東京理科大学 2005年度 過去問・解答

東京理科大学2005年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

[3] 極大・極小の間隔と、相加相乗平均

α > 0 として、3次関数

f(x) = 3x³ − 3(α − 1/α)x² − 4x + （定数）

を考えます（導関数が下の形になるように定められています）。f(x) が極大となる x を p、極小となる x を q とします。

(1) p, q を α で表す

導関数は

f'(x) = 9x² − 6(α − 1/α)x − 4

これは因数分解できます。

f'(x) = (3x − 2α)(3x + 2/α)

展開して確認：(3x − 2α)(3x + 2/α) = 9x² + 6x/α − 6αx − 4 = 9x² − 6(α − 1/α)x − 4 ✓　定数項が α によらず −4 になるのは、2α × (2/α) = 4 だからです。

f'(x) = 0 の解は x = 2α/3 と x = −2/(3α)。α > 0 なので

−2/(3α) < 0 < 2α/3

x	…	−2/(3α)	…	2α/3	…
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	増加	極大	減少	極小	増加

(2) q − p の最小値

q − p = 2α/3 + 2/(3α)

2α/3 > 0、2/(3α) > 0 なので相加平均・相乗平均の関係より

2α/3 + 2/(3α) ≧ 2√{(2α/3)(2/(3α))} = 2√(4/9) = 4/3

等号成立は 2α/3 = 2/(3α)、すなわち α² = 1。α > 0 より α = 1。

(3) f(q) − f(p) を α で表す

定積分で一気に計算します。f’ の因数分解を使うと

f(q) − f(p) = ∫_p^q f'(x)dx = ∫_p^q 3(x − p)·3(x − q)dx = 9∫_p^q(x − p)(x − q)dx

6分の1公式より ∫_p^q(x−p)(x−q)dx = −(1/6)(q − p)³ なので

f(q) − f(p) = −(9/6)(q − p)³ = −(3/2)(q − p)³

ここで q − p = (2/3)(α + 1/α) と書けるので

= −(3/2) × (8/27)(α + 1/α)³

3次関数の極大値と極小値の差は、(極値を与える2点の距離)³ に比例するという一般的な性質があります。ここではその比例定数が −3/2（3次の係数 3 の場合）になっています。

(4) {f(q) − f(p)}/(q − p) = −3 となる α

これは「極大点と極小点を結ぶ直線の傾きが −3」という条件です。

分子 −(4/9)(α + 1/α)³、分母 (2/3)(α + 1/α) を割ると (α + 1/α) が2次分だけ残ります。

{f(q) − f(p)}/(q − p) = −(4/9) × (3/2) × (α + 1/α)² = −(2/3)(α + 1/α)²

これが −3 に等しいので

(α + 1/α)² = 9/2　⇔　α + 1/α = 3/√2（α > 0 より正のほう）

両辺に α を掛けて α² − (3/√2)α + 1 = 0。

解の積が 1、和が 3/√2 なので、1/√2 と √2 が候補です。実際 1/√2 + √2 = (1 + 2)/√2 = 3/√2 ✓、(1/√2)(√2) = 1 ✓

(α − 1/√2)(α − √2) = 0、どちらも正なので適します。

2つの解が互いに逆数になっているのは自然です。α + 1/α という式は α と 1/α を入れ替えても変わらない（対称）ので、α が解なら 1/α も解になります。

この年の学習ポイント

この問題の背骨は α + 1/α という1つの量です。q − p も、f(q) − f(p) も、その比も、すべてこの量だけで書けてしまいます。

(2) の相加相乗、(4) の逆数の対称性 — どちらも α + 1/α という形が持つ性質から出てきます。問題の中に繰り返し現れる塊を1つの文字と見るという視点を持つと、見通しが一気によくなります。

また (3) で「極値の差は定積分で求める」という手法も重要です。f(q) と f(p) をそれぞれ計算して引くより、∫f'(x)dx として6分の1公式に持ち込むほうがはるかに速く、計算ミスも減ります。

東京理科大学2005年度は学部・日程ごとに複数の問題が出題されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。