藤原進之介です。このページでは明治大学2012年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
今日の一問
数列 は 、 をみたす。
一般項 を求めよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：2項間漸化式 an+1 = 3an + 11 。係数が 1 でないので等差でも等比でもありません。定数をずらして等比に落とすのがこの型の一手です。
1. なぜその一手を選ぶのか
an+1 = pan + q を見たら、最初に確かめるのは p が 1 かどうかだけです。p = 1 なら公差 q の等差数列で即終了。ここでは p = 3 なので、その道は使えません。
次に考えるのは「何を足せば、余分な定数項が消えるか」です。両辺に同じ数 β を足して an+1 + β = 3( an + β ) の形にしたい。右辺を展開すると 3an + 3β なので、3β − β = 11 、つまり β = 112 と決まります。この一手を選ぶ理由は「定数項を消すため」であって、公式だからではありません。
2. 解答
- 両辺に 112 を足すと an+1 + 112 = 3( an + 112 ) 。
- よって数列 { an + 112 } は公比 3 の等比数列。
- 初項は a1 + 112 = 10 + 112 = 312 。
- したがって an + 112 = 312 · 3n−1 。
答え： an = 312 · 3n−1 − 112
3. 検算（ここまでを1セットにする）
n = 1： 312 × 1 − 112 = 10 。初項に一致します。
n = 2： 漸化式からは 3 × 10 + 11 = 41 。一般項からは 312 × 3 − 112 = 41 。一致します。
漸化式の問題は、一般項を出したら必ず n = 1 と n = 2 を入れる。符号ミスと初項ずれはここでほぼ全部捕まります。
この型の一般化： an+1 = pan + q（p ≠ 1）は、つねに β = q / (p − 1) を両辺に足せば等比に落ちます。ただし q が定数でなく n の式になっている場合（an+1 = pan + f(n)）はこの手が効かず、両辺を pn+1 で割る、階差を取る、といった別の一手に切り替えます。どの分岐を選ぶかは第11章 数列で整理しています。
明治大学 数学 過去問｜他の年度を見る
明治大学の数学の過去問は32年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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問題PDFをテキストでも確認
明治大学 2012年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- 確率・場合の数
- 整数
- 指数・対数
- 方程式・不等式
- 関数・グラフ
- 空間図形
この年度の出題範囲と傾向
2012年度の問題PDFでは、図形・三角関数、微分・積分、確率・場合の数、整数、指数・対数に関する語句や設問を確認できました。明治大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、整数は31年度、関数・グラフは31年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 微分・積分、図形・三角関数、空間図形、方程式・不等式
‘ い
数 FF iF @
: はじめに, これを読むこと。
(EB)
1. この問題用紙は 5 ページまである。ただし, ページ番号のない白紙は
ページ数に含まない。
2 これは, 数学の問題である。解答用紙が出願時に選択した科目であるか
どうか確認のうえ。 解答すること。
3 解答用紙の所定の欄に, 必ず氏名を記入すること。
4 解答用紙には受験番号が印刷されているので, 受験番号が正しいかどう
か受浴票と照合し確認すること。
5 解答はすべて「細答用紙」の解答欄に記入またはマークすること。 解答欄
以外のところには何も記入しないこと。
6 解答は. 必ず鉛筆又はシャープペンシル(いずれも HB・黒)で記入する
Tes
7 SEL IATENOIOHL, 消しくずを残さないこと。
8 解答用紙は, 絶対に汚したり折り曲げたりしないこと。
9 文字は一点一画まで正確に書くこと。
10 解答用紙は持ちかえらないこと。
11 この問題用紙は必ず持ちかえること。
12 この試験時間は 60 分である。
13 マークの記入例
10 | 980
やM46 (021一975)
(I) 次の各問の| | にあてはまる数計たは式を各解管履か選び. MEA
の所定の欄にマークせよ。同一のものを何回使用してもよい。 また, 分数はすべ
て既約分数で表せ。
() sind +089 =F OLS, wm
GREED ‘
@ 90 B® 1 @ 2 © 3 ® 4
® 5 @ 6 @ 7 ® 8 ® 9
9 Re) 52-4 |<aet ewe Tea OMA [LTT] でぁ
り. aiviia | ウ | であぁぁ。
CREASE)
® 0 ® 1 © 2 O 3 ® 4
® 5 © 6 Qi @ 8 34 9
QB) (e—8y +2) の展開式における, 2y2z? の項の係数は CHS.
RSD
® 0 ® 1 © 2 ® 3 ® 4
® 5 © 6 7 の 8 の 9
we 1 ae M46 (021一976)
i
e
- @) 四面体 ABCD において, 2辺AC, BD の中点をそれぞれ M、N とする。ま
た, AB=6, AC=¢, AD 一みとする。このとき,
: D MNを5 ¢, 4で表すと, MN= となる。
@ AB1AD+CB+CD=| イィ |MNである。
a? ORE)
CE a a
bteta boe+d b+en-d
® 5 ® 2 © 5
るーーす ー8キ6二す ~b-c+d
4 ® 2 © 2 ® 2
-b+e-a 2b+etrd b+2eta
@ ott @ 22x @ 2%
る2二24 .
® 2
1 OMB)
® o 81 © 2 D 3 ® 4 |
@ 5 @ 6 あゆ 7 Oo 8 の 9 |
=— 2 M46 (021977)
Fe |
[ ] 直線》=ニwみ・1 放物線ニー*(rー3)-2がある。ここで。はある定数で
0 くZく3 とする。このとき、次の各問の | | にあてはまる数を角答
から選び, 解答用紙の所定の柚にマークせよ。同一のものを何回使用してもよ
い。また, 分数はすべて上既約分数で表せ。
| (1) 直線1と放物張2によって囲まれた部分の面積を $, とすると,
ーーーしラッ | ーー でぁぁ。 1
OQ) 放物線2とぇ帆で囲まれる部分の面積が直線1によって二つの部分に分割き ]
れ, 直線1と放物線2によって砂まれた部分の面積と, 直線1, 放物線2およ 1
びァ電によって囲まれた部分の面積の比が 2 : 1 になるとき, |
8 a= LOLS, 直線と放物線めで囲まれた部分の画積 Suが, 直線
放物線2および直続x王52 > 9)で囲まれた部分の面積 S と等しいとき, 5
の値は である。 1
CREB) 1
® 0 Bl © 2 ® 3 ® 4 a
® 5 @ 6 ® 7 1 8 @©@ 9 j
aoa: Room M46 (021-978) )
[町 y平面上の曲線C:y=上に. 原点0と異なる2つの点PG. 8°),
QU, BSS. KEL, ・キ7とする。曲線C上のP Qにおけるそれぞれの
BRED, BEL, b, なのヶ才との交点をそれぞれPu WETS. TOE
a, xoemmo [| にふさわしい解を求め 角管欄に記入せよ。
w vonmmes(( J. | Sees. womee( (2 1
@ azeoxaromea((]. [__])cm.
(2 Py Qy REHSMOWESLE
te a)it(y— pact D
EBS, HOHBADAP,, Q を通ることと, Po * Q。 であることから
となる。
4) 円の方程式1が P。 とR を通ることと, 2とsキ 0 であることから, 5, か
| a, 2 の満たす式は
i となる。同じくQ。とR を通ることと, 2と/キ0 であるととから, 8, な
' a, 1の満たす式は
| となる。2, 34より, a¥0DEX
i
i st= een e®
| BAS. AL< a= 0 のときも5が成り立つことがわかる。
i
|
i
| sek oe M46 (021一979)
ii
©) 円の方租式1が R を通ることを a, 6, EMO THEE
となる。このことは, 1が定点( | |. | | )を通ることを意味す
るを
i
-
ー
me be M46 (021-980) a
数 FF iF @
: はじめに, これを読むこと。
(EB)
1. この問題用紙は 5 ページまである。ただし, ページ番号のない白紙は
ページ数に含まない。
2 これは, 数学の問題である。解答用紙が出願時に選択した科目であるか
どうか確認のうえ。 解答すること。
3 解答用紙の所定の欄に, 必ず氏名を記入すること。
4 解答用紙には受験番号が印刷されているので, 受験番号が正しいかどう
か受浴票と照合し確認すること。
5 解答はすべて「細答用紙」の解答欄に記入またはマークすること。 解答欄
以外のところには何も記入しないこと。
6 解答は. 必ず鉛筆又はシャープペンシル(いずれも HB・黒)で記入する
Tes
7 SEL IATENOIOHL, 消しくずを残さないこと。
8 解答用紙は, 絶対に汚したり折り曲げたりしないこと。
9 文字は一点一画まで正確に書くこと。
10 解答用紙は持ちかえらないこと。
11 この問題用紙は必ず持ちかえること。
12 この試験時間は 60 分である。
13 マークの記入例
10 | 980
やM46 (021一975)
(I) 次の各問の| | にあてはまる数計たは式を各解管履か選び. MEA
の所定の欄にマークせよ。同一のものを何回使用してもよい。 また, 分数はすべ
て既約分数で表せ。
() sind +089 =F OLS, wm
GREED ‘
@ 90 B® 1 @ 2 © 3 ® 4
® 5 @ 6 @ 7 ® 8 ® 9
9 Re) 52-4 |<aet ewe Tea OMA [LTT] でぁ
り. aiviia | ウ | であぁぁ。
CREASE)
® 0 ® 1 © 2 O 3 ® 4
® 5 © 6 Qi @ 8 34 9
QB) (e—8y +2) の展開式における, 2y2z? の項の係数は CHS.
RSD
® 0 ® 1 © 2 ® 3 ® 4
® 5 © 6 7 の 8 の 9
we 1 ae M46 (021一976)
i
e
- @) 四面体 ABCD において, 2辺AC, BD の中点をそれぞれ M、N とする。ま
た, AB=6, AC=¢, AD 一みとする。このとき,
: D MNを5 ¢, 4で表すと, MN= となる。
@ AB1AD+CB+CD=| イィ |MNである。
a? ORE)
CE a a
bteta boe+d b+en-d
® 5 ® 2 © 5
るーーす ー8キ6二す ~b-c+d
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-b+e-a 2b+etrd b+2eta
@ ott @ 22x @ 2%
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® 2
1 OMB)
® o 81 © 2 D 3 ® 4 |
@ 5 @ 6 あゆ 7 Oo 8 の 9 |
=— 2 M46 (021977)
Fe |
[ ] 直線》=ニwみ・1 放物線ニー*(rー3)-2がある。ここで。はある定数で
0 くZく3 とする。このとき、次の各問の | | にあてはまる数を角答
から選び, 解答用紙の所定の柚にマークせよ。同一のものを何回使用してもよ
い。また, 分数はすべて上既約分数で表せ。
| (1) 直線1と放物張2によって囲まれた部分の面積を $, とすると,
ーーーしラッ | ーー でぁぁ。 1
OQ) 放物線2とぇ帆で囲まれる部分の面積が直線1によって二つの部分に分割き ]
れ, 直線1と放物線2によって砂まれた部分の面積と, 直線1, 放物線2およ 1
びァ電によって囲まれた部分の面積の比が 2 : 1 になるとき, |
8 a= LOLS, 直線と放物線めで囲まれた部分の画積 Suが, 直線
放物線2および直続x王52 > 9)で囲まれた部分の面積 S と等しいとき, 5
の値は である。 1
CREB) 1
® 0 Bl © 2 ® 3 ® 4 a
® 5 @ 6 ® 7 1 8 @©@ 9 j
aoa: Room M46 (021-978) )
[町 y平面上の曲線C:y=上に. 原点0と異なる2つの点PG. 8°),
QU, BSS. KEL, ・キ7とする。曲線C上のP Qにおけるそれぞれの
BRED, BEL, b, なのヶ才との交点をそれぞれPu WETS. TOE
a, xoemmo [| にふさわしい解を求め 角管欄に記入せよ。
w vonmmes(( J. | Sees. womee( (2 1
@ azeoxaromea((]. [__])cm.
(2 Py Qy REHSMOWESLE
te a)it(y— pact D
EBS, HOHBADAP,, Q を通ることと, Po * Q。 であることから
となる。
4) 円の方程式1が P。 とR を通ることと, 2とsキ 0 であることから, 5, か
| a, 2 の満たす式は
i となる。同じくQ。とR を通ることと, 2と/キ0 であるととから, 8, な
' a, 1の満たす式は
| となる。2, 34より, a¥0DEX
i
i st= een e®
| BAS. AL< a= 0 のときも5が成り立つことがわかる。
i
|
i
| sek oe M46 (021一979)
ii
©) 円の方租式1が R を通ることを a, 6, EMO THEE
となる。このことは, 1が定点( | |. | | )を通ることを意味す
るを
i
-
ー
me be M46 (021-980) a
問2画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、図形・三角関数、関数・グラフ、指数・対数、空間図形
(1) 京Cの座林は. eae ~ である。
y
(2) ABの長さは =" であり,
JT
cos ZBDC = ーーーニーテーーーー で上あ る 。
@) wooewe ESL ~ hea.
cos ZBPD ーーー 69 = である。
ome go M25 (021一530)
I
; HV UFOMCSARSY, RA VLERADE RFI UAE SEEM OM
答柚にマークしなさい。また, MMQMLOMCRELRROBEgERS
Wo RIEL, 分数はすべて既約分数にしなさい。
() 円語上に異なる(詞8)個の点がある。このうち 3個の点を頂点として
できる三角形の数を() とすると, 了(12) = である。また,
」 ププキーキア0D+ア0の =
であり,
である。
(9 円周上に典なる noe $)何の点がある。これらのうち、 3 個からぁ個の点
を頂点としてできる多舟形の総数を 9(z) とするとき, Sn) をぁの式で表し
なさい。
「 ite M25 (021-531)
y
(2) ABの長さは =" であり,
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@) wooewe ESL ~ hea.
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I
; HV UFOMCSARSY, RA VLERADE RFI UAE SEEM OM
答柚にマークしなさい。また, MMQMLOMCRELRROBEgERS
Wo RIEL, 分数はすべて既約分数にしなさい。
() 円語上に異なる(詞8)個の点がある。このうち 3個の点を頂点として
できる三角形の数を() とすると, 了(12) = である。また,
」 ププキーキア0D+ア0の =
であり,
である。
(9 円周上に典なる noe $)何の点がある。これらのうち、 3 個からぁ個の点
を頂点としてできる多舟形の総数を 9(z) とするとき, Sn) をぁの式で表し
なさい。
「 ite M25 (021-531)
問3画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、空間図形、整数、微分・積分
(1) 炎の各問の | | に入る数舘を下の表から選んでアルファベットをマーク
せよ。 同じアルファベットを選んでもかまわない。
1 zhgr王25xを満た す*は, 大きい方から順にァニ Lo] と,
ッー| @ | cas.
2.ッニーター?二x十4とヶニャが, 異なる2点のみを共有するとき,
o=(@ | であり,. »>oomme, --_@ | のとき共有点を持
つ。
8 放物線Ciアー ALE wn Cy = Zo ae HALOS EE
ィ2とするとき, comer, | (55) | であり, Cu CG, ecMEnEMRO
面積は | (@) | cas.
A. 0 B. 1 “C, 2 D. 3
E 4 F. 5 GC. 6 H.?
I. 8 J. 9 K, 10 L. 15
M. 20 N. 25 O. 30 Be = 1
@ -2 R. 一4 S. -5 T. +
=, やM39(021一882)
(I) 火のアンノに当てはまる0 9 の数字を解答材にマークせよ。
座標平面上にある2点P(24 20), Q(-4, 4ぴー8)が, 一2名SS2の
範囲で動く。 4?:ッニ*+』とし, Pと4の距離をo, Qと7の距離を4 とする。
Pid, /より上側にあり, Qe, 2より下側にあるとする。
P,Q Zの位置関係からひの範囲は, 」 .
となる。従って, | OMAN,
-DE<« D2]
でなければならない。
@ Tz | キ | ク |t-odl,
8 TF! ケ |t a b|
だから, gニ9とすると, 5=ニ2+| サ |)eートシ |)
CHS. 従って e=e=Fl- [LR |e-[ゃコ
Ly |-vL? J
となり, この値が, 最大となるのは, Te].
で, そのときの値は,
_ eV T+ Pe VET
=
である。
ee 2 = M39 (021-883)
(I) 円に内接する4角形ABCD について, AB=e, BC=b, CD一ec AD=d
とおくとき, 次の問答えよ。
1 a+b? cl のであるための必要十分条件が, ンBー 2D である事を証
。明せよ。
2. an, pa, oe, d= Legace, cos(Za- 20%
求めよ。
a 8 一 M39 (021—884)
せよ。 同じアルファベットを選んでもかまわない。
1 zhgr王25xを満た す*は, 大きい方から順にァニ Lo] と,
ッー| @ | cas.
2.ッニーター?二x十4とヶニャが, 異なる2点のみを共有するとき,
o=(@ | であり,. »>oomme, --_@ | のとき共有点を持
つ。
8 放物線Ciアー ALE wn Cy = Zo ae HALOS EE
ィ2とするとき, comer, | (55) | であり, Cu CG, ecMEnEMRO
面積は | (@) | cas.
A. 0 B. 1 “C, 2 D. 3
E 4 F. 5 GC. 6 H.?
I. 8 J. 9 K, 10 L. 15
M. 20 N. 25 O. 30 Be = 1
@ -2 R. 一4 S. -5 T. +
=, やM39(021一882)
(I) 火のアンノに当てはまる0 9 の数字を解答材にマークせよ。
座標平面上にある2点P(24 20), Q(-4, 4ぴー8)が, 一2名SS2の
範囲で動く。 4?:ッニ*+』とし, Pと4の距離をo, Qと7の距離を4 とする。
Pid, /より上側にあり, Qe, 2より下側にあるとする。
P,Q Zの位置関係からひの範囲は, 」 .
となる。従って, | OMAN,
-DE<« D2]
でなければならない。
@ Tz | キ | ク |t-odl,
8 TF! ケ |t a b|
だから, gニ9とすると, 5=ニ2+| サ |)eートシ |)
CHS. 従って e=e=Fl- [LR |e-[ゃコ
Ly |-vL? J
となり, この値が, 最大となるのは, Te].
で, そのときの値は,
_ eV T+ Pe VET
=
である。
ee 2 = M39 (021-883)
(I) 円に内接する4角形ABCD について, AB=e, BC=b, CD一ec AD=d
とおくとき, 次の問答えよ。
1 a+b? cl のであるための必要十分条件が, ンBー 2D である事を証
。明せよ。
2. an, pa, oe, d= Legace, cos(Za- 20%
求めよ。
a 8 一 M39 (021—884)
問4画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、方程式・不等式、確率・場合の数、空間図形、指数・対数
(1) REP LOR Pr。?)が名介変数のを用いて
*ニーsin@十2cosの
y= 2sind + 8cos8
ERENTHSETS, COLES, 原点を O とすると -
Ce!
が成り立つ。
=
om ds oe でM27021一544
(2 4つのサイコロを投げて, 出た目の積を とする。
:
@ m=l0dRSRR EE CHS. KK, カー60となる礁率は
ーー である。
(D) mw AOS RUMORS eS tev CHS. EK, mA UO
ュ
タテッ |
数となる確率は IESSl である。
REL, 自然数gと6が生いに素であるとは, とぁが1以外の公約数を持
たないことをいう。
ー3 一 OM27 02546)
@ 座要平面上で, 原点0を中心とする半径!の円OK正三旋形ABCが内
接していて, SKA, B ではその順に反時語りに位置している。点Aの -
MEL y BRITE S(CIEL TS, URAC EL y RHA ALD で交わっていて」
点Dを通り直線 BC CEP RMMI, MORE THES LOS. COE
き, 線分DEの長さは| = | であって, tan(Z0DB5ー| ヌ |]とな
る。ゆえに。 RAD, mi [| ネ | である。
しミミ lower
amy: A = 1 » wt gy y
OF Off 2+ OF OF
e & a 2 iy
ef 61 oF OF OF
%__| OBR
Oye Os @ Ys SY SYr
ae [& ~ {S. « fe é e LT.
oft off off wo fF ofS
ー5ー やM27 (021--548)
CH) 以下の空欄 から ESTERS OO WEE) EMEA
KOMEOMCTAEE, -
7の=キーラー1二|デー3ォー3| とおく。
(1) 不等式玉ー2*ー3<0を解くと| あ | となる。
(2) 方程式 /7)=0の実数解をすべて求めると となる。
3) MEy = (Ge) DERME —2Sx SS LTSLE, HMI とな
Be
ーー7 ar M27 (021-550)
か
sie ビル Joma, atd—1=ad-wBBRTETS. RE,
で の
BA zo, ze とかoo Yn ya のは ・
Xn Xan
("Jea[*'] Gaia a 9
Jn Jat
EBLT ETS, METMLORG., yy)をPeと表し0は原点とする
BO, Py, Pi は同一直線上にはないと仮定し, 9 =ad ~ be とおく。
以下の空楓| え | から| こ |にあてはまるものを,g.ヶを用いて表
し. 解答用紙の所定の欄に記入せよ。
0 OB=( え por+ (de® por cas.
(2) 9キ1のとき
の (n=2, 3, 4, 09)
ー? 『ーg .
である。
13) Sg] く1のとき
である。
@ 0<a<1ETS, (tim x, lmm ye] RAPP! LS | :1に
外分する。
ae 9 ome M27 (021-552)
NN
[以下の問に答えよ。管えだけでなく解答の途中経過も書く こと。
曲線yー log*上の点PG。 log) CBU SME ?とする。 |
(1) 直線をの方程式を求めよ。
以下では, 曲線ッ= "一5は点Pを通り、Pにおいて/に接しているとす 。
Be KEL, gと1は正の数である。曲線ター ar? —b Le WOMEN EEO 、
面積を$とする。 :
Q Sta, ? を用いて表せ。
8) a, 6をで表し, 7のとりうる値の範囲を求めよ。
(の 3の最大仁を求めよ。なお. $がその最大何をとる7の値も求めること。
SE TEES M27 (921—554)
*ニーsin@十2cosの
y= 2sind + 8cos8
ERENTHSETS, COLES, 原点を O とすると -
Ce!
が成り立つ。
=
om ds oe でM27021一544
(2 4つのサイコロを投げて, 出た目の積を とする。
:
@ m=l0dRSRR EE CHS. KK, カー60となる礁率は
ーー である。
(D) mw AOS RUMORS eS tev CHS. EK, mA UO
ュ
タテッ |
数となる確率は IESSl である。
REL, 自然数gと6が生いに素であるとは, とぁが1以外の公約数を持
たないことをいう。
ー3 一 OM27 02546)
@ 座要平面上で, 原点0を中心とする半径!の円OK正三旋形ABCが内
接していて, SKA, B ではその順に反時語りに位置している。点Aの -
MEL y BRITE S(CIEL TS, URAC EL y RHA ALD で交わっていて」
点Dを通り直線 BC CEP RMMI, MORE THES LOS. COE
き, 線分DEの長さは| = | であって, tan(Z0DB5ー| ヌ |]とな
る。ゆえに。 RAD, mi [| ネ | である。
しミミ lower
amy: A = 1 » wt gy y
OF Off 2+ OF OF
e & a 2 iy
ef 61 oF OF OF
%__| OBR
Oye Os @ Ys SY SYr
ae [& ~ {S. « fe é e LT.
oft off off wo fF ofS
ー5ー やM27 (021--548)
CH) 以下の空欄 から ESTERS OO WEE) EMEA
KOMEOMCTAEE, -
7の=キーラー1二|デー3ォー3| とおく。
(1) 不等式玉ー2*ー3<0を解くと| あ | となる。
(2) 方程式 /7)=0の実数解をすべて求めると となる。
3) MEy = (Ge) DERME —2Sx SS LTSLE, HMI とな
Be
ーー7 ar M27 (021-550)
か
sie ビル Joma, atd—1=ad-wBBRTETS. RE,
で の
BA zo, ze とかoo Yn ya のは ・
Xn Xan
("Jea[*'] Gaia a 9
Jn Jat
EBLT ETS, METMLORG., yy)をPeと表し0は原点とする
BO, Py, Pi は同一直線上にはないと仮定し, 9 =ad ~ be とおく。
以下の空楓| え | から| こ |にあてはまるものを,g.ヶを用いて表
し. 解答用紙の所定の欄に記入せよ。
0 OB=( え por+ (de® por cas.
(2) 9キ1のとき
の (n=2, 3, 4, 09)
ー? 『ーg .
である。
13) Sg] く1のとき
である。
@ 0<a<1ETS, (tim x, lmm ye] RAPP! LS | :1に
外分する。
ae 9 ome M27 (021-552)
NN
[以下の問に答えよ。管えだけでなく解答の途中経過も書く こと。
曲線yー log*上の点PG。 log) CBU SME ?とする。 |
(1) 直線をの方程式を求めよ。
以下では, 曲線ッ= "一5は点Pを通り、Pにおいて/に接しているとす 。
Be KEL, gと1は正の数である。曲線ター ar? —b Le WOMEN EEO 、
面積を$とする。 :
Q Sta, ? を用いて表せ。
8) a, 6をで表し, 7のとりうる値の範囲を求めよ。
(の 3の最大仁を求めよ。なお. $がその最大何をとる7の値も求めること。
SE TEES M27 (921—554)
問5画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、確率・場合の数、指数・対数、図形・三角関数、微分・積分
(1) 賠数ー3sm( 2一rjのクラフはッー3sin 2xのグラフを x WHT
だ平行移動したものであり。 その正で最小の周期は で
ある。
(1 Om ED
= mies zs ーーを
A を B 3 7 Cc 2 D 3
coal, th sg sl me
E 8 F 6 G 3 H 2
1 de lo K その他
ORB)
a, is ca Zs
A 6 B 3 Cc 2 D 3 a
Ex Foe G 2m H 8x
1 47 Jo 6 K その他
= Ee でM7(021一95)
数学 問題は次ページに続いています。
|
|
is Be ee M7? (021一96)
212 EEE LOAABCK BVT, 線分ABを2 : 1に内分する点Pの座標が
(1, 5), 絹分ACを4 : 1に外分する点Qの座標が(3. —3), AABCO
重心の座標が(0、 2)であるとき, 点4 の座標は(| 8 |]. | 4 |)
である。
(3 の解答群)
A -21 B -15 C 一3 D-3 E -7
a iL 9
FE -5 G ag H = 1 ュ | -y
K 3 Le M 9 N その他
(4ORER)
、 37 :
A -21 B -15 C -18 Di mage tk mh
9 1 9
F 5 6 一地 He 1 1
K 3 IL, ae M 9 N その他
ー3ー でM7(021一9の
数学 問題は次ページに続いています。
|
|
=—4= ぐM7(021一98)
G) we y—(logs LZ) + ots le (1ミァ2の の最小値は| 5 |
最大値は| 6 | である。また. 最大値| 6 |をとるときの+は
(5, 6 ORERD
A ーー27 B 一13 iG sa Do ティ
E -3 : | G 0 H 1
1 3 I 7 K その他
(7 OF BHE
Ail B 2 C 3 D 4
E 5 F 6 G7 H il
12 om K その他
es Go OM? 21-99)
数学 問題は次ページに続いています。
i
—6- M7 C0210)
A) 水を洪たしたある容器の庶に穴を開けてから 分後における容用内の水深を
メートルとすると, ヶ は次式で表される。ただし。 0 ミァミミ 90 とする。
y=0.9X 104? - 18X10 Pet 1
BPS ROME, SHMSMitKOMe [yar とする。 最初の1分
MGs =0, セー1)に出た水の量に対する5分から6分の問(m =5,
re CHE KORO REIS % THB. 容器内の水深 が
ェー0のときの半分になるのは約 | 9 | HCH.
(8 OFFER)
A 59 B 63 G oie D 71 E 75 F 7
G 83 H 87 1 91 J 95 K 99
(9 ORBEA)
A 27 B 30 C 33 D 36 E 39 F 42
G 4 H 48 1 51 J 54 K 37
yet Eee OM7(021—10D
数学 問題は次ページに続いています。
i aos Bo OM? (021102)
|
LI) 次の各設問の と の空手の正解を設問ごとの解答辞から選
で該当する解答欄にマークしなさい。
サイコロをヵ回ふり、#回目に出た目の数を X。とおく。Xぃから X。 までをか
けあわせた積をY。 Xi・X・ ・X。とする。
(D Yaが3で割り切れる確率は である。
2) Y。が4で割り切れない確率は である。
(lo OAR EEE
1 1 1 8
4‘ sr Boor ee p 2
a » 125. , 9 て
Ee Fale oa Hos
28 215 -
1 有 ue K その他
(11 ORE)
1 1 。 5 1
4 Bo C 3 DX
1 5 1 5
F & xs H xs
5 \s 5
1 Gy 1 (3) K その他
ー9 一 M7 (021-108)
だ平行移動したものであり。 その正で最小の周期は で
ある。
(1 Om ED
= mies zs ーーを
A を B 3 7 Cc 2 D 3
coal, th sg sl me
E 8 F 6 G 3 H 2
1 de lo K その他
ORB)
a, is ca Zs
A 6 B 3 Cc 2 D 3 a
Ex Foe G 2m H 8x
1 47 Jo 6 K その他
= Ee でM7(021一95)
数学 問題は次ページに続いています。
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|
is Be ee M7? (021一96)
212 EEE LOAABCK BVT, 線分ABを2 : 1に内分する点Pの座標が
(1, 5), 絹分ACを4 : 1に外分する点Qの座標が(3. —3), AABCO
重心の座標が(0、 2)であるとき, 点4 の座標は(| 8 |]. | 4 |)
である。
(3 の解答群)
A -21 B -15 C 一3 D-3 E -7
a iL 9
FE -5 G ag H = 1 ュ | -y
K 3 Le M 9 N その他
(4ORER)
、 37 :
A -21 B -15 C -18 Di mage tk mh
9 1 9
F 5 6 一地 He 1 1
K 3 IL, ae M 9 N その他
ー3ー でM7(021一9の
数学 問題は次ページに続いています。
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|
=—4= ぐM7(021一98)
G) we y—(logs LZ) + ots le (1ミァ2の の最小値は| 5 |
最大値は| 6 | である。また. 最大値| 6 |をとるときの+は
(5, 6 ORERD
A ーー27 B 一13 iG sa Do ティ
E -3 : | G 0 H 1
1 3 I 7 K その他
(7 OF BHE
Ail B 2 C 3 D 4
E 5 F 6 G7 H il
12 om K その他
es Go OM? 21-99)
数学 問題は次ページに続いています。
i
—6- M7 C0210)
A) 水を洪たしたある容器の庶に穴を開けてから 分後における容用内の水深を
メートルとすると, ヶ は次式で表される。ただし。 0 ミァミミ 90 とする。
y=0.9X 104? - 18X10 Pet 1
BPS ROME, SHMSMitKOMe [yar とする。 最初の1分
MGs =0, セー1)に出た水の量に対する5分から6分の問(m =5,
re CHE KORO REIS % THB. 容器内の水深 が
ェー0のときの半分になるのは約 | 9 | HCH.
(8 OFFER)
A 59 B 63 G oie D 71 E 75 F 7
G 83 H 87 1 91 J 95 K 99
(9 ORBEA)
A 27 B 30 C 33 D 36 E 39 F 42
G 4 H 48 1 51 J 54 K 37
yet Eee OM7(021—10D
数学 問題は次ページに続いています。
i aos Bo OM? (021102)
|
LI) 次の各設問の と の空手の正解を設問ごとの解答辞から選
で該当する解答欄にマークしなさい。
サイコロをヵ回ふり、#回目に出た目の数を X。とおく。Xぃから X。 までをか
けあわせた積をY。 Xi・X・ ・X。とする。
(D Yaが3で割り切れる確率は である。
2) Y。が4で割り切れない確率は である。
(lo OAR EEE
1 1 1 8
4‘ sr Boor ee p 2
a » 125. , 9 て
Ee Fale oa Hos
28 215 -
1 有 ue K その他
(11 ORE)
1 1 。 5 1
4 Bo C 3 DX
1 5 1 5
F & xs H xs
5 \s 5
1 Gy 1 (3) K その他
ー9 一 M7 (021-108)
問6画像OCR
検出分野: 整数、指数・対数、図形・三角関数、方程式・不等式、確率・場合の数
〔 1 〕は必ず解答すること。【L], WH),
〔W)はいずれか 2 問を選択して解答すること。
10. 解答用紙はすべて回収する。持ち帰らず, 必ず提出すること。ただし,
この問題用紙は, 必ず持ち帰ること。
11. 試験時間は60 分である。
12. マーク記入例
19|960 |
OM19(021—431)
CI] (て10において, @20, @, @の値の大小関係を調べ, 最小のものと最大のもの
を, それぞれ解答用紙の所定欄にマークせよ。
(1) 24+ 2emQe. 4b=gr= 2" CHS,
Oa b @
(2) 29十只一8一3をr十2で割ったときの商を了(x) とする。
als @ 3. 7 、
@ 7にの) @ rep © Fp
(3) SEMI MRR MH LIZ 3 RPCL, 一1, 1), Q(0, 3, —1), RCO, 1, 2)
がある。人へPQR の重心の座標を(2, 6, c) とする。
Oa ®» @
(4) 2点P Qの位置ベタトルをそれぞれヵ. 4とおく。線分PQを3 : 2に外
分する点を M とするとき, MOMENT bY mid,
だレー (@>))
である。
@ a 5 @ <
(5) 実数g. 』 について, 1一73 111は虚数単位)とが 3 次方程式
xo t be? — 2x +0=0 OIC THIS,
@ a 人 5 @ ょ<
(6) a, b, cは定数で, 3次関数7(z)= gz3十 Ox? + cx Ake =— 2 CMAN
を, x= 3 で極大値をもつ。
@ < b @ <
まき やM19(021一432)
7) sin? > |cos@ | を満たす9の範囲は, g, b, cを正の整数,ヵを任意の
整数として,
ann + <0 < ann +
と表せる。
@ a b © で
(8) a, ぁ<は定数で. 次の等式が成立する。
ーー 9 」_ tb ee. ご16
ーー 2テキューテテュー G28)
@ a & @ C
Q) 下の図のように, 東西に6本, 南北に6本の道のある町がある。 次の場合の
A 地点から B 地点までの最短経路について.
北 __B
a キートー
7 南
0 Pを経由する場合の数
© Qを経由する場合の数
© R を経由する場合の数
(O BAX OBIE ヵ(X)で表す。正の角数全休の集合を全体集合とする3つ
OBPREA=(x|1S2S9}, B=fe| 35x56}, CHtxl 45258)
DWT,
@20 4nBnO ® z(4ngnの © (4nBnの
— 2 OM19(021-—434)
CH), (, 〔IVY)のうち 2 問を選択して解答せよ。 (なお 3 問すべてに解答した場
Ald, 高得点の 2 問を合計得点に含める。)
[ [ ] 所定の解答欄(表面)に, (1, (2220については答のみを, (3)については答と解答経
過をともに記せ。
不等式logzx十log.4 一log,2 = tog, について, log2x三とおいたと
&,
(1) 左辺を々を用いた式で表せ。
(2) 右辺を々を用いた式で表せ。
(3) 不等式を満たす*の範囲を求めよ。
() 所定の解答欄(裏面)に。 (1) (2, (3については答のみを, 4については答とと
もに解答経過の説明を記せ。
0 から 5 までの整数からなる数列 (z』] の第ヵ 項を a(n) と表記することとし,
整数7およびヵを用いて次のように定義する。
a(1)=0
1SiS4*(kZ0)ICML,
i) a(4*+i)lhaGi)+1%6 CHOERYD
ii) eg(2・44上す)は6()二5を6で割った余り
i) a(3-4*+i)=a(i)
(1) kR=0ODES, a(2), a(3), g(4) を求めよ。
(2) RZIDOER, al4*+1), a(2+4*+2), g(3・4『 二 3)を求めよ。
(3) b,c, d, 6を0以上4未満の整数として, 82 を0・4?十c・42十9・4リ十6
の形式で書け。
(4) a(182) を求めよ。
= 5 一 M19 (021一436)
(II, 〔IW)のうち2問を選択して解答せよ。(なお 3 問すべてに解答した場
Slt, 高得点の 2 問を合計得点に含める。)
CV) 所定の解答欄(理面)に, (D, (4については答のみを, (212, (3については答と解
（続きは問題PDFで確認できます）
〔W)はいずれか 2 問を選択して解答すること。
10. 解答用紙はすべて回収する。持ち帰らず, 必ず提出すること。ただし,
この問題用紙は, 必ず持ち帰ること。
11. 試験時間は60 分である。
12. マーク記入例
19|960 |
OM19(021—431)
CI] (て10において, @20, @, @の値の大小関係を調べ, 最小のものと最大のもの
を, それぞれ解答用紙の所定欄にマークせよ。
(1) 24+ 2emQe. 4b=gr= 2" CHS,
Oa b @
(2) 29十只一8一3をr十2で割ったときの商を了(x) とする。
als @ 3. 7 、
@ 7にの) @ rep © Fp
(3) SEMI MRR MH LIZ 3 RPCL, 一1, 1), Q(0, 3, —1), RCO, 1, 2)
がある。人へPQR の重心の座標を(2, 6, c) とする。
Oa ®» @
(4) 2点P Qの位置ベタトルをそれぞれヵ. 4とおく。線分PQを3 : 2に外
分する点を M とするとき, MOMENT bY mid,
だレー (@>))
である。
@ a 5 @ <
(5) 実数g. 』 について, 1一73 111は虚数単位)とが 3 次方程式
xo t be? — 2x +0=0 OIC THIS,
@ a 人 5 @ ょ<
(6) a, b, cは定数で, 3次関数7(z)= gz3十 Ox? + cx Ake =— 2 CMAN
を, x= 3 で極大値をもつ。
@ < b @ <
まき やM19(021一432)
7) sin? > |cos@ | を満たす9の範囲は, g, b, cを正の整数,ヵを任意の
整数として,
ann + <0 < ann +
と表せる。
@ a b © で
(8) a, ぁ<は定数で. 次の等式が成立する。
ーー 9 」_ tb ee. ご16
ーー 2テキューテテュー G28)
@ a & @ C
Q) 下の図のように, 東西に6本, 南北に6本の道のある町がある。 次の場合の
A 地点から B 地点までの最短経路について.
北 __B
a キートー
7 南
0 Pを経由する場合の数
© Qを経由する場合の数
© R を経由する場合の数
(O BAX OBIE ヵ(X)で表す。正の角数全休の集合を全体集合とする3つ
OBPREA=(x|1S2S9}, B=fe| 35x56}, CHtxl 45258)
DWT,
@20 4nBnO ® z(4ngnの © (4nBnの
— 2 OM19(021-—434)
CH), (, 〔IVY)のうち 2 問を選択して解答せよ。 (なお 3 問すべてに解答した場
Ald, 高得点の 2 問を合計得点に含める。)
[ [ ] 所定の解答欄(表面)に, (1, (2220については答のみを, (3)については答と解答経
過をともに記せ。
不等式logzx十log.4 一log,2 = tog, について, log2x三とおいたと
&,
(1) 左辺を々を用いた式で表せ。
(2) 右辺を々を用いた式で表せ。
(3) 不等式を満たす*の範囲を求めよ。
() 所定の解答欄(裏面)に。 (1) (2, (3については答のみを, 4については答とと
もに解答経過の説明を記せ。
0 から 5 までの整数からなる数列 (z』] の第ヵ 項を a(n) と表記することとし,
整数7およびヵを用いて次のように定義する。
a(1)=0
1SiS4*(kZ0)ICML,
i) a(4*+i)lhaGi)+1%6 CHOERYD
ii) eg(2・44上す)は6()二5を6で割った余り
i) a(3-4*+i)=a(i)
(1) kR=0ODES, a(2), a(3), g(4) を求めよ。
(2) RZIDOER, al4*+1), a(2+4*+2), g(3・4『 二 3)を求めよ。
(3) b,c, d, 6を0以上4未満の整数として, 82 を0・4?十c・42十9・4リ十6
の形式で書け。
(4) a(182) を求めよ。
= 5 一 M19 (021一436)
(II, 〔IW)のうち2問を選択して解答せよ。(なお 3 問すべてに解答した場
Slt, 高得点の 2 問を合計得点に含める。)
CV) 所定の解答欄(理面)に, (D, (4については答のみを, (212, (3については答と解
（続きは問題PDFで確認できます）