関西学院大学 2013年度 過去問・解答

関西学院大学2013年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

〔1〕(1) 絶対値を含む2次関数と、直線との共有点の個数

f(x) = −x² + 2|x − 1/2| + 1 を考えます。

アイ　絶対値をはずす

x ≧ 1/2 のとき：|x − 1/2| = x − 1/2 なので

f(x) = −x² + 2(x − 1/2) + 1 = −x² + 2x

x ≦ 1/2 のとき：|x − 1/2| = 1/2 − x なので

f(x) = −x² + 2(1/2 − x) + 1 = −x² − 2x + 2

ウオ　f(x) の最大値

x ≧ 1/2 のとき：f(x) = −(x − 1)² + 1。軸 x = 1 は範囲内なので、x = 1 で最大値 1。

x ≦ 1/2 のとき：f(x) = −(x + 1)² + 3。軸 x = −1 は範囲内なので、x = −1 で最大値 3。

2つを比べて

エ　x = 1/2 での値

f(1/2) = −1/4 + 0 + 1 = 3/4

グラフは「x = −1 で高さ3の山 → x = 1/2 で 3/4 まで下がる → x = 1 で高さ1の小さな山 → 下降」という W を上下逆にしたような形（M字型）になります。

y = a との共有点が4個になる a の範囲

M字型のグラフに水平線 y = a を引いたとき、交点が4個になるのは谷底 3/4 より上、低いほうの山の頂上 1 より下のときです。

a = 3/4 のときは3個（谷底で接する）、a = 1 のときも3個（右の山頂で接する）。境界で個数がどう変わるかを確認する習慣をつけると、不等号に等号を入れるべきかで迷いません。

〔1〕(2) 玉の取り出しと期待値

赤玉4個、白玉3個の計7個から同時に4個を取り出し、赤玉の個数を X とします。

全体の場合の数

₇C₄ = (7·6·5·4)/(4·3·2·1) = 35 通り

カ〜ケ　X の分布

赤 k 個・白 (4−k) 個を選ぶので、場合の数は ₄C_k × ₃C_4−k。白は3個しかないので k ≧ 1 です。

確率の合計は (4 + 18 + 12 + 1)/35 = 35/35 = 1。ここが合わなければどこかで数え損ねています。

コ　X の期待値

E(X) = (1×4 + 2×18 + 3×12 + 4×1)/35 = (4 + 36 + 36 + 4)/35 = 80/35

別解：赤玉の割合は 4/7 なので、4個取り出したときの赤玉の期待値は 4 × 4/7 = 16/7。期待値の線形性を使えば分布を求めずに検算できます（非復元抽出でもこの計算は成立します）。

この年の学習ポイント

(1) は絶対値を含む関数のグラフを描き、水平線との交点の個数を図から読む問題です。式だけで処理しようとすると場合分けが爆発しますが、グラフを描けば一目で答えが出ます。「山の高さ」と「谷の深さ」の2つの数値さえ求めれば十分です。

(2) は超幾何分布（非復元抽出）の典型問題。分布表を作ったら確率の合計が1、期待値は「取り出す個数 × 全体に占める割合」で検算する — この2つを毎回やれば計算ミスは残りません。

関西学院大学2013年度は複数日程が実施されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。