藤原進之介です。このページでは立命館大学2016年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
問題
解答
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立命館大学 2016年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 確率・場合の数
- 微分・積分
- 関数・グラフ
- 数列
- 空間図形
- 図形・三角関数
- 方程式・不等式
- 整数
この年度の出題範囲と傾向
2016年度の問題PDFでは、確率・場合の数、微分・積分、関数・グラフ、数列、空間図形に関する語句や設問を確認できました。立命館大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、微分・積分は30年度、関数・グラフは28年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 空間図形、数列、方程式・不等式、関数・グラフ、整数
(1) 200 以上 300 以下の自然数のうち, 7 で割ると2余る数を小さいものから順
に普べた数列は, 初項が RSA 。 項数が の等差数
列となる。この数列の初項から末項までの和は である。
(2) ある会社の従業員 20 人の 1 ヶ月あたりの給与が次のようになっていた。
30 20 40 30 20 50 20 30 40 20
(単位は万円)
40 30 50 30 20 30 40 30 60 30
BS 08H R CaP], 平均値は [廊円, 長痕値は
(APH, selina [万円] である。 次に, HKG (FIX BPS,
| seem (AR となる。
|
|
(Sa)
(3) 2次方程式 2ー(#二4) -考+ 10280 timc @
Bl Sx 54 の範囲に少なくとも 1 つの実数解をもゃつための定数をの値の範
囲を次のようにして求める。
まず, 〇を変形すると, P—det Wm +t となる。
の頂点の座標は ( , ) cas.
の
は。ぁの値にかかわらず。 定点 ( 」 ) ei.
放物線2と直線3が 1 ミァミ4 の範囲で接するとき, 定数をの値は
k= である。
よって, 求める定数をの値の範囲は である。
ー 0一
(Sa)
IT ある企業が半呈をァキログラム生産するためには。 RAL LTCHEETS.
RHC は生産量の関数
C= x8 62+ 360x (ただし,ょ0)
として表されるとする。C をヶで微分し変形すると。 ( ェー y+
となるので, C はヶ について増加する。 ただし。 [7], | ィ | は*を含ま
ない。 SIE LASUALT NCHS CLOTS, 売れ残りはないとする。
製品 1 キログラムあたりの販売価格がヵ 円であるとき。 CROMAR Ik x OWK
ルアーが
ERD, 企業の利療 の は, 収入と費用の差
Q@=R-C
となる。たとえば。 販売価格が p = 300, 生産量がェー6 DLE, 全業の利益の
は 円である。
ARIAS 0 が最大たなるよう に生産量* を設定する。 販売価格が ヵー 300 の
ときには, 企業は生産量を *ニ と設定する。 また, 販売価格が ヵ =
のときには, 企業は生産量をャー32 と設定する。
KIC, 販売価格が p = 108 の場合を考える。 x= のときに利益 0 1A
大人 をとり, その億は負である。この場合, 企業が生産を行うと損失が発
EOC, 生義を行わない。
企業が正の利益を得ることができるのは,販売価格ヵが 円を上回ると
きである。
ーー
(Sa®)
四 空間に球面S :巡十7%十2一4z三0 と定点A(0, 1, 4) がある。次の問
いに答えよ。
(1) 球面S の中心Cの座標と半径を求めよ。
[2 〕 直線ACと平面との交点 P の座標を求めよ。
(3) 平面上に点 B(4, 一1, 0) をとるとき, 直線AB と球面$ の共有点の
座標を求めよ。
(4) 直線AQ と球面S が共有点をもつように点 Qが平面上を動く。このとき,
点 Q の動く範囲を求めて, それを 平面上に図夫せよ。
pad っ
(Sa1)
に普べた数列は, 初項が RSA 。 項数が の等差数
列となる。この数列の初項から末項までの和は である。
(2) ある会社の従業員 20 人の 1 ヶ月あたりの給与が次のようになっていた。
30 20 40 30 20 50 20 30 40 20
(単位は万円)
40 30 50 30 20 30 40 30 60 30
BS 08H R CaP], 平均値は [廊円, 長痕値は
(APH, selina [万円] である。 次に, HKG (FIX BPS,
| seem (AR となる。
|
|
(Sa)
(3) 2次方程式 2ー(#二4) -考+ 10280 timc @
Bl Sx 54 の範囲に少なくとも 1 つの実数解をもゃつための定数をの値の範
囲を次のようにして求める。
まず, 〇を変形すると, P—det Wm +t となる。
の頂点の座標は ( , ) cas.
の
は。ぁの値にかかわらず。 定点 ( 」 ) ei.
放物線2と直線3が 1 ミァミ4 の範囲で接するとき, 定数をの値は
k= である。
よって, 求める定数をの値の範囲は である。
ー 0一
(Sa)
IT ある企業が半呈をァキログラム生産するためには。 RAL LTCHEETS.
RHC は生産量の関数
C= x8 62+ 360x (ただし,ょ0)
として表されるとする。C をヶで微分し変形すると。 ( ェー y+
となるので, C はヶ について増加する。 ただし。 [7], | ィ | は*を含ま
ない。 SIE LASUALT NCHS CLOTS, 売れ残りはないとする。
製品 1 キログラムあたりの販売価格がヵ 円であるとき。 CROMAR Ik x OWK
ルアーが
ERD, 企業の利療 の は, 収入と費用の差
Q@=R-C
となる。たとえば。 販売価格が p = 300, 生産量がェー6 DLE, 全業の利益の
は 円である。
ARIAS 0 が最大たなるよう に生産量* を設定する。 販売価格が ヵー 300 の
ときには, 企業は生産量を *ニ と設定する。 また, 販売価格が ヵ =
のときには, 企業は生産量をャー32 と設定する。
KIC, 販売価格が p = 108 の場合を考える。 x= のときに利益 0 1A
大人 をとり, その億は負である。この場合, 企業が生産を行うと損失が発
EOC, 生義を行わない。
企業が正の利益を得ることができるのは,販売価格ヵが 円を上回ると
きである。
ーー
(Sa®)
四 空間に球面S :巡十7%十2一4z三0 と定点A(0, 1, 4) がある。次の問
いに答えよ。
(1) 球面S の中心Cの座標と半径を求めよ。
[2 〕 直線ACと平面との交点 P の座標を求めよ。
(3) 平面上に点 B(4, 一1, 0) をとるとき, 直線AB と球面$ の共有点の
座標を求めよ。
(4) 直線AQ と球面S が共有点をもつように点 Qが平面上を動く。このとき,
点 Q の動く範囲を求めて, それを 平面上に図夫せよ。
pad っ
(Sa1)
問2画像OCR
検出分野: 方程式・不等式、図形・三角関数、空間図形、整数、微分・積分
(1) MRSS ARK, b, clk, a<b<c OMMEBLL, どの2つの数の
和も残りの数で割ると1 余る。
gヶ十5をcで割ったときの商を次のように求める。1ミg@ぐ5ぐc より。
<りく2c なので, q寺0をcで割ったときの商を9 とすると, 4は| 7 |
か のいずれかである (REL, < Je しかし, 9 を
とすると, e十5ー1 となり, 1Sa<b に反し不適である。よっ
て, ROS GE となる。
KK, gcを2 で割ったときの商を求めると。 | ゥ | である。
(2) へABC において = BB 3 放り立っているとき、3辺の
長きの比を最も簡単な半数の比で表すと
また, cosC= となるので, へABC の面積が 15/7 のとき,
AB=| クタ | となる。
Le=
(Sa@)
(3) x, 9, 2ERMETS. KO ~ KES MIE LORFOA,
B, C, D から選び, 記号で答えよ。
(a) #+2r-8200, *と5 であるための| ヶ | 。
(b) ーすミィ は, |2+2/2|x-1| であるための | ュ |.
(c) [xtytz2=0 かつ ytyta=0) 8, B=y=8 であるため
2[す1]。
(4) 自然数ぁ が奇数であることは, 2次方程式 2 キャニカ ROME
もたないための wa
A : 必要十分条件である
B : 必要条件であるが十分条件ではない
C : 十分条件であるが必要条件ではない
D : 必要条件でも十分条件でもない
ーー
(sa)
I 表1は, 日本の一般成人に必要とされる栄養素のうち, ビタミンA。 ビタミンC。
ビタミンEの1食あたりの必要摂取量の目安を示している。
表1
|トー ビタミンA(zg) | ビタミンC(mg) | ビタミンE(me)
必要摂取量ノ食 500 40 4 |
Mugi v4 7U7F4 (=10%g)
表2 は, シーザーサラダ, ポテトサラダ, 海草サラダ, オレンジジュース, カ
レーライス100gあたりのビタミンA, ビタミンC, ビタミンEの含有量, カロ
リー, および値段を示している。
表2
ビタミンA| ビタミンC| ビタミンE| カロリー | 仁和
(gg/100g ) | (mg/100 g ) | (mg/100g ) |(kca/100 g)| (円/100g)
100 10 2 150 100
ポテトサラダ nz | 40 0.32 80
BEIT 280 0 as | 4 | ie
ォレンジジュース| 20 | so 40
カレーライス 6 | 0.6 150 | 150 |
次の問いに答えよ。分数になるときには婚約分数で答えよ。
(1) 海草サラダのみで, 1食あたりのビタミンAの必要摂取量を摂取するため
には, 最低 | ア | gs食べる必要があり, 1食あたりのビタミンAとビタミン
の必要反基を両記とる摂取するためには 最低 食べる必要があ
り, そのときの金額は | ウ | 円である。
(2) 海草サラダとオレンジジュースを狗食する場合を考える。オレンジジュース
ED gKA TERT FeRG | エ | g食べれば, ポテトサラダを100gだ
けを食べたときと同じかもしくはより多くのビタミンA, ビタミンC, ビタミ
ンE を抱取することができる。
ーー
(a)
(3] カレーライス 500 9 に加えてオレンジジュースを飲む場合を考える。摂取カ
ロリーを合計 1200koal 以下にするためには, オレンジジュースは最大| オ |]g
飲なことができる。
(4) カレーライス500g に加えてシーザーサラダとオレンジジュースを飲食する
とき, ビタミンA,。 ビタミンC, ビタミンEのすべてについて 1 食あたりの必
要摂取量を満たし。 カロリーを合計で 1200 kcal 以下に抑え, DO, SHO
を最小にする方法を考える。
シーザーサラダァ円分,オレンジジュースy円分を飲食するとき,、 各種のビ
タミンとカロリーの摂取量を*, ヶ の不等式で表すと,
ピタミンAについては| ヵ |ェ+| キ | >)+e5xsss00
ビタミンCについては, Ole +27 +0.6X5240
ビタミンEについては, [7 | ェ+| タッ+o24x5a4
カロリーについては, 1.5* +4.5y +150 X 5 < 1200
となる。
これらの不等式を図示して分析する と, 合計金額を最小にするのは, シー
ザーサラダを| コ | g食べて, オレンジジュースを | サ | 飲むときであ
ることがわかる。このとき。 扱取されるカロリーは| シ | koa CHS.
次の表 3 の空欄は埋めなくてよい。 必要があれば活用してもよい。
表3
(Zg/円) | (ma/円) | (mg円) | (kcal白)
fener pe
a se
ーs 一
(Sa®)
Il OA=0B=0C=6, ZAOB = ZBOC = ZCOA = 90"である四面体OABCが
あり, へOAB の重心を D, 線分CD を 3 : 1 に内分する点をFE, へABCの重心をFと
する。 次に OA=a, 0B=ニ5 0C=ニ< とし, OP=ニ2十5.0Q=5する
ORニーくる@となるように3点P, QRを定め, へPQR の重心をとする。さら
にRS =#となるように点 S を定める。
次の問いに答えよ。
(1) OEを2, 3, <を用いて表せ。
(2) OE :EF を求め, MOMECEROUCHAL.
(3) SAF, TSが一直線上にあることを示せ。
(4) 線分FT の長さを求めよ。
(5) 直線 0S は平面 PQR に垂直であることを示せ。
（続きは問題PDFで確認できます）
和も残りの数で割ると1 余る。
gヶ十5をcで割ったときの商を次のように求める。1ミg@ぐ5ぐc より。
<りく2c なので, q寺0をcで割ったときの商を9 とすると, 4は| 7 |
か のいずれかである (REL, < Je しかし, 9 を
とすると, e十5ー1 となり, 1Sa<b に反し不適である。よっ
て, ROS GE となる。
KK, gcを2 で割ったときの商を求めると。 | ゥ | である。
(2) へABC において = BB 3 放り立っているとき、3辺の
長きの比を最も簡単な半数の比で表すと
また, cosC= となるので, へABC の面積が 15/7 のとき,
AB=| クタ | となる。
Le=
(Sa@)
(3) x, 9, 2ERMETS. KO ~ KES MIE LORFOA,
B, C, D から選び, 記号で答えよ。
(a) #+2r-8200, *と5 であるための| ヶ | 。
(b) ーすミィ は, |2+2/2|x-1| であるための | ュ |.
(c) [xtytz2=0 かつ ytyta=0) 8, B=y=8 であるため
2[す1]。
(4) 自然数ぁ が奇数であることは, 2次方程式 2 キャニカ ROME
もたないための wa
A : 必要十分条件である
B : 必要条件であるが十分条件ではない
C : 十分条件であるが必要条件ではない
D : 必要条件でも十分条件でもない
ーー
(sa)
I 表1は, 日本の一般成人に必要とされる栄養素のうち, ビタミンA。 ビタミンC。
ビタミンEの1食あたりの必要摂取量の目安を示している。
表1
|トー ビタミンA(zg) | ビタミンC(mg) | ビタミンE(me)
必要摂取量ノ食 500 40 4 |
Mugi v4 7U7F4 (=10%g)
表2 は, シーザーサラダ, ポテトサラダ, 海草サラダ, オレンジジュース, カ
レーライス100gあたりのビタミンA, ビタミンC, ビタミンEの含有量, カロ
リー, および値段を示している。
表2
ビタミンA| ビタミンC| ビタミンE| カロリー | 仁和
(gg/100g ) | (mg/100 g ) | (mg/100g ) |(kca/100 g)| (円/100g)
100 10 2 150 100
ポテトサラダ nz | 40 0.32 80
BEIT 280 0 as | 4 | ie
ォレンジジュース| 20 | so 40
カレーライス 6 | 0.6 150 | 150 |
次の問いに答えよ。分数になるときには婚約分数で答えよ。
(1) 海草サラダのみで, 1食あたりのビタミンAの必要摂取量を摂取するため
には, 最低 | ア | gs食べる必要があり, 1食あたりのビタミンAとビタミン
の必要反基を両記とる摂取するためには 最低 食べる必要があ
り, そのときの金額は | ウ | 円である。
(2) 海草サラダとオレンジジュースを狗食する場合を考える。オレンジジュース
ED gKA TERT FeRG | エ | g食べれば, ポテトサラダを100gだ
けを食べたときと同じかもしくはより多くのビタミンA, ビタミンC, ビタミ
ンE を抱取することができる。
ーー
(a)
(3] カレーライス 500 9 に加えてオレンジジュースを飲む場合を考える。摂取カ
ロリーを合計 1200koal 以下にするためには, オレンジジュースは最大| オ |]g
飲なことができる。
(4) カレーライス500g に加えてシーザーサラダとオレンジジュースを飲食する
とき, ビタミンA,。 ビタミンC, ビタミンEのすべてについて 1 食あたりの必
要摂取量を満たし。 カロリーを合計で 1200 kcal 以下に抑え, DO, SHO
を最小にする方法を考える。
シーザーサラダァ円分,オレンジジュースy円分を飲食するとき,、 各種のビ
タミンとカロリーの摂取量を*, ヶ の不等式で表すと,
ピタミンAについては| ヵ |ェ+| キ | >)+e5xsss00
ビタミンCについては, Ole +27 +0.6X5240
ビタミンEについては, [7 | ェ+| タッ+o24x5a4
カロリーについては, 1.5* +4.5y +150 X 5 < 1200
となる。
これらの不等式を図示して分析する と, 合計金額を最小にするのは, シー
ザーサラダを| コ | g食べて, オレンジジュースを | サ | 飲むときであ
ることがわかる。このとき。 扱取されるカロリーは| シ | koa CHS.
次の表 3 の空欄は埋めなくてよい。 必要があれば活用してもよい。
表3
(Zg/円) | (ma/円) | (mg円) | (kcal白)
fener pe
a se
ーs 一
(Sa®)
Il OA=0B=0C=6, ZAOB = ZBOC = ZCOA = 90"である四面体OABCが
あり, へOAB の重心を D, 線分CD を 3 : 1 に内分する点をFE, へABCの重心をFと
する。 次に OA=a, 0B=ニ5 0C=ニ< とし, OP=ニ2十5.0Q=5する
ORニーくる@となるように3点P, QRを定め, へPQR の重心をとする。さら
にRS =#となるように点 S を定める。
次の問いに答えよ。
(1) OEを2, 3, <を用いて表せ。
(2) OE :EF を求め, MOMECEROUCHAL.
(3) SAF, TSが一直線上にあることを示せ。
(4) 線分FT の長さを求めよ。
(5) 直線 0S は平面 PQR に垂直であることを示せ。
（続きは問題PDFで確認できます）
問3画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、数列、関数・グラフ、微分・積分、方程式・不等式
(1) 2次方程式 z?十3z一1ニ0 OME a, 8(g>8) とするとき,
m<a<m+1 FRET EM m の値はカー| ア | , な<く8<ぁ1を
MIT MBE n の値は ヵー である。
また。 e+ の値は | ウ | であり,g+二の値は| エ | cos,
(2) ぁを自然数とする。各項が正である数列 {a,} に対して,
T,= Bo? とおくと Tl, T= tn Unt 1) を満たしている。 この
とき, 数列 {a,} について考える。
n2z20L8,
tea= (= ]#- [a e+ ]+- 1)
であるから,
jis if sit ーーの
Leb. Eh, Old ヵー1 のときにも成立する。
fot, wile}, 初項 | シ | , 公差| ス | の等差数列である。
| (Sa@)
(3) 直線7の方程式をッ=2gr (KEL, g>0) とする。点P(1, 0) を頂
| 点とする放物線が点Qで7に接している。このとき, の方程式は
| ッー| て | であり, exaomme((G], | タ ]) vas.
KIC, * 軸に接する放物線 =p (x— 9) をとする。〇が点Qを通り,
| HQ CO 〇 の接線が7 と直交するとき, AQKEUSRROMS IE で
ある。 このとき, ヵ, a の値は ぁニーニーニーー 7ッー| テーュである。
| ac
また, 放物線 G, *二および直線ァー | ソ | で囲まれた部分の面積を
S, KORG, cht, および直線テー| ソ ] で承まれた部分の面積を $ と
する。 3 = となるのは, a= [『 Joe きである。
=
(Sa®)
IT スポーッ半手の運動能力を次のように3つの指標を用いて評価する。 BERD
EAA 2, 跳虫力がゅ。投用がzであるとき, 選手%の運動能力を 3 次元のペクト
ル 放ー(z, ヵ 2) を用いて表す。 あみ の大きさを運動能力の「強さ」, の向きを
MORENO [Hr] と定義する。
KOR, 。 からe までの 5 名の選手の走力, 味虫力投力を測定した結果を示
している。
表 走力, MY, 投力の測定結果
上すす
| 』 | 5 | タ | s |
pe | 7 | e | e |
StH
Le | | 3 | 2 |
なお, 以下に記す選手/および選手 9 も含め, 全志手の走力, KM, WHO
数値はすべて正の実数である。次の問いに答えよ。
(1) 2 から までの5名の選手のそれぞれの「強さ] を求めると, その最大値は
であり, 最小値は である。
(2) 手同士の運動能力の「傾向」 が頻似しているのかどうかを評価する。 BF
a の運動能力 。と選手5 の運動能力のなす角を @。 とし, 選手。と選手り
の「傾向」 OME S,, を
Say = COSB a5
CRT Sy, Sy 20.95 を満たすとき, 選手。 と選手5ぁの「傾向] が一致
しているという。
ヶ6からg までの4名の選手のなかで, 選手。と「傾向] が一致しているの
は, BE である。
次 に, 選手/の運動能力がケー(2, 5, 3), 選手9の運動能力が
B= (ip 6, 6) である。 選手/と選手の「傾向」の類似度 3。の2乗が
とりう る値の最大値は, 5。 = である。 このとき,ぁー| オ ],
lnl= である。
(Sa®)
I A, B, Cの3人人が次のルールでゲーム をする。
1つのさいころを1 回投げて, 出た目が1ならばAに]点与え, 出た目が2ま
たは3ならばBに1点与え, それ以外の場合はCに1点与える。この試行を繰り
返し行い, いずれか 1 ADO 2 人にそれぞれ 2 点以上点差をつければ, ゲームが
終り, 得点の最も多い者が勝つ。ただし, さいころはどの目も同じ確率で出るとす
る。
次の問いに答えよ。
| (1) 2回目の試行で B が勝つ確率を求めよ。
(2) 4 回目の試行で B が勝つ確率を求めよ。
(3) SHB ORT CB が騰つ確率を求めよ。
(4) 6回目の試行で B が勝つ確率を求めよ。
ee
(Sa)
if
m<a<m+1 FRET EM m の値はカー| ア | , な<く8<ぁ1を
MIT MBE n の値は ヵー である。
また。 e+ の値は | ウ | であり,g+二の値は| エ | cos,
(2) ぁを自然数とする。各項が正である数列 {a,} に対して,
T,= Bo? とおくと Tl, T= tn Unt 1) を満たしている。 この
とき, 数列 {a,} について考える。
n2z20L8,
tea= (= ]#- [a e+ ]+- 1)
であるから,
jis if sit ーーの
Leb. Eh, Old ヵー1 のときにも成立する。
fot, wile}, 初項 | シ | , 公差| ス | の等差数列である。
| (Sa@)
(3) 直線7の方程式をッ=2gr (KEL, g>0) とする。点P(1, 0) を頂
| 点とする放物線が点Qで7に接している。このとき, の方程式は
| ッー| て | であり, exaomme((G], | タ ]) vas.
KIC, * 軸に接する放物線 =p (x— 9) をとする。〇が点Qを通り,
| HQ CO 〇 の接線が7 と直交するとき, AQKEUSRROMS IE で
ある。 このとき, ヵ, a の値は ぁニーニーニーー 7ッー| テーュである。
| ac
また, 放物線 G, *二および直線ァー | ソ | で囲まれた部分の面積を
S, KORG, cht, および直線テー| ソ ] で承まれた部分の面積を $ と
する。 3 = となるのは, a= [『 Joe きである。
=
(Sa®)
IT スポーッ半手の運動能力を次のように3つの指標を用いて評価する。 BERD
EAA 2, 跳虫力がゅ。投用がzであるとき, 選手%の運動能力を 3 次元のペクト
ル 放ー(z, ヵ 2) を用いて表す。 あみ の大きさを運動能力の「強さ」, の向きを
MORENO [Hr] と定義する。
KOR, 。 からe までの 5 名の選手の走力, 味虫力投力を測定した結果を示
している。
表 走力, MY, 投力の測定結果
上すす
| 』 | 5 | タ | s |
pe | 7 | e | e |
StH
Le | | 3 | 2 |
なお, 以下に記す選手/および選手 9 も含め, 全志手の走力, KM, WHO
数値はすべて正の実数である。次の問いに答えよ。
(1) 2 から までの5名の選手のそれぞれの「強さ] を求めると, その最大値は
であり, 最小値は である。
(2) 手同士の運動能力の「傾向」 が頻似しているのかどうかを評価する。 BF
a の運動能力 。と選手5 の運動能力のなす角を @。 とし, 選手。と選手り
の「傾向」 OME S,, を
Say = COSB a5
CRT Sy, Sy 20.95 を満たすとき, 選手。 と選手5ぁの「傾向] が一致
しているという。
ヶ6からg までの4名の選手のなかで, 選手。と「傾向] が一致しているの
は, BE である。
次 に, 選手/の運動能力がケー(2, 5, 3), 選手9の運動能力が
B= (ip 6, 6) である。 選手/と選手の「傾向」の類似度 3。の2乗が
とりう る値の最大値は, 5。 = である。 このとき,ぁー| オ ],
lnl= である。
(Sa®)
I A, B, Cの3人人が次のルールでゲーム をする。
1つのさいころを1 回投げて, 出た目が1ならばAに]点与え, 出た目が2ま
たは3ならばBに1点与え, それ以外の場合はCに1点与える。この試行を繰り
返し行い, いずれか 1 ADO 2 人にそれぞれ 2 点以上点差をつければ, ゲームが
終り, 得点の最も多い者が勝つ。ただし, さいころはどの目も同じ確率で出るとす
る。
次の問いに答えよ。
| (1) 2回目の試行で B が勝つ確率を求めよ。
(2) 4 回目の試行で B が勝つ確率を求めよ。
(3) SHB ORT CB が騰つ確率を求めよ。
(4) 6回目の試行で B が勝つ確率を求めよ。
ee
(Sa)
if
問4画像OCR
検出分野: 数列、ベクトル、関数・グラフ、図形・三角関数、整数
(第3時限 : 80分)
2016 FE ©
選 択 科 A eon
fi a
ページ
時
本
注 意 事項
1. 試験開始の合図があるまで, この関題冊子の中を見てはいけません。
2. 上記の科目から 1 科目を選択しなさい。
3. 解答はすべて別紙の解答用紙に記入しなさい。
4, 試験終了後, 問題民子・選択しなかった解答用紙は持ち帰りなさい。
|
|
(Sa®)
|
数 学
ROI, IT, 相の設問について解答せよ。ただし, 1, については問題文中の
| | にあてはまる適当なものを,解符用紙の所定の提に記入せよ。なお解答が分
数になる場合は。 すべて既約分数で答えること。
Cid
(a) 3つの正の数<, b, c OVA 4, 標準信着が8であるとき,
がキどニー| アァ |, み+k+w=| ィ | thd.
(5 ) ある集団はAとBの2つのグループで構成される。データを集計した
ところ, それぞれのグループの個数, PH, 分散は下の半のようになっ
た。 このとき, 集団全体の平均舘は | ゥ | , ate [= | である。
Da fe Pepa
= (3a
(2) ーーも とするとき, e+etioiie a | である。 また, 8
の値は| ヵ | でぁぁ。
KE, ヶ を3 以上の自然数とするとき, Whee tet] で割った余
りを求めるたと, n=3e のときは| キ |,ぁー3%+1のときは| ク |,
ォー3を十2 のときは| ヶ | となる。ただしょは自然数とする。
ーー
(ea)
(3] AABC において, ベクトルの内積の値を 4お ・C =p, CA-AB =a,
8C・C4 ニァ とおく。次の問いについて, TORRE SRL MIE COLE
び, その番号で答えよ。
(a) =0 のとき, AABCは| コ | となる三角形である。
[it] O 角Aが直角 © 角Bが直角 © 角Cが直角
(b) p=q のとき, へABCは| サ | となる三角形である。
[#] © AB=BC @ BC=CA 3 CA=AB
| (c) aascommis, 4 /TABPTACP— GB -ACyl であるから。 か
の 7を用いて表すと, となる。
Hl 1 Suter) © 二がアキメカ
@ 坊(g+み+カの) © すすみ+すの
— se —
(Sa®)
ある家にAさんとBさんが住んでおり, ビー玉 10 個とおはじき18 個を2 人で
分け合っている。
Aきんが保有するビー玉とおはじきの数をそれぞれx。(個)。 ya(個)/、 また, B
きんが保有するビーとおはじきの数をそれぞれ%(個)。y』 (IB) と表す。
人Aさんがビー玉とおはじきを保有することで得られる満足度 ld
Ug = 2 aya
と表せるとする。また, BSAMBONZIRREE uy は
Up = tp + Ip
と表せるとする。
例えば, (x4, 4) = (8, 12) である場合を考える。このとき, uy = 12,
Gs =([ァ| ]。 = である。この状態から2人の
間でビー玉とおはじきを交換する。A さんがB さんからビピー玉を3 個受け取り,
同時に B さんにおはじきを MET LE, A さんの満足度 。 の値は 12 とな
る。また, この交換によって B さんの満足度 uy の値は だけ高くなる。
次に, より一般的な場合を考える。満足度 g。がある一定の値7 (7 = 0) になる
ように, A きんがビー玉ぇとおはじきヵ を保有し, 残りはB さんが保有する。こ
DER, ta jo 「の間に, 94 = の関係が成立する。また。B さんの満足
Eup をる と,を用いて。
の
と表すことができる。したがって, B さんの満足度 % の最大値をを用いて表す
と, となる。
この家全体での満足度ゅ は
ター
と表せるとする。w が最大値をとるとき, uy の値は であり, との人
= ips
(Sa)
Tl 初項1, 公比2の等比数列を, 下のように第1 群に2個, 第2群に4 個,第3群
に6 個,...と, 第を群に含まれる数の個数が 2k 個となるように群に分ける。
1, 2 | 4, 8 16, 32 | 64。 ...
次の問いに答えよ。
(1) 第4群の5番目の数を求めよ。
[2 〕 第1群から第3群までに含まれる数の総和を求めよ。
(3) 第ぁ群の最初の数を求めよ。
(4) 第を群に含まれる数の総和を求めよ。
ー40一
! (Sa4)
2016 FE ©
選 択 科 A eon
fi a
ページ
時
本
注 意 事項
1. 試験開始の合図があるまで, この関題冊子の中を見てはいけません。
2. 上記の科目から 1 科目を選択しなさい。
3. 解答はすべて別紙の解答用紙に記入しなさい。
4, 試験終了後, 問題民子・選択しなかった解答用紙は持ち帰りなさい。
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(Sa®)
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数 学
ROI, IT, 相の設問について解答せよ。ただし, 1, については問題文中の
| | にあてはまる適当なものを,解符用紙の所定の提に記入せよ。なお解答が分
数になる場合は。 すべて既約分数で答えること。
Cid
(a) 3つの正の数<, b, c OVA 4, 標準信着が8であるとき,
がキどニー| アァ |, み+k+w=| ィ | thd.
(5 ) ある集団はAとBの2つのグループで構成される。データを集計した
ところ, それぞれのグループの個数, PH, 分散は下の半のようになっ
た。 このとき, 集団全体の平均舘は | ゥ | , ate [= | である。
Da fe Pepa
= (3a
(2) ーーも とするとき, e+etioiie a | である。 また, 8
の値は| ヵ | でぁぁ。
KE, ヶ を3 以上の自然数とするとき, Whee tet] で割った余
りを求めるたと, n=3e のときは| キ |,ぁー3%+1のときは| ク |,
ォー3を十2 のときは| ヶ | となる。ただしょは自然数とする。
ーー
(ea)
(3] AABC において, ベクトルの内積の値を 4お ・C =p, CA-AB =a,
8C・C4 ニァ とおく。次の問いについて, TORRE SRL MIE COLE
び, その番号で答えよ。
(a) =0 のとき, AABCは| コ | となる三角形である。
[it] O 角Aが直角 © 角Bが直角 © 角Cが直角
(b) p=q のとき, へABCは| サ | となる三角形である。
[#] © AB=BC @ BC=CA 3 CA=AB
| (c) aascommis, 4 /TABPTACP— GB -ACyl であるから。 か
の 7を用いて表すと, となる。
Hl 1 Suter) © 二がアキメカ
@ 坊(g+み+カの) © すすみ+すの
— se —
(Sa®)
ある家にAさんとBさんが住んでおり, ビー玉 10 個とおはじき18 個を2 人で
分け合っている。
Aきんが保有するビー玉とおはじきの数をそれぞれx。(個)。 ya(個)/、 また, B
きんが保有するビーとおはじきの数をそれぞれ%(個)。y』 (IB) と表す。
人Aさんがビー玉とおはじきを保有することで得られる満足度 ld
Ug = 2 aya
と表せるとする。また, BSAMBONZIRREE uy は
Up = tp + Ip
と表せるとする。
例えば, (x4, 4) = (8, 12) である場合を考える。このとき, uy = 12,
Gs =([ァ| ]。 = である。この状態から2人の
間でビー玉とおはじきを交換する。A さんがB さんからビピー玉を3 個受け取り,
同時に B さんにおはじきを MET LE, A さんの満足度 。 の値は 12 とな
る。また, この交換によって B さんの満足度 uy の値は だけ高くなる。
次に, より一般的な場合を考える。満足度 g。がある一定の値7 (7 = 0) になる
ように, A きんがビー玉ぇとおはじきヵ を保有し, 残りはB さんが保有する。こ
DER, ta jo 「の間に, 94 = の関係が成立する。また。B さんの満足
Eup をる と,を用いて。
の
と表すことができる。したがって, B さんの満足度 % の最大値をを用いて表す
と, となる。
この家全体での満足度ゅ は
ター
と表せるとする。w が最大値をとるとき, uy の値は であり, との人
= ips
(Sa)
Tl 初項1, 公比2の等比数列を, 下のように第1 群に2個, 第2群に4 個,第3群
に6 個,...と, 第を群に含まれる数の個数が 2k 個となるように群に分ける。
1, 2 | 4, 8 16, 32 | 64。 ...
次の問いに答えよ。
(1) 第4群の5番目の数を求めよ。
[2 〕 第1群から第3群までに含まれる数の総和を求めよ。
(3) 第ぁ群の最初の数を求めよ。
(4) 第を群に含まれる数の総和を求めよ。
ー40一
! (Sa4)
問5画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、数列、微分・積分、指数・対数、図形・三角関数
(1) @, 5を正の数, e を自然対数の底とする。 2 つの曲線 Ciy=ae* と
Qiy=be が, ある共有点で共通の接線 をもつ。このときgを5ヵを用い
て表すと, a= となる。 の との の接点の座標を を用いて表すと
([タ1. ) となり, Bk OBR 1 を用いて表すと
となる。 BAHL, 9 の値にかかわりなく, wica( | ト |, je
通る。 曲線 と接線および) CHEN SRROMRE S,, HO LH
Hh および) 軸で囲まれる図形の面積を $。 とする。S, と $ を5 を用いて表す
も ター| ミニ] =[ネ |となり. 2 ta, 5 の値にかかわりなく一
定となる。
(2) c, 9 を正の数とする。 2 つの曲線 Giy =lgt と ix =dy’ が, ある
共有点で共通の接線ぃをもつ。このときcを9を用いて表すと, c=
ERS. GEG ORROMME d を用いて表すと ( | ノ | , Je
Bb. BBL, d の値にかかわりなく, 常に点 ( Le], ) を通
る。
2» —
abの
I 2つの数列 {a,}& {が与えられたとし, Bib, は自然数とする。このと
き, 新しい数列 {c。}を c,= ay, (2 =1,2,---) のように定める。 すなわち,
数列 {2。}の第 b, 番目の項を c。 と定める。
(1) g=壇, b= OER, GH. mage GH LA] thd,
201 {¢,}O% 1 項から第ヶ 項までの和は | ホ | である。
(2) ニー, b= 2g のときらニュ 6ー舎つら| マ | でぁ
り, 数列 [1の第1項から第 項までの和は | ミ | である。
ee _ な(み圭1) 内 i %
(3) a= yz, そしてヵ © a, Bm 以上になる最小のヵ とする。この
ES, ニュ, あー2, B= 2,00 ea = LA | であり ムー
らー3。 C= 3,7, eeen ュー | メ | である。 数列 {あの第1項から第
2G5) 項までの和なは | モ | である。また, 数列 {c。}の第1項から第
20+) 項までの和は| ャ |] でぁる。
Ge: ~ は, WERE n ORTHS.)
ーョー
(Mab2)
NM
(1) 1個のサイコロを2 回続けて投げるとき, 1回目に出た目より 2 回目に出た
目のほうが大きいか, または等しい確率は | ユ | である。また, 1回且に出
た目よりる 2 回目に出た目のほうが大きいか, または等しいことがわかってい
るとき, 2回目に出目が1回目に出目で割り切れる礁率は| ョ | である。
(2) 次に, 1 個のサイコロをぁ回続けて投げる場合を考える。ヵ 回目に初めて
1 の目が出る確率は CHS. Eh, ヵ 回目までに少なくとも 1 回は1
の目が出る確率は | リ | である。
(3) 1 個のサイコロをくり返し投げ, 1と6の両方の目が少なくとる 1 回出た時
点で終わるというゲームを考える。このゲームがヵ回目(ただし, ヶ 2)
で終わる確率を求めよう。# 回目に 1 の目または6 の目が初めて出て, TOK
（続きは問題PDFで確認できます）
Qiy=be が, ある共有点で共通の接線 をもつ。このときgを5ヵを用い
て表すと, a= となる。 の との の接点の座標を を用いて表すと
([タ1. ) となり, Bk OBR 1 を用いて表すと
となる。 BAHL, 9 の値にかかわりなく, wica( | ト |, je
通る。 曲線 と接線および) CHEN SRROMRE S,, HO LH
Hh および) 軸で囲まれる図形の面積を $。 とする。S, と $ を5 を用いて表す
も ター| ミニ] =[ネ |となり. 2 ta, 5 の値にかかわりなく一
定となる。
(2) c, 9 を正の数とする。 2 つの曲線 Giy =lgt と ix =dy’ が, ある
共有点で共通の接線ぃをもつ。このときcを9を用いて表すと, c=
ERS. GEG ORROMME d を用いて表すと ( | ノ | , Je
Bb. BBL, d の値にかかわりなく, 常に点 ( Le], ) を通
る。
2» —
abの
I 2つの数列 {a,}& {が与えられたとし, Bib, は自然数とする。このと
き, 新しい数列 {c。}を c,= ay, (2 =1,2,---) のように定める。 すなわち,
数列 {2。}の第 b, 番目の項を c。 と定める。
(1) g=壇, b= OER, GH. mage GH LA] thd,
201 {¢,}O% 1 項から第ヶ 項までの和は | ホ | である。
(2) ニー, b= 2g のときらニュ 6ー舎つら| マ | でぁ
り, 数列 [1の第1項から第 項までの和は | ミ | である。
ee _ な(み圭1) 内 i %
(3) a= yz, そしてヵ © a, Bm 以上になる最小のヵ とする。この
ES, ニュ, あー2, B= 2,00 ea = LA | であり ムー
らー3。 C= 3,7, eeen ュー | メ | である。 数列 {あの第1項から第
2G5) 項までの和なは | モ | である。また, 数列 {c。}の第1項から第
20+) 項までの和は| ャ |] でぁる。
Ge: ~ は, WERE n ORTHS.)
ーョー
(Mab2)
NM
(1) 1個のサイコロを2 回続けて投げるとき, 1回目に出た目より 2 回目に出た
目のほうが大きいか, または等しい確率は | ユ | である。また, 1回且に出
た目よりる 2 回目に出た目のほうが大きいか, または等しいことがわかってい
るとき, 2回目に出目が1回目に出目で割り切れる礁率は| ョ | である。
(2) 次に, 1 個のサイコロをぁ回続けて投げる場合を考える。ヵ 回目に初めて
1 の目が出る確率は CHS. Eh, ヵ 回目までに少なくとも 1 回は1
の目が出る確率は | リ | である。
(3) 1 個のサイコロをくり返し投げ, 1と6の両方の目が少なくとる 1 回出た時
点で終わるというゲームを考える。このゲームがヵ回目(ただし, ヶ 2)
で終わる確率を求めよう。# 回目に 1 の目または6 の目が初めて出て, TOK
（続きは問題PDFで確認できます）