東京理科大学 2013年度 過去問・解答

東京理科大学2013年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

[1](1) さいころで決まる等差数列と、倍数の確率

さいころを2回振り、出た目を順に初項 a、公差 d として等差数列 {a_n} を作ります。一般項は

a_n = a + (n − 1)d　…①

a, d はともに1〜6なので、全体は 6² = 36 通りです。

(a) 第4項が3で割り切れる確率

a₄ = a + 3d。3d は必ず3の倍数なので、a₄ が3の倍数 ⇔ a が3の倍数。

a = 3, 6 の2通り（d は何でもよい）なので

a₄ = a + 3d を「3で割った余り」で見ると、3d の部分は消えて a の余りだけが残ります。倍数の判定では、明らかに割り切れる部分を切り離すのが定石です。

(b) 第8項が3で割り切れる確率

a₈ = a + 7d = 6d + (a + d) = 3·(2d) + (a + d)

したがって a₈ が3の倍数 ⇔ a + d が3の倍数。

a + d が3, 6, 9, 12 になる (a, d) を数えます。

(1,2)(1,5)(2,1)(2,4)(3,3)(3,6)(4,2)(4,5)(5,1)(5,4)(6,3)(6,6) の12通り。

a を固定するごとに、d は 6 個中ちょうど 2 個が条件を満たします（余りが3周期で並ぶため）。6 × 2 = 12 と数えれば、書き出さずに済みます。

(c) 第11項が5で割り切れる確率

a₁₁ = a + 10d = 5·(2d) + a なので、条件は a が5の倍数。

1〜6で5の倍数は a = 5 のみ。

(d) 第101項が15で割り切れる確率

a₁₀₁ = a + 100d = 90d + (a + 10d) = 15·(6d) + (a + 10d)

したがって条件は a + 10d が15の倍数。1 ≦ a, d ≦ 6 より 11 ≦ a + 10d ≦ 66 なので、候補は 15, 30, 45, 60。

a + 10d	d	a	判定
15	1	5	適する
30	2	10	a > 6 で不適
45	4	5	適する
60	5	10	a > 6 で不適

(a, d) = (5, 1), (5, 4) の2通り。

a + 10d の形では、d が決まれば a が一意に決まります。10d の部分を先に決めて、a が 1〜6 に収まるかを確認するという順序で数えると漏れがありません。

[1](2)(a) 積の形の多項式を展開する

f₃(x) = (x + 1/3)(x + 1/2)(x + 1) を展開します。

3つの1次式の積なので、各次の係数は基本対称式になります。定数項を p = 1/3、q = 1/2、r = 1 とすると

x³ + (p + q + r)x² + (pq + qr + rp)x + pqr

x² の係数：1/3 + 1/2 + 1 = 2/6 + 3/6 + 6/6 = 11/6

x の係数：(1/3)(1/2) + (1/2)(1) + (1)(1/3) = 1/6 + 3/6 + 2/6 = 1

定数項：(1/3)(1/2)(1) = 1/6

検算：x = −1 を代入すると f₃(−1) = 0 のはず。−1 + 11/6 − 1 + 1/6 = −2 + 12/6 = 0 ✓　因数から分かる零点を代入するのが、展開の最も確実な検算です。

この年の学習ポイント

(1) の4問はすべて同じ手法で解けます。a_n = a + (n−1)d の (n−1)d を「割る数の倍数の部分」と「余る部分」に分け、余る部分だけの条件に翻訳する。

a₄ → a、a₈ → a + d、a₁₁ → a、a₁₀₁ → a + 10d と、判定式がどんどん簡単になっていくのが見えると、第101項という一見大変な設問も1行で片づきます。大きい数を見たら、まず余りに注目するという反射を身につけてください。

東京理科大学2013年度は学部・日程ごとに複数の問題が出題されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。