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解答の原本PDF
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藤原進之介です。このページでは立教大学2012年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
今日の一問
数列 は 、 をみたす。
一般項 を求めよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：2項間漸化式 an+1 = 2an + 12 。係数が 1 でないので等差でも等比でもありません。定数をずらして等比に落とすのがこの型の一手です。
1. なぜその一手を選ぶのか
an+1 = pan + q を見たら、最初に確かめるのは p が 1 かどうかだけです。p = 1 なら公差 q の等差数列で即終了。ここでは p = 2 なので、その道は使えません。
次に考えるのは「何を足せば、余分な定数項が消えるか」です。両辺に同じ数 β を足して an+1 + β = 2( an + β ) の形にしたい。右辺を展開すると 2an + 2β なので、2β − β = 12 、つまり β = 12 と決まります。この一手を選ぶ理由は「定数項を消すため」であって、公式だからではありません。
2. 解答
- 両辺に 12 を足すと an+1 + 12 = 2( an + 12 ) 。
- よって数列 { an + 12 } は公比 2 の等比数列。
- 初項は a1 + 12 = 4 + 12 = 16 。
- したがって an + 12 = 16 · 2n−1 。
答え： an = 16 · 2n−1 − 12
3. 検算（ここまでを1セットにする）
n = 1： 16 × 1 − 12 = 4 。初項に一致します。
n = 2： 漸化式からは 2 × 4 + 12 = 20 。一般項からは 16 × 2 − 12 = 20 。一致します。
漸化式の問題は、一般項を出したら必ず n = 1 と n = 2 を入れる。符号ミスと初項ずれはここでほぼ全部捕まります。
この型の一般化： an+1 = pan + q（p ≠ 1）は、つねに β = q / (p − 1) を両辺に足せば等比に落ちます。ただし q が定数でなく n の式になっている場合（an+1 = pan + f(n)）はこの手が効かず、両辺を pn+1 で割る、階差を取る、といった別の一手に切り替えます。どの分岐を選ぶかは第11章 数列で整理しています。
立教大学は数学だけでは決まりません。他科目の対策ページも用意しています。
- 立教大学 英語の対策——出題形式から逆算した解き方とオリジナル演習
- 立教大学 国語の対策——現代文・古文を型で崩す手順
立教大学 数学 過去問｜他の年度を見る
立教大学の数学の過去問は31年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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立教大学 2012年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- 関数・グラフ
- 指数・対数
- 整数
- 方程式・不等式
- 確率・場合の数
- 空間図形
この年度の出題範囲と傾向
2012年度の問題PDFでは、図形・三角関数、微分・積分、関数・グラフ、指数・対数、整数に関する語句や設問を確認できました。立教大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、微分・積分は31年度、関数・グラフは29年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 空間図形、指数・対数、ベクトル、確率・場合の数、図形・三角関数
2019年度
A 数 学 問題
1. 試験開始の指示があるまでこの問題財子を開いてはいけません.
2. 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています, HBの黒名筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ポボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この問題周子は8ページまでとなっています, RIE, RESIN TREE
認してください. eh, 問題番号は 1 一得となっています.
4. 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席杜の受験番号が, あな
たの受験索の番号であるかどうかを確認し, 出席黒の氏名欄に氏名のみを記入して
ください. なお, 出席票は切り見さないでください.
5. 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も天いてはいけ
ません.
6. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7 . 計算には, この間題同子の余白部分を使ってください.
1 - 8. この問題虹子は持ち帰ってください.
— A数1 一
TL. 交の窪凍アーケに当てはまる数または式を記入せよ. 鍵容は角守用紙の所定楓に記入せ
よ.
Ci) (r= 2y)? の展開式における aby? の係散は である.
(i) fe ー gr + 2)de =0 の等式を満たす定数 « の値は CHS.
(ii) 16208 TOKRRC, IBLVUTOVFACEMYD EHA0OKO MRS
faIC a B,
(iv) ARM 52 + 3yt2=15 を満たす自然数 yy, 2 の組の個数は 個であ
4.
(ヾ) SOx 6 M38 LCRA LEM SNP ASS. 点Pは, $4 IO EHR CHO
目が出るとその目の救に+ 3 をかけた政だけ移動し, 奇数の目が出るとその目の数に
ー LEDGER BITS, このサイコロを1 回振るときの点Pの到直線上の位置の
期待値は である.
(i) a =log,5, 6 =log,9 とおく、 log,150 を a, 5 を用いて姜すと であ
る.
(vi) BERR 2 が ーーイイ CHA BNEER, 224) となるような実数
a,b を求めると,g = b= である、ただし, i は虚数単位とす
a.
(vii) 0を原点とする座標平面上に長さが等しいベクトル OP= (2, 6) と OG がある.
OP と Od のなす角が + であるとき, 点Qの x 座標は CHE. KEL,
点Qの x 座擦は2より小さいとする.
— A数2 一
— A数3 一 」
TL. 2 aeamere L, Be fa} は
a = V2, (2a, +b) Oya = Ray — 2 (n= 1,2, 3....)
を満たしているとする、このとき, 次の問(i ) 一(ii)に答えよ. 解答は解答用紙の所定
MICRA,
(i) a &k ACHE,
(ii) a= となる k を求めよ.
(ii) (ii)で求めた について, g。 と amy を求めよ.
— Awa 一
— ARS 一
- oT. atta > 二 を溝たす定牙とする。鹿平面上の半竹 R の円 at+ (yak
は, 9 > 0 の表す領城にある. Al C, が放物線 ゅ=ァ* と共有する点は2 点のみである.
このとき, 次の間( i )一(闘)に答えよ. 解答は解答用紙の所定繝に記入せよ.
(i) 共有点の y 座標ねおよび a &, R を用いて表せ.
Gi) ALG, と放物線 = 22 OILERS BRAND 2 つの接線のうち傾きが正のも
のを 7 とする. / の式を KR を用いて表せ.
(ii) 点 (0,一 ) SHES SBE, の円 C が直線 CRT SLE, yr ERE
用いて表せ.
ー Ake 一
【以下余折】
— ART 一
A 数 学 問題
1. 試験開始の指示があるまでこの問題財子を開いてはいけません.
2. 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています, HBの黒名筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ポボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この問題周子は8ページまでとなっています, RIE, RESIN TREE
認してください. eh, 問題番号は 1 一得となっています.
4. 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席杜の受験番号が, あな
たの受験索の番号であるかどうかを確認し, 出席黒の氏名欄に氏名のみを記入して
ください. なお, 出席票は切り見さないでください.
5. 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も天いてはいけ
ません.
6. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7 . 計算には, この間題同子の余白部分を使ってください.
1 - 8. この問題虹子は持ち帰ってください.
— A数1 一
TL. 交の窪凍アーケに当てはまる数または式を記入せよ. 鍵容は角守用紙の所定楓に記入せ
よ.
Ci) (r= 2y)? の展開式における aby? の係散は である.
(i) fe ー gr + 2)de =0 の等式を満たす定数 « の値は CHS.
(ii) 16208 TOKRRC, IBLVUTOVFACEMYD EHA0OKO MRS
faIC a B,
(iv) ARM 52 + 3yt2=15 を満たす自然数 yy, 2 の組の個数は 個であ
4.
(ヾ) SOx 6 M38 LCRA LEM SNP ASS. 点Pは, $4 IO EHR CHO
目が出るとその目の救に+ 3 をかけた政だけ移動し, 奇数の目が出るとその目の数に
ー LEDGER BITS, このサイコロを1 回振るときの点Pの到直線上の位置の
期待値は である.
(i) a =log,5, 6 =log,9 とおく、 log,150 を a, 5 を用いて姜すと であ
る.
(vi) BERR 2 が ーーイイ CHA BNEER, 224) となるような実数
a,b を求めると,g = b= である、ただし, i は虚数単位とす
a.
(vii) 0を原点とする座標平面上に長さが等しいベクトル OP= (2, 6) と OG がある.
OP と Od のなす角が + であるとき, 点Qの x 座標は CHE. KEL,
点Qの x 座擦は2より小さいとする.
— A数2 一
— A数3 一 」
TL. 2 aeamere L, Be fa} は
a = V2, (2a, +b) Oya = Ray — 2 (n= 1,2, 3....)
を満たしているとする、このとき, 次の問(i ) 一(ii)に答えよ. 解答は解答用紙の所定
MICRA,
(i) a &k ACHE,
(ii) a= となる k を求めよ.
(ii) (ii)で求めた について, g。 と amy を求めよ.
— Awa 一
— ARS 一
- oT. atta > 二 を溝たす定牙とする。鹿平面上の半竹 R の円 at+ (yak
は, 9 > 0 の表す領城にある. Al C, が放物線 ゅ=ァ* と共有する点は2 点のみである.
このとき, 次の間( i )一(闘)に答えよ. 解答は解答用紙の所定繝に記入せよ.
(i) 共有点の y 座標ねおよび a &, R を用いて表せ.
Gi) ALG, と放物線 = 22 OILERS BRAND 2 つの接線のうち傾きが正のも
のを 7 とする. / の式を KR を用いて表せ.
(ii) 点 (0,一 ) SHES SBE, の円 C が直線 CRT SLE, yr ERE
用いて表せ.
ー Ake 一
【以下余折】
— ART 一
問2画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、関数・グラフ、整数、確率・場合の数
2012年度
aS -
1 数 * 問 題
注 意 」
1. 試験始の指示があるまでこの商題子を前いてはいけません.
2, 解答用紙はすべてHB の黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ポールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この間題王子はほ8ページまでとなっています. 試験開始後, ただちにページ数を確
認してください. なお, 問題番号は1一由となっています.
4, 解答用紙にはすでに受験番号が記人されていますので, 出席栖の受験番号が, あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 出席票の氏名欄に氏名のみを記入して
ください. なお, MMI ORES TK ERD.
5 . 解答は解答用紙の指定された解答搬に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません.
6 . 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください。
7 . 計算には, この間題司子の余白部分を使ってください.
8. この問是由子な持ち帰ってください.
|
ー | ー
次の科柚アーサに当てはまる数または式を記入せよ。 解答は解答用紙の所定拉に記入せ
&
G) s-発 yogis DEX, a +9 OVlt CF] である.
(i) EOE RAS Ma, beste ete ee wae e,
ree tenet) のとる値は イ ] である. REL, ates 0 とする.
Gi) BE 3個と黒玉 3 個が入っている袋から玉を 1 個取り出し, 色を調べてもとに戻す.
この試行を 3 回繰り返すとき, 白玉を 2 回取り出す確率は である.
Gv) BSR P(x) をャー1 で割った余りがー2.ェ一2 で割った余りが3,ァー3で
Moc OMB SW, P(x) を(>ー1)(ヶー2)(テー3) で割った余りは
L= 1でぁる.
(v) BOM {a,} はる=ー7 EMME 2a,.,=3a,+8 (ニー1,2.3...) で定め
らちれている. この致列の一般項は a, = である.
(vi) 平行思辺形ABCDにおいて, 辺ABを 2:1 に内分する点をE, 辺BCの中点をF ,
辺CDの中点をでとする. 線分CEと線分FGの交点をとすると,
AH= AB+ AD となる.
(wi) 関数7z) = 2? —2axr +a t6 がすべての実数 > に対して f(x) > 0 を満たす
ならば, 定数 < の値の取りうる範囲は, <a< となる.
(vit) 関数7(z)=gz2二gg寺1がが1)テー6と [Ur@rae=6 を満たすな
ら ば, 定数 g, ちの値はヶ=| コ | .ぁ5=| サ |であぁる. ただし,ア(z) は
f(z) の導関数を表す.
— 1数2 一
ん) エッー 16z +3 が定める座林平面上の曲線を C とする. この曲線
My 軸と交わる点をPとし,ア(z) hase において極小値をとるとする. >=g に
対応する曲線上の点を Q(a, /(<)) EFS. このとき。, ROW (i)~(W)EBAK, 解
答は解答用紙の所定析に記入せよ.
(i) 点Qの座標求めよ
(i) 点RをR(0,が(<)) で定める. APQR を ヵ 軸を中心にして回転きせて得られる
円北Mとそれに内接する円柱N を考える. 円柱Nの底面は, AMOS ET
BY, 半径が / であるとき, この円往Nの体積 & ァ の式で表せ.
(ii) 円往Nの体積 ア が最大となるような r とそのときの体積を求めよ.
— 1数4 一
TD. mospmiicm 2245-4 と円上の点P(1.ー/3), 0(一1. 3 ) meas
れている. 0く9くz のとき, 円上の点をR(2cosの, 2sin9) EL, ZQPR=a,
PQR一 とする. COLE, ROWM(i)~(W)CSAK. 解答は解答用紙の所定欄に
記入せよ.
(i) 点 (2 0) をA,点 (一2, 0) をBとするとき, 弧PARに対する中心角と弧
QBR に対する中心角を 9 を用いて表せ.
Gi) a, #をのを用いて表せ.
(it) 2sina=/Ssinf となるときの点Rの座標を求めよ.
— 1数6 一
aS -
1 数 * 問 題
注 意 」
1. 試験始の指示があるまでこの商題子を前いてはいけません.
2, 解答用紙はすべてHB の黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ポールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この間題王子はほ8ページまでとなっています. 試験開始後, ただちにページ数を確
認してください. なお, 問題番号は1一由となっています.
4, 解答用紙にはすでに受験番号が記人されていますので, 出席栖の受験番号が, あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 出席票の氏名欄に氏名のみを記入して
ください. なお, MMI ORES TK ERD.
5 . 解答は解答用紙の指定された解答搬に記入し, その他の部分には何も書いてはいけ
ません.
6 . 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください。
7 . 計算には, この間題司子の余白部分を使ってください.
8. この問是由子な持ち帰ってください.
|
ー | ー
次の科柚アーサに当てはまる数または式を記入せよ。 解答は解答用紙の所定拉に記入せ
&
G) s-発 yogis DEX, a +9 OVlt CF] である.
(i) EOE RAS Ma, beste ete ee wae e,
ree tenet) のとる値は イ ] である. REL, ates 0 とする.
Gi) BE 3個と黒玉 3 個が入っている袋から玉を 1 個取り出し, 色を調べてもとに戻す.
この試行を 3 回繰り返すとき, 白玉を 2 回取り出す確率は である.
Gv) BSR P(x) をャー1 で割った余りがー2.ェ一2 で割った余りが3,ァー3で
Moc OMB SW, P(x) を(>ー1)(ヶー2)(テー3) で割った余りは
L= 1でぁる.
(v) BOM {a,} はる=ー7 EMME 2a,.,=3a,+8 (ニー1,2.3...) で定め
らちれている. この致列の一般項は a, = である.
(vi) 平行思辺形ABCDにおいて, 辺ABを 2:1 に内分する点をE, 辺BCの中点をF ,
辺CDの中点をでとする. 線分CEと線分FGの交点をとすると,
AH= AB+ AD となる.
(wi) 関数7z) = 2? —2axr +a t6 がすべての実数 > に対して f(x) > 0 を満たす
ならば, 定数 < の値の取りうる範囲は, <a< となる.
(vit) 関数7(z)=gz2二gg寺1がが1)テー6と [Ur@rae=6 を満たすな
ら ば, 定数 g, ちの値はヶ=| コ | .ぁ5=| サ |であぁる. ただし,ア(z) は
f(z) の導関数を表す.
— 1数2 一
ん) エッー 16z +3 が定める座林平面上の曲線を C とする. この曲線
My 軸と交わる点をPとし,ア(z) hase において極小値をとるとする. >=g に
対応する曲線上の点を Q(a, /(<)) EFS. このとき。, ROW (i)~(W)EBAK, 解
答は解答用紙の所定析に記入せよ.
(i) 点Qの座標求めよ
(i) 点RをR(0,が(<)) で定める. APQR を ヵ 軸を中心にして回転きせて得られる
円北Mとそれに内接する円柱N を考える. 円柱Nの底面は, AMOS ET
BY, 半径が / であるとき, この円往Nの体積 & ァ の式で表せ.
(ii) 円往Nの体積 ア が最大となるような r とそのときの体積を求めよ.
— 1数4 一
TD. mospmiicm 2245-4 と円上の点P(1.ー/3), 0(一1. 3 ) meas
れている. 0く9くz のとき, 円上の点をR(2cosの, 2sin9) EL, ZQPR=a,
PQR一 とする. COLE, ROWM(i)~(W)CSAK. 解答は解答用紙の所定欄に
記入せよ.
(i) 点 (2 0) をA,点 (一2, 0) をBとするとき, 弧PARに対する中心角と弧
QBR に対する中心角を 9 を用いて表せ.
Gi) a, #をのを用いて表せ.
(it) 2sina=/Ssinf となるときの点Rの座標を求めよ.
— 1数6 一
問3画像OCR
検出分野: 整数、図形・三角関数、微分・積分、ベクトル、関数・グラフ
2012年度
C 数 学 問 題
| 注 意
| 1 . 試験開始の指示があるまでこの問題冊子を開いてはいけません.
2. 解答用紙はすべてHBの黒銅筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ボポールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この問題司子は 8ページまでとなっています. 試験開始後, ただちにページ数を確
認してください. なお, 間題番号は1 一四となっています.
4, 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席或の受験番号が、あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 出席票の氏名欄に氏名のみを記入して
ください. Bis, 出席票は切り離さないでください.
5. 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいサ
ません.
6. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7 . 計算には, この間題王子の余碧部分を使ってください.
8. この問題冊子は持ち帰ってください.
ー C数1一
上 交の空位アーケに当てはまる数または式を記入せよ。 解答はせ解和用紙の所定様に記入せ
FE
(i) (2 +94 x 982292 =2" とするとZ=[| ア | であぁる.
(ii) 座標空間に4点0(0.0.0),A(3.2.1), BU, 3,5), Cla, y, z) が
ある. ペクトル 0C は、ベクトル OA およびベクトル OB と垂直である. このとき,
(x,y, 2)= 4] C54, ただし,ょ>0,10CI= 1 とする.
(ii) i を眠数単位として, 複素数 = VT + VTi を考える. x と共役な被素数を =
とするとき, x 上記! の値は | ウ | である.
(iv) logge + logyy = 1 OLB, x? +y の最小値は である.
(y) 4つの数字0 , 1, 2, 6から, 18で割り切れる4桁の数を作るとすると[| ォ |
MOCKS, ただし, 同じ数字は 2 度以上使わないものとする.
(wi) cos 75° の値は CHS,
(O (2 - LY omemsticis 2 2 の係数は である.
(ii) 三角形ABCの外心をO0とする. ZOAC= 40°, ZOCB= 25° MLR,
ZAOC= であり, ZABO= CHS.
一 C数2 一
— C数3 一
T. sw {a} は, すべての自然数 ヵ に対して,
3 3
Banged
を満たす. このとき, 次の問(ji )一(后)に答えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.
(i) MR を求めよ.
(i) REZOER, a ををの式で表せ.
(ii) 数列 [上) を, すべての自然数 # に対して, ーーはよる により
定めるとき, Dy をヵ の式で表せ.
一 C数4 一
|
ーC数5 一
TD. reer ccc (s, 6) がある. ただし, 『く0 CHS, 点Pから放物線 C : pote
に引いた 2 本の異なる接線の接点をA, BETS, このとき, 次の問(ij)一(iv)に答えよ.
解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.
(i) MA, BO z 座標をそれぞれ a, とするとき, aq を s を用いて表せ.
ただし, 々く/ とする.
(ii) 2点A, Bを通る直線 1 の式を s と7 を用いて表せ.
(ii) 直線 7 と放物線 C で囲まれる部分の面積を S とするとき,$S を s Et EHD ー
て表せ.
(iv) 点Pが点 (0,一3) を中心とする半径2 の円周上にあるとき, S ORK, BE
び最大値を与える点Pの座標をすべて求めよ.
一C数6 一
[以下余白】
|
| — CRT 一
C 数 学 問 題
| 注 意
| 1 . 試験開始の指示があるまでこの問題冊子を開いてはいけません.
2. 解答用紙はすべてHBの黒銅筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ボポールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この問題司子は 8ページまでとなっています. 試験開始後, ただちにページ数を確
認してください. なお, 間題番号は1 一四となっています.
4, 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席或の受験番号が、あな
たの受験票の番号であるかどうかを確認し, 出席票の氏名欄に氏名のみを記入して
ください. Bis, 出席票は切り離さないでください.
5. 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいサ
ません.
6. 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
7 . 計算には, この間題王子の余碧部分を使ってください.
8. この問題冊子は持ち帰ってください.
ー C数1一
上 交の空位アーケに当てはまる数または式を記入せよ。 解答はせ解和用紙の所定様に記入せ
FE
(i) (2 +94 x 982292 =2" とするとZ=[| ア | であぁる.
(ii) 座標空間に4点0(0.0.0),A(3.2.1), BU, 3,5), Cla, y, z) が
ある. ペクトル 0C は、ベクトル OA およびベクトル OB と垂直である. このとき,
(x,y, 2)= 4] C54, ただし,ょ>0,10CI= 1 とする.
(ii) i を眠数単位として, 複素数 = VT + VTi を考える. x と共役な被素数を =
とするとき, x 上記! の値は | ウ | である.
(iv) logge + logyy = 1 OLB, x? +y の最小値は である.
(y) 4つの数字0 , 1, 2, 6から, 18で割り切れる4桁の数を作るとすると[| ォ |
MOCKS, ただし, 同じ数字は 2 度以上使わないものとする.
(wi) cos 75° の値は CHS,
(O (2 - LY omemsticis 2 2 の係数は である.
(ii) 三角形ABCの外心をO0とする. ZOAC= 40°, ZOCB= 25° MLR,
ZAOC= であり, ZABO= CHS.
一 C数2 一
— C数3 一
T. sw {a} は, すべての自然数 ヵ に対して,
3 3
Banged
を満たす. このとき, 次の問(ji )一(后)に答えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.
(i) MR を求めよ.
(i) REZOER, a ををの式で表せ.
(ii) 数列 [上) を, すべての自然数 # に対して, ーーはよる により
定めるとき, Dy をヵ の式で表せ.
一 C数4 一
|
ーC数5 一
TD. reer ccc (s, 6) がある. ただし, 『く0 CHS, 点Pから放物線 C : pote
に引いた 2 本の異なる接線の接点をA, BETS, このとき, 次の問(ij)一(iv)に答えよ.
解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.
(i) MA, BO z 座標をそれぞれ a, とするとき, aq を s を用いて表せ.
ただし, 々く/ とする.
(ii) 2点A, Bを通る直線 1 の式を s と7 を用いて表せ.
(ii) 直線 7 と放物線 C で囲まれる部分の面積を S とするとき,$S を s Et EHD ー
て表せ.
(iv) 点Pが点 (0,一3) を中心とする半径2 の円周上にあるとき, S ORK, BE
び最大値を与える点Pの座標をすべて求めよ.
一C数6 一
[以下余白】
|
| — CRT 一
問4画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、方程式・不等式、関数・グラフ、微分・積分、確率・場合の数
2012年度
K 数 学 問 題
+ 、
注 意 、
1. 試験開始の指示があるまでとの問題冊子を開いてはいけません.
2 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープベンシルで記入すること
になっています. 日の黒鉛筆 消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください
(万年筆 ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この間題民子は 8ページまでとなっています 試験開始後、をだちにページ数を確
WUTC ESO BS, 問題番号はI となっています.
4 . 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が, あな
たの受験時の番号であるかどうかを確認し, 出席時の氏名租に氏名のみを記入して
ください. なお, 出席票は切り離さないでください
5. 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいせ
ません
6 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください
7 計算には, この問題冊子の余白部分を使ってください
8. CORUM Hb T< EES
|
—~ K&l —
I. 次の空欄アーシに当てはまる数または式を記入せよ 解答は解答用紙の所定棚に記入せ
ま
(i) 方程式 ** 422+ ar +b =0O1LOOMAM 1-2: であるとまき, 実数解は
[7] でぁり,g=ニ| イ 5=| ウ |でぁる ただし. FER a, b は実数と
し, # は虚数単位とする ‘
Gi) サイコロを続けて 2 回振り最初に出た目が 4, 次に出た目が 5 ならば座標平面
上に直線 /: ゅ=gz 一ちを描く. この試行において, 直線 ! が放物線ゅ=ァ* と
相異なる 2 点で交わる確率は [ エ | CHS.
(ii) 不等式 oo + y+ Gr + dy — 1250 の表す領域の面積は CHS
Gy) ィェテーィ 、 ターカエ ChSLE, ty —2y'= カ | である
(vy) 0S0< 2 DLR, JF cosh sing=rsin(@+a) の形に変形すると,
ァー [しキ |. eg=ニ| ク | である. RAL, 0そく2r とする
(i) 実数からなる数列 1。| が a= 2ah, ムー4 を瀧たすとき, log。g。 =
である
(vil) 図のように東西6本, 南北 6 本の道路で区画された場所がある. 南西の端の地点A
から北東の端の地点Bへ行く最短ルー「 は 通りある
p® tt
oti
南
a®
— K数2 一
(Wi) 3次関数7(z) =x 3a2x +d (a > 0) が極大値13と極小値 一 19を持つな
らばg=| サ |.ぁ5=ニ[| シ | であぁる
一K数3 一
Th. 22xtge Cc) について. ROW) ~ GEA &, 解答は解答用紙の所定構に記
入せよ
(i) 2次方程式 (2) 一0 は2つの解2 — 3を持ち, と(5) 一 12 を満たす
このとき, F(z) を求めよ
(i) (i)で求めた子(z) が関数 /(z) を用いて
Forse f raat
ERENSLE, 関数 7(z) と定数 < の値をすべて求めよ ‘ -
(ii) 座標平面において, 曲線 = F(x) と曲線 ニア(z) とで囲まれる領域の面積を
求めよ
— k数4 一
‘
ーー数5 一
TD. weep ticocia(-1, 3), BOS, 15) と直線 HHRSHTHY, 2点A、B
は直線 7 に関して対称な位置にある. RI がァ軸と交わる点をCとし, 線分NBの
WHEMETS, 線分MA上に, 点Mと異なる点Pりをとる. このとき次の問(j)-(iv)に
答えよ
Ci) 点Mの座標と直線ABの方程式を求め
(i) HR] の方程式を求めよ
(ii) 点Pの x 座標を EFS, ZPCM=6 とおくとき, cosの9 を# を用いて表せ .
(iv) 直線 7 に関して, 点Pと対称な点をQとする SABPCQMELMBLESER,
t の値を求めよ
— K&6 一
K 数 学 問 題
+ 、
注 意 、
1. 試験開始の指示があるまでとの問題冊子を開いてはいけません.
2 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープベンシルで記入すること
になっています. 日の黒鉛筆 消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください
(万年筆 ボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この間題民子は 8ページまでとなっています 試験開始後、をだちにページ数を確
WUTC ESO BS, 問題番号はI となっています.
4 . 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が, あな
たの受験時の番号であるかどうかを確認し, 出席時の氏名租に氏名のみを記入して
ください. なお, 出席票は切り離さないでください
5. 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何も書いてはいせ
ません
6 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください
7 計算には, この問題冊子の余白部分を使ってください
8. CORUM Hb T< EES
|
—~ K&l —
I. 次の空欄アーシに当てはまる数または式を記入せよ 解答は解答用紙の所定棚に記入せ
ま
(i) 方程式 ** 422+ ar +b =0O1LOOMAM 1-2: であるとまき, 実数解は
[7] でぁり,g=ニ| イ 5=| ウ |でぁる ただし. FER a, b は実数と
し, # は虚数単位とする ‘
Gi) サイコロを続けて 2 回振り最初に出た目が 4, 次に出た目が 5 ならば座標平面
上に直線 /: ゅ=gz 一ちを描く. この試行において, 直線 ! が放物線ゅ=ァ* と
相異なる 2 点で交わる確率は [ エ | CHS.
(ii) 不等式 oo + y+ Gr + dy — 1250 の表す領域の面積は CHS
Gy) ィェテーィ 、 ターカエ ChSLE, ty —2y'= カ | である
(vy) 0S0< 2 DLR, JF cosh sing=rsin(@+a) の形に変形すると,
ァー [しキ |. eg=ニ| ク | である. RAL, 0そく2r とする
(i) 実数からなる数列 1。| が a= 2ah, ムー4 を瀧たすとき, log。g。 =
である
(vil) 図のように東西6本, 南北 6 本の道路で区画された場所がある. 南西の端の地点A
から北東の端の地点Bへ行く最短ルー「 は 通りある
p® tt
oti
南
a®
— K数2 一
(Wi) 3次関数7(z) =x 3a2x +d (a > 0) が極大値13と極小値 一 19を持つな
らばg=| サ |.ぁ5=ニ[| シ | であぁる
一K数3 一
Th. 22xtge Cc) について. ROW) ~ GEA &, 解答は解答用紙の所定構に記
入せよ
(i) 2次方程式 (2) 一0 は2つの解2 — 3を持ち, と(5) 一 12 を満たす
このとき, F(z) を求めよ
(i) (i)で求めた子(z) が関数 /(z) を用いて
Forse f raat
ERENSLE, 関数 7(z) と定数 < の値をすべて求めよ ‘ -
(ii) 座標平面において, 曲線 = F(x) と曲線 ニア(z) とで囲まれる領域の面積を
求めよ
— k数4 一
‘
ーー数5 一
TD. weep ticocia(-1, 3), BOS, 15) と直線 HHRSHTHY, 2点A、B
は直線 7 に関して対称な位置にある. RI がァ軸と交わる点をCとし, 線分NBの
WHEMETS, 線分MA上に, 点Mと異なる点Pりをとる. このとき次の問(j)-(iv)に
答えよ
Ci) 点Mの座標と直線ABの方程式を求め
(i) HR] の方程式を求めよ
(ii) 点Pの x 座標を EFS, ZPCM=6 とおくとき, cosの9 を# を用いて表せ .
(iv) 直線 7 に関して, 点Pと対称な点をQとする SABPCQMELMBLESER,
t の値を求めよ
— K&6 一
問6画像OCR
検出分野: 微分・積分、関数・グラフ、指数・対数、確率・場合の数、図形・三角関数
2012年度
N 数 学 問 題
注 意
1 . 試験開始の指示があるまでこの問題冊子を開いてはいけません.
2 . 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ポボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この問題冊子は 8ページまでとなっています, 試験開始後,.ただちにページ数を確
認してください. なお, 問題番号は 1 一相となっています.
4 . 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が, あな
たの受験昧の番号であるかどうかを確認し, 出席昧の氏名欄に氏名のみを記入して
ください. なお, 出席票は切り離さないでください.
5 . 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何もる書いてはいけ
ません.
6 . 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
| 7 . 計算には, この問題冊子の余白部分を使ってください.
8. この問題冊子は持ち帰ってください.
= NALS
DL. 次の二手アーコに当てはまる数または式を記入せよ。 解答は解和用紙の所定般に記入せ
(i) 方程式 (ェ+3)|zー4|+ 22 +6=0 の解はターニ[ ア | である.
(ii) BHR y = 29-32? +1 LOR (1一1) における接線が, 放物線 = ax? +a
と接するとき, a= CHE. REL, ga > 0 とする.
(ii) shyt zara t oi となる実数 g。 9 を求めると,gー トウ|.ゅ=
CHS. KEL, i (は虚数単位とする.
(iv) 白玉4 個と赤玉 2 個が入っている袋がある. この袋から同時に玉を 3 個とりだす
とき, 白玉の数がちょうど 2 個である確率は | オ | CHS.
(v) amの= のとき, = [FH] である. RAL, 0 <の<今 とする.
(vi) 実数> がェ>1 の範囲を動くとき. logyx + 3log,3 の最小値は であ
る.
(vi) UR fC) が実数 a に対して, 等式 / 7の0カーメオメー6ーのー9 Ei
たすとき, a の値は である.
(vii) AABCの辺BC上に点Dがあり, 人へABDとAACDの面積の比が 3:2 であると
き, AD=| ヶ | AB+| コ | ACであぁる.
— N数2 一
©
— RN数3 一
TL. ween bic2 50m Me ター & Gi y= xttd2 +6 がある。 2つの
放物線 と の交点をP、Qとする. REL, PO x 座標の値はQの z BROT
よりも小さいものとする. Ek, 放物線 C。 の頂点をとし, 原点をOとする. このとき」
次の問( i )一(品)に答えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.
(i) 2点P, Qの座標を求めよ。
(i) WHORE, 2つの放物線 とで囲まれる部分のうち,点Pを含む部分の面
MES とする.S を求めよ.
(ii) 線分ORの中点をMとする. 線分OMと線分MQと C とで囲まれる部分の面積を
7 とする. 7 を求めよ.
— N数4 一
ーー |
|
|
|
!
|
一N数5 一 |
Tl. 生補面上に原点中心とする半径1の円 C がある. 点P(ヵ, 0) と点Q(0,2)
を通る直線が円 と 上の点Rにおいて円 C と接している. ただし,ヵ>1,g>1 EF
る. COLE, 次の問( i )一(iv)に答えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.
(i) 。 をヵ を用いて表せ.
(i) 線分PRの長さを#: とするとき,ヵとをを用いて表せ.
(ii) 3点0, P, Qを通る円の直径を d とするとき, 9? を7を用いて表せ.
(iv) g の最小値を求めよ. また, そのときの ヵ の値を求めよ.
ーー数6 一
ear)
|
|
|
— NRT 一
N 数 学 問 題
注 意
1 . 試験開始の指示があるまでこの問題冊子を開いてはいけません.
2 . 解答用紙はすべてHBの黒鉛筆またはHBの黒のシャープペンシルで記入すること
になっています. HBの黒鉛筆・消しゴムを忘れた人は監督に申し出てください.
(万年筆・ポボールペン・サインペンなどを使用してはいけません.)
3. この問題冊子は 8ページまでとなっています, 試験開始後,.ただちにページ数を確
認してください. なお, 問題番号は 1 一相となっています.
4 . 解答用紙にはすでに受験番号が記入されていますので, 出席票の受験番号が, あな
たの受験昧の番号であるかどうかを確認し, 出席昧の氏名欄に氏名のみを記入して
ください. なお, 出席票は切り離さないでください.
5 . 解答は解答用紙の指定された解答欄に記入し, その他の部分には何もる書いてはいけ
ません.
6 . 解答用紙を折り曲げたり, 破ったり, 傷つけたりしないように注意してください.
| 7 . 計算には, この問題冊子の余白部分を使ってください.
8. この問題冊子は持ち帰ってください.
= NALS
DL. 次の二手アーコに当てはまる数または式を記入せよ。 解答は解和用紙の所定般に記入せ
(i) 方程式 (ェ+3)|zー4|+ 22 +6=0 の解はターニ[ ア | である.
(ii) BHR y = 29-32? +1 LOR (1一1) における接線が, 放物線 = ax? +a
と接するとき, a= CHE. REL, ga > 0 とする.
(ii) shyt zara t oi となる実数 g。 9 を求めると,gー トウ|.ゅ=
CHS. KEL, i (は虚数単位とする.
(iv) 白玉4 個と赤玉 2 個が入っている袋がある. この袋から同時に玉を 3 個とりだす
とき, 白玉の数がちょうど 2 個である確率は | オ | CHS.
(v) amの= のとき, = [FH] である. RAL, 0 <の<今 とする.
(vi) 実数> がェ>1 の範囲を動くとき. logyx + 3log,3 の最小値は であ
る.
(vi) UR fC) が実数 a に対して, 等式 / 7の0カーメオメー6ーのー9 Ei
たすとき, a の値は である.
(vii) AABCの辺BC上に点Dがあり, 人へABDとAACDの面積の比が 3:2 であると
き, AD=| ヶ | AB+| コ | ACであぁる.
— N数2 一
©
— RN数3 一
TL. ween bic2 50m Me ター & Gi y= xttd2 +6 がある。 2つの
放物線 と の交点をP、Qとする. REL, PO x 座標の値はQの z BROT
よりも小さいものとする. Ek, 放物線 C。 の頂点をとし, 原点をOとする. このとき」
次の問( i )一(品)に答えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.
(i) 2点P, Qの座標を求めよ。
(i) WHORE, 2つの放物線 とで囲まれる部分のうち,点Pを含む部分の面
MES とする.S を求めよ.
(ii) 線分ORの中点をMとする. 線分OMと線分MQと C とで囲まれる部分の面積を
7 とする. 7 を求めよ.
— N数4 一
ーー |
|
|
|
!
|
一N数5 一 |
Tl. 生補面上に原点中心とする半径1の円 C がある. 点P(ヵ, 0) と点Q(0,2)
を通る直線が円 と 上の点Rにおいて円 C と接している. ただし,ヵ>1,g>1 EF
る. COLE, 次の問( i )一(iv)に答えよ. 解答は解答用紙の所定欄に記入せよ.
(i) 。 をヵ を用いて表せ.
(i) 線分PRの長さを#: とするとき,ヵとをを用いて表せ.
(ii) 3点0, P, Qを通る円の直径を d とするとき, 9? を7を用いて表せ.
(iv) g の最小値を求めよ. また, そのときの ヵ の値を求めよ.
ーー数6 一
ear)
|
|
|
— NRT 一
