上智大学 2007年度 過去問・解答

(1) BD = [=] ZBCD = 7 である。
eal

(2) 四角形ABCD の面積は = である。

(3) AO の面積は a7 CHS,

(4) 3 BC, CD, DA に接する円の面積は ーーニィ である。
oes 5 AK-H-01

ヵを自然数とし, 座標平面上の直線
é, 2 8a+5y=n
を考える。 cAMRL y GARD BICOL EDBR CHS 6。 上の点の個
数を W(n) とする。例えば, W(1) = N(2) = N(4) =0であり,ヵ=3
DEE, 条件をみたす ly 上の点は (1,0) のみなので (3) = 1 CHS,
(1) QO) = we) = である。
(2) vii) = [ # ]. vara) = である。
(3) N(n) = 2 となる最小のヵは である。
(3) N(n) =0 となる最大のヵは である。
(5) 自然数 m,n (m<n) は
N(m) = N(m+1) =+++=N(n)=1
をみたすとする。 ヵーカ が最大となるのは= トト=
のときである。
ー6 一 AK-H-01

(1) 有理数, 5が等式
(logs 3) (log, 8) + log, 6 = a + blog, 3
BARTER, a= =, p- = cH,
(2) 9 を実数とし, 7 を虚数単位とする。複素数 + yi BSE
(3 = 28)(x + yi) = 11 — 16%
をみたすとき,ェ= 4中 である。
3 0 <9<90* Coos = Te のとき
6 1
3 ( )
である。
(4) P(z), Q(z) を z の整式とする。ア(z) は P(2) = 3, P(-3) = -22
をみたし, P(<)0(?) を デキァー6 で割った余りは 109z十245 であ
る。このとき P(x) を 2キァー6 で割った余りは [= ]=+
であり, Q(x) a2 +2-6 で割った余りは レシ|+ である。
— fo AK-H-02

[2] い<っかのきいころを同時に投げるとき, 出る目の最大値を M, 最小
値をmw とする。
(1) 2 つのさいころを同時に投げるとき,
M=6 となる確率は 一一二, 47 = 5 となる確率は 一一一,
M=4 となる確率は =— CHS,
また5SmS6 となる確率は 一一二 である。
(2) 3 つのさいころを同時に投げるとき,
47=ニ6かつ才=4 saas Led,
M=5POm=2 となる確率は 一一二 であぁる。
= 泊 > AK-H-02

[3] 。 の2次式 7@) Be 284 as に対して, HEBER Lo Hitint
Ciッりー7(Z) と円 0 : 22が=1を考える。
Q) & 條人 における円 O の接線を ? とする。? の方程式は
[sJe+ Le] y [2 ]e=2
ee 軸となす角は (ws se ) である。
V
HE OIL ((*] ; Ty? において C に接する。
(2). (p.f(p)) における C の接線を 6, とする。6 の方程式は
(r+ [4 |)e+ [4 ] [eves [¥ Jot
CdS. b が円 O と接するとき, & LAL ORE 1 tec
?は1の| * | であるか,
[=]; ]+y
のいずれかであることがわかる。
(9= [*].r= とする。C O2DOBML, 4 とC LTH
|
snemnonis イーー でぁぁ。
ー6 一 AK-H-02

ーー ーーニーニーー ーーニーニニーーニニーーニニーーニーニーニー ーー ーー

(1) の と Ch が異なる 2 点で交わるための必要十分条件は
である。このとき, の」 と OH の2つの交点を通る直線の方程式は
である。
(2) = 1 とする。このとき, の」 と 〇 の両方に接する直線は2 本あり」
byt v-7([F e+ aD)
で与えられる。ここで > である。また, O Fic
bY, Cy, の, & で囲まれた図形の面積は + | ぇ|/
である。
ー 5一 AK-H-03

[3] AOxY において OX = OY = 5, ZXOY = 30° とする。M を辺 XY
ORE L, ZeOLZ=2 となる線分 OM 上の点とする。また, AP,
Q, R はそれぞれ線分 OX, OY, OM 上を動くものとする。

|-?
(1) 点 2と直線 OX の距離はユーー リー である。
(2) OR = 1 のとき, RQ+QZ の最小値を とすると,
(3) RQ+QZ は 0Q = 用| - /| ^|.oR = | > | の
とき, 最小値 をとる。
(4) RP+PQ+Qz 18 OP = リ| ャ| - 川= oe= |
OR = のとき, 最小値 /| | をとる。
6 = AK-H-03

O
P
Q
xX M は
=e AK-H-03

(1) APP,P。 の面積 9 は,
EEIEMEIEE当EMIE
の3つの値をとりうる。ただし, 8 <あく名 とする。
(2) S=S, となる確率は, 一ーー であり, 9 = 3。 となる確率は, Kt
た
である。これより, 面積の期待値は ーー となる。
ーー 一 AK-H-05

[2]G) ge- = 回EE [v ]=+ EE [# ]=+
である。
(2) 4 次式 7/(z) = 5a4 + 203 — 1a? + 4z に対して, 和
=2し7(6 (n= 1,2,3,--)
k=1
を考える。 定数 4 の,の,ぢを
f(x) = A{a® — (x — 1)°} + B{x* — (e — 1)"} + C{a* — (@ -1)}
+ D{x? —(r@-1P}+E
を満たすように定めると,
となる。これを用いて 8,。 を計算することができる。たとえば, 9q
を
Sip = 2% x 3° x 5° x 114 x 13°
(a, b,c, d,e は0 以上の整数)
と素因数分解して表示すると
となる。
ia Ge AK-H-05

図のように, 1辺の長さが1の正方形 ABCD の中に, 点〇を中心とす
る半径1の四分円 Orがある。
(1) 四分円 0 と辺 AB。AD とに接する円 O, の半径を とすると,
である。
(2) FLO, と辺 AB,AD とに接する円の半径は。
HE
である。
(3) 円 の, EDF Op, 辺ABに接する円 0。 の半径をヵ EFS. FO:
と辺 AB との接点をE, FO, と辺 AB との接点をFとするとき,
EF? = 回 FB? = [+ ]n. EB? = [=n
となる。
(4) 一般に四分円 0。 と辺 AB に接する円 0。 の半径を 。 とし, 四分円
Oo, 円 0。と辺 ABに接する円 O。 の半径をmi EFS, LOE
き. 次の関係式が成立する。
この式の両辺を 、/記な で割れば, ma に関する深化式が得られ
る。ソなは
Pl
Vig = == ーー
1+ (n+ |
である。
= AK-H-05

(1) 図のように, 横 1 列に並んだ 3 つの正方形の場合, 塗り分ける方法
は 通りである。
(2) MOE Dic, ME 3 列・横 2 列に並んだ 6 つの正方形の場合, 塗り分
ける方法は 通りである。
(3) 図のように縦 3 列・横 3 列に並んだ 9 つの正方形を塗り分けよう。
[Alglc|
回回回
lelgi |
() 赤・青・黄のうち 2 色だけを使う方法は 通りである。
(ii) E が赤で塗られているとする。このとき,
B・D・F・H が全て青である方法は 通り
B・D・F・H のうち 3 つが青である方法は | = | 通り,
B・D・F・H のうち 2 つが青である方法は 通り
である。これより, E をボで塗る方法は全部で 通9である。
—s— AK-H-04

平面上に 1 辺の長さが 2 の正方形 9 がある。

以下では, 「9 に属する点」とは, 正方形 9? の内部および周上の点の

ことをい 25。

a を正の実数とし, この平面上の点に対する次の条件を考える。
。 [条件 Al S に属する SR との距離が 1 以下
。[条件B] 9 に属する LOR との距離も 以下

(1) [RIE A] を満たす点全体のなす領域の面積は + [|= で
ある。

(2) (AEB) を満たす点が存在するような a の範囲は。
ae である。

(3) [AEB] を満たすどの点も 5 に属するような a の範囲は。
a である。

(4) 5 に属するどの点も AEB] を満たすような o の範囲は,
a である。

(5) [条件 Al を満たすどの点も [条件 B] を満たすような a の範囲は,
az である。
(a) 1 (b) v2 (c) 2 (@) V5
@ v2 0 3 (@) vO @ 4
(i) V2-1 13 1+V2 (k) 1+2V5 (l) 2422

ous (GF aus AK-H-04

(1) f(a) = 0 となるのは,ァ= のときである。
(2) f(z) = -1 となるのは。

のときである。ただし, は奇数とする。
(3) f() 2 = のとき, BME をとる。
(4) 7() = a BBS 2 つの実数解を持つのは, <e<
のときである。
—4— AK-H-06

[2] 。み0 とする。
(1) z に関する 2 次方程式
le 1 1 ュー
an a
BEE bOI, a = のときである。
(2) この 2 次方程式の 2 つの解を o,8 EFS, az のとき
である。
(3) 放物線 i 1 it g
“ ee ic ees
Cc: ya oe ra
の軸の方程式は z = == CHS. gwがno>0 の範囲で変化す
BEX, の が通らない点 (z」9) の全体を の とする。
ri (0.-5) はりに
(i) & (-ぅ9) はりに
ii) (-1,-3) はりに
(iv) & (-ぅっり はりに
a 届する。 b. MARV.
(4) |z| S Llyl $1 の範囲にある D OAT, z も y DHKCHZAL
個ある。
— 8 こ。 AK-H-06

[3] 立体 ABCD-EFGH において, 1 つの頂点 A から, それと面を共有し
EVER G まで, 辺 または 面の対角線 をたどって進む経路を考える。
H
G
E
C
A
B
aw 3 本からなる経路は | | 通りである。
(2) 対角線1 本と辺 1 本からなる経路は| 7 |通り である。
(3) 対角線1 本と辺 2 本からなる経路は| 7 |通り である。
(4) 対角線 2 本と辺 1 本からなる経路は| チ |通り である。
(5) 対角線1 本と辺 3 本からなる経路は| ツ | 通りである。
ただし, 同じ辺は 2 回通らないものとする。
ー6 一 AK-H-06

(1) fc) は連続な2次導関数をもつとする。
P: f(a) は極値である
Q: fila) =0 かつ f"(a) >0
に対しのはのの |ぁ|
同じPと
Q: fila) = f"(a) =0
に対しどのはのの
(2) PryS2t2 MD y>—Z042
Q:ySrxt+3 Md y>—2r+2
に対しのは0O の [3 ]-
(3) 4.,O は2 次正方行列で O は堆行列とする。
Pr4= (: a) とするとき ad—be #0
Q: AB= ( aa ) となる が存在する
IHL PQ OD |ぇ|
同じのと
Q: AB=OMDBEO となる 太 が存在する
に対しどはのの [ぉ|
ー3 一 AK-H-07

(4) アァイオ9キッニー1 PD sytyzter=-1 DD zyz=1
Q: rtytz = -1L かつz2+Tg7+T22 ニーニ3かつZ9上の9十23 = -1
ETS. このときりはのの| か|
から の選択肢
(a) 必要条件であるが十分条件ではない
(b) 十分条件であるが必要条件ではない
(c) 必要十分条件である
(d) 必要条件でなく十分条件でもない
ーォ4一 AK-H-07

[2] ぁる放射性元素の時刻#= 0 における量を zu とすると! 日後にはそ
の量 x(t) は .
x(t)=xe %
で与えられる。ここで ty はある定まった時間を表す正の定数である。
EL, 時刻と時間を表す実数の単位はすべて日とする。以下の計算
では近似値 log。 2 = 0.301, log, e = 0.434 を用いる。
(1) この元素は, ちょうど77 日後にもとの量の = になる。 このとき
ty に最も近い整数は である。
(2) この元素は 365 日後にもとの量の 10~" 倍になる。指数の小
数第3位を4捨5入して小数第 2 位まで求めると。 の整数部分
は [+]. 小数第1 位は [7]. 小数第2 位は である。
(3) この元素がもとの量の 10° 倍になるのを ヵ 日後とすると, ヵ
の整数部分は 桁であり, b の整数部分の最高位の数字は
である。
(4) 時秘から 日後の元素の量 z(。+の はz(9+の= をみ
たすとする。このようなdは s に対しただ1つ定まる。すを
の関数と考え9= f(s) とおけば, f(s) は [= ]-
の選択肢
(a) 任意の区間で定数である
(b) 任意の区間で増加する
(Cc) 任意の区間で減少する
(d) ある区間で増加し 別のある区間で減少する
—5— AK-H-07

zz 空間において, 平面 > = 0 上の円 3。 と平面>= 1 上の円 $, を次
のように定義する。
So: 2+y=1, z=0
Si: at+y=1, z=1
Sy 上の点 Po(cosa,sina,0) と S; 上の点 Pi(cos B,sinB,1) とを考え
る。O0(0,0.0), A(0,0,1) を定点とする。

() B-a= 3 のとき, 平面> = : (ただし0 <#< 1) と四面体

OP。PiA とが交わってできる四辺形の面積は
V
(Fev)

である。

2) 2 = 3 のとき, LOR (0.0.5) と wie =} cae

sal

PoP の交点との距離は 一ーー である。

(3) 一般にgーw=9(ただし0<9<7) DEX, zh LOS (0,0,t)
(ただし OStS 1) と,平面 =t EM PoP, の交点との距離
El) とすると
= [2 ]?+ [© ]+ +( |タ e+ 回9 cosの
である。

(4) B-a= = を保ちながら, Py が 3。 上を, P が 5」 上を一周し
たときに, MY PoP, が動いてできる曲面と, 平面 > = 0 および
ァニ1 によって囲まれる部分の体積は ーーィ である。

ー6 一 AK-H-07

cy 平面の双曲線
- ー ca =-1
25 4
をの とする。点
B T T
P(4mne sg)・ SM
はつねに C 上を動くとする。ただし, A, は定数である。さらに,
lim 4tan9=oo かつ lim i
0—F+0 o+-F+0 COSの
とする。
(1) このとき A= [|.ぁ= である。
(2) Pから直線 リー IFS LEE PQ D Qを垂線の足という。
標は
一tan9のーーー
である。線分 PQ の長さを AD) とする。
(3) 上に定義した関数 (9) (-ぅ <9< 5) は9 =0 DES BME
をとる。このとき
eal
sina = ——, da) =ニー
ーァ7ー AK-H-07

(1) 互(z) は z の整式であることを示し, 整理された (>) におい
て最大の次数をもつ項を求めよ。
(2) 整式 P,(x) は偶数次の単項式の和になることを示せ。
(3) 整式 P(x) は z? - 1 で割り切れることを示せ。
ot oe AK-H-10

[2] (1) cy 平面上で, 曲線
りーアー6z2十9z
を C とし, 直線
yaks (ただし,ょ は定数)
を とする。
(G) Cと/が異なる 3 点で交わるための必要十分条件をょの
条件で表せ。
(ii) h(i) の条件を満たすとき, C と《 によって囲まれる 2 つ
の図形の面積が等しくなるような ょ の値を求めよ。
(2) a,b を正の定数とする。z? —ax? + br = 0 は異なる 3 つの実数
解をもつとし, その最大のものを c とする。
fe — ax? + bx)dr =0

が成り立つとき,ゅを o の式で表せ。
ー3 一 AK-H-10

zy 平面の原点を中心とする円 2 +めニー1 EC EL, x 軸に平行な
2 つの直線 リー 1 とり=ー1 の和集合を とする。

P をzy 平面上の点とする。 点A が円 上を動くとき, 線分 PA の
長さの最小値を P と 〇 との距離といい, d(P.C) で表す。 HIC PEC
であれば d(P,C) = 0 である。同様に, 点 B が和集合上上を動くと
き, 線分 PB の長さの最小値をP とと との距離といい, d(P,L) で
表す。

d(P,C) S$ d(P,L) を満たすような点P の全体の集合を 47 で表す。

(1) M を cy 平面上に図示せよ。
(2) cy 平面上で, ly] S 1 の表す集合と集合 7 との共通部分の面積
を求めよ。
me 洲 AK-H-10

(1) lim f(a) = oo であるための必要十分条件は | あ | CHS.
(2) Hm f(0) が存作して有限の値であるための必要十分条件は
である。
(3) すべての x に対して [f(a)| $M であるような, によらない
定数 7 が存在するための必要十分条件は である。
(4) 7(G) = 0 を満たすいくらでも大きな a が存在するための必要十
分条件は である。
から DBRT
(a) A=0 (hy) B=C=0
(b) B=0 (i) C=A=0
(9 C=0 (j) A= B=C=0
(d) A#0 (k) 4>0
(ce) B#0 () 4>0かつのC>0
() Cテ0 (m) 4>0かつC>0かつぢ=0
(g) A= B=0 (n) AAO またはCテ0
a こ。 AK-H-08

任意の実数 z に対して, > を超えない最大の整数を [で表す。 ヵ を
自然数として

S(n) =1424+--4n = Sok
peel
および
- nr?
T(n) = [Vi]? + [V2]P +--+ [vn]? = So [VE]?
el
を考える。
(7ヵ) は ヵ に関する 次多項式でその最高次の係数は ーー
である。
ー方、7(1) = 1.7(2) = 7, 7(3) = CHD, 一般に
r= (EI r+ [7 |] nt+ n+1)
が成り立つ。従って,
noo S(n) neo 1L+2+---+7?
となる。
eel ニー AK-H-08

曲線タニィ+sinz CMM © = y tsiny の第 1 象限の部分を考える。

(1) 第 1 象限にあるこの 2 曲線の交点のうち原点 O に最も近い交
点 P OPEB (Le | ス | 2) CHS.

(2) この 2 曲線の O, P の間にある部分で囲まれる図形の面積は
である。

(3) 第 1 象限にあるこの 2 曲線の交点のうち原点 O に 2 番目に近
い交点 Q の座標は(| ソ |x, | タ | 4) であぁる。

(4) HR y=c+sinz, c 軸および点 Q から軸に下ろした垂線で
囲まれた図形を z 軸のまわりに 1 回転して得られる回転体の体
積は

|ビビ| 77
である。
ss es AK-H-08

座標平面上を運動する点 P(x,9) OPA t (0 く# < 2r) における座
標が
ァーツV3 cos#十sin7
ター 2cost sint+1
であるとき. MP のえがく曲線を C とする。
(1) Pがの上を動くときれ = Se で z は最大値 をと
る。曲線C とり 軸に平行な直線との共有点の個数の最大値は
ネ | CHD, C Ex 軸に平行な直線との共有点の個数の最大
値は | / | であぁる。
(2) Pがの上を動くとき., A トニーーー を異なる時
Wt = 一ィとち。= ーー (ただし ち <ね) で通過す
還
By tty のとき速度は ( [ょ| [x]). t=t のとき速度は
(3) 時刻#において PDS 軸に下ろした垂線を PH とする。 7 が
さらの範囲を動くとき, 線分 PH が動いて作る図形の面
MM
ある
2 26 計き AK-H-08

(1) lim f(x) = 00 であるための必要十分条件は である。
(2) mm /(7) が存人して有限の値であるための必要十分条件は
である。
（続きは問題PDFで確認できます）