東京理科大学 2014年度 過去問・解答

東京理科大学2014年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

[1](1) カードの取り出しと確率

1から8までの番号が1枚ずつ書かれた8枚のカードから、同時に2枚を取り出します。取り出し方は ₈C₂ = 28通りです。

(a) 2枚の番号の和の期待値

1枚だけ取り出したときの番号の期待値は

(1 + 2 + … + 8)/8 = 36/8 = 9/2

期待値の線形性より、2枚の和の期待値は 2 × 9/2。

2枚が独立でなくても（同時に取り出しても）、和の期待値は期待値の和になります。これは期待値の線形性が独立性を必要としないためで、非常に強力な性質です。

(b) 2枚の番号の和が8以上となる確率

和が8以上を直接数えるより、余事象（和が8未満、つまり7以下）のほうが少なくて済みます。

小さいほう	組	個数
1	(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)	5
2	(2,3)(2,4)(2,5)	3
3	(3,4)	1

計9通りなので

(c) 2枚の番号の積が4の倍数となる確率

これも余事象を使います。積が4の倍数にならないのは、2枚に含まれる素因数2が1個以下のときです。

8枚のうち、奇数は 1, 3, 5, 7 の4枚、2で1回だけ割れる数は 2, 6 の2枚、4で割れる数は 4, 8 の2枚。

[1] 2枚とも奇数：₄C₂ = 6 通り
[2] 奇数1枚と、2または6を1枚：₄C₁ × ₂C₁ = 8 通り

合計 14 通りなので

倍数の判定は素因数の個数で考えます。「積が4の倍数」= 2枚合わせて素因数2を2個以上もつ。この言い換えができれば、数え上げる対象が明確になります。

[1](2) 恒等式の係数比較

(x² + ax + b)(x + α) = x³ + cx² + 39x + 56 …①
(x² + ax + b)(x + β) = x³ + dx² + 31x + 42 …②
が x についての恒等式であるとき、a, b, c, d, α, β を求めます。

(a) α/β を求める

左辺を展開すると

① x³ + (a + α)x² + (b + αa)x + αb　／　② x³ + (a + β)x² + (b + βa)x + βb

1次の係数を比較して

b + αa = 39、b + βa = 31　…③

定数項を比較して

αb = 56、βb = 42　…④

④の辺々を割ると b が消えます。

(b) a, b, c, d, α, β をすべて求める

α/β = 4/3 より 3α = 4β。③の2式を辺々引くと (α − β)a = 8。

α = (4/3)β を代入すると (β/3)a = 8、すなわち aβ = 24。③の第2式 b + βa = 31 より b = 31 − 24 = 7。

④に b = 7 を代入して α = 8、β = 6。aβ = 24 より a = 4。

最後に2次の係数を比較します。a + α = c、a + β = d なので

検算：(x² + 4x + 7)(x + 8) = x³ + 12x² + 39x + 56 ✓　(x² + 4x + 7)(x + 6) = x³ + 10x² + 31x + 42 ✓
共通因数 x² + ax + b をもつ2つの3次式、という構造に気づけば、2式の差をとって未知数を減らす方針が立ちます。

[1](3)(a) 絶対値を含む三角方程式

f(x) = |cos x| − cos x とし、0 < x ≦ 5π/2 で f(x) = 1 となる x を求めます。

この関数は、cos x の符号で表情が変わります。

cos x ≧ 0 のとき：f(x) = cos x − cos x = 0（つねに0なので f(x) = 1 にはなりません）
cos x ≦ 0 のとき：f(x) = −cos x − cos x = −2cos x

したがって解が出るのは cos x ≦ 0 の区間だけです。

[1] 0 < x ≦ π/2：cos x ≧ 0 なので解なし。

[2] π/2 < x ≦ 3π/2：cos x ≦ 0。−2cos x = 1 ⇔ cos x = −1/2 より

x = 2π/3, 4π/3

[3] 3π/2 < x ≦ 5π/2：この区間は [−π/2, π/2] を 2π だけ平行移動したものにあたるので、全体で cos x ≧ 0。したがって f(x) = 0 となり、解はありません。

f(x) = |cos x| − cos x は「cos x が負のときだけ立ち上がる」関数で、グラフを描くと山が周期的に並ぶ形になります。f(x) ≧ 0 がつねに成り立ち、cos x ≧ 0 の区間では恒等的に 0 という性質を先に押さえると、解の存在範囲が一気に絞れます。

この年の学習ポイント

(1) の (b)(c) はどちらも余事象が主役でした。「8以上」より「7以下」、「4の倍数」より「4の倍数でない」のほうが数える対象が少ない — この見極めが速さを決めます。

(2) は恒等式の係数比較ですが、6個の未知数を一度に解こうとせず、定数項の比で b を消すという一手が突破口でした。連立方程式では「何を先に消すか」の選択が計算量を左右します。

東京理科大学2014年度は学部・日程ごとに複数の問題が出題されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。