 (2a−m)+(2b−m) = 2(a+b) − 2m。ここで 2/m = 1/a + 1/b < 2/a より m > a、また 1/a + 1/b > 1/b より m < 2b。実際には0 < 2a − m となります。

(1) m = 9 のとき

m² = 81 の正の約数は 1, 3, 9, 27, 81。2a − m < 2b − m なので、積が81になる組は

(2a − 9, 2b − 9) = (1, 81) または (3, 27)

（(9, 9) は a = b となるので除外）

(2a−9, 2b−9)	a	b	検算 1/a + 1/b
(1, 81)	5	45	1/5 + 1/45 = 9/45+1/45 = 10/45 = 2/9 ✓
(3, 27)	6	18	1/6 + 1/18 = 3/18+1/18 = 4/18 = 2/9 ✓

(2) m が素数のとき

m が素数なら m² の正の約数は 1, m, m² の3つだけ。

0 < 2a − m < 2b − m という条件から、(2a−m, 2b−m) = (1, m²) の1通りだけ（(m, m) は a = b になるので不適）。

2a − m = 1 より a = (m + 1)/2、2b − m = m² より b = (m² + m)/2 = m(m + 1)/2。

m が奇素数なら m + 1 は偶数なので、a, b はともに整数になります。

検算：m = 3 なら a = 2、b = 6。1/2 + 1/6 = 2/3 ✓　m = 5 なら a = 3、b = 15。1/3 + 1/15 = 5/15+1/15 = 6/15 = 2/5 ✓

この年の学習ポイント

〔I〕は置換を2段構えで行う問題、〔II〕は相加相乗で最大最小を処理する問題、〔III〕は積の形にして約数を数える問題。3題とも、微分を使わずに解ける「うまい手」が用意されています。

特に〔II〕で「V の最大 ⇔ 1/V の最小」と逆数をとって扱いやすい形に変える発想は、身につけておくと大きな武器になります。

関西大学1999年度は複数日程・複数学部で実施されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。